高中平面解析几何知识点总结直线圆椭圆曲线推荐文档.docx

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高中平面解析几何知识点总结

一.直线部分

1.直线的倾斜角与斜率：

（1）直线的倾斜角：

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交

点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角∈[0,180︒）,=90︒斜率不存在.

k=y2-y1（x≠x）,k=tan

（2）直线的斜率：

x2-x

12

1．两点坐标为

P1（x1,y1）、

2

（x2

y2）.

2.直线方程的五种形式：

（1）点斜式：

y-y1=k（x-x1）（直线l过点P1（x1,y1），且斜率为k）．注：

当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0．

（2）斜截式：

y=kx+b（b为直线l在y轴上的截距）.

y-y1=x-x1

（3）两点式：

y2-y1

x2-x1（y1≠y2，x1≠x2）.

注：

①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

②方程形式为：

（x2-x1）（y-y1）-（y2-y1）（x-x1）=0时，方程可以表示任意直线．

x+y=1

（4）

截距式：

ab（a,b分别为x轴y轴上的截距，且a≠0,b≠0）．

注：

不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原

点的直线．

（5）一般式：

Ax+By+C=0

y=-Ax-C

（其中A、B不同时为0）．

k=-A

一般式化为斜截式：

BB，即，直线的斜率：

B．

注：

（1）已知直线纵截距b，常设其方程为y=kx+b或x=0．

已知直线横截距x0，常设其方程为x=my+x0（直线斜率k存在时，m为k的倒数）或

y=0．

（x,y）

y=k（x-x

）+y

x=x

已知直线过点0

0，常设其方程为

00或0．

（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

（1）直线在两坐标轴上的截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点．

（2）直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点．

（3）直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点．

4.两条直线的平行和垂直：

（1）若l1:

y=k1x+b1，l2:

y=k2x+b2，有

①l1//l2⇔k1=k2,b1≠b2；②l1⊥l2⇔k1k2=-1.

（2）若l1:

A1x+B1y+C1=0，l2:

A2x+B2y+C2=0，有

①l1//l2⇔A1B2=A2B1⊥A1C2≠A2C1；②l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0．

5.平面两点距离公式：

P（x,y）P（x,y）PP=

（1）已知两点坐标111、222，则两点间距离12．

（2）

x轴上两点间距离：

AB=xB-xA．

⎧x1+x2

⎨x0=

y

y+2y

PPM（x,y）

⎪0=122．

（3）线段

12的中点是00，则⎩

6.点到直线的距离公式：

d=

点P（x0,y0）到直线l：

Ax+By+C=0的距离：

．

7.两平行直线间的距离公式：

d=

两条平行直线l1：

Ax+By+C1=0，l2：

Ax+By+C2=0的距离：

．

8.直线系方程：

（1）平行直线系方程：

①直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．

②与直线l:

Ax+By+C=0平行的直线可表示为Ax+By+C1=0．

③过点P（x0,y0）与直线l:

Ax+By+C=0平行的直线可表示为：

A（x-x0）+B（y-y0）=0．

（2）垂直直线系方程：

①与直线l:

Ax+By+C=0垂直的直线可表示为Bx-Ay+C1=0．

②过点P（x0,y0）与直线l:

Ax+By+C=0垂直的直线可表示为：

B（x-x0）-A（y-y0）=0．

（3）定点直线系方程：

①经过定点P0（x0,y0）的直线系方程为y-y0=k（x-x0）（除直线x=x0）,其中k是待定的系数．

②经过定点P0（x0,y0）的直线系方程为A（x-x0）+B（y-y0）=0,其中A,B是待定的系数．

（4）共点直线系方程：

经过两直线1⊥A1x+B1y+C1=0⊥l2

⊥

A2x+B2y+C2=0交点的直线系

方程为A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0

9.两条曲线的交点坐标：

（除开l2），其中λ是待定的系数．

曲线C1的交点坐标方程组

:

f（x,y）=0与C2:

g（x,y）=0⇔{gf（（xx,,yy））=00的解．

10.平面和空间直线参数方程：

方向向量为=（）

①平面直线方程以向量形式给出：

x-ay-b

→

，下面推导参数方程：

=

n1n2

sn1n2

y-b⎧x=a+n1t

令：

x-a=

nn

=t则有⎪

⎨

y=b+nt

12⎩2

②空间直线方程也以向量形式给出：

x-a=y-b=z-b方向向量为=（

→

，,）

下面推导参数方程：

n1n2n3

sn1n2n3

⎧x=a+n1t

y-b

z-c⎪

n

⎪

令：

x-a=

n1n2

==t

3

则有⎨y

⎪

=b+

n2t

⎩z=c+n3t

注意：

只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。

二.圆部分

1.圆的方程：

（1）圆的标准方程：

（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）．

（2）圆的一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）．

（3）圆的直径式方程：

若A（x1,y1），B（x2,y2），以线段AB为直径的圆的方程是：

（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0．

（-D,-E）r=

注：

（1）在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是22，2．

（2）一般方程的特点：

①x2和y2的系数相同且不为零；②没有xy项；③D2+E2-4F>0

（3）二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的等价条件是：

①A=C≠0；②B=0；③D2+E2-4AF>0．

2.圆的弦长的求法：

（1）几何法：

当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，

则：

“半弦长2

+弦心距2

=半径2

”——

l2

（）2

d2=r2

+

；

（2）代数法：

设l的斜率为k，l与圆交点分别为A（x1,y1），B（x2,y2），则

|AB|=|xA

-

xB|=

|yA

-

yB|

（其中|x1-x2|,|y1-y2|的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解）

3.点与圆的位置关系：

点P（x0,y0）与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系有三种

①P在在圆外⇔d>r⇔（x-0a）2+（y-0b）2>r2．

②P在在圆内⇔d

③P在在圆上⇔d=r⇔（x-0a）2+（y-0b）2=r2．

Pd=

【到圆心距离】

4.直线与圆的位置关系：

直线Ax+By+C=0与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系有三种:

d=

圆心到直线距离为d（

），由直线和圆联立方程组消去x（或y）后，所得

一元二次方程的判别式为∆．

d>r⇔d

=r⇔d<

r⇔

⇔∆<0；

⇔∆=0；

⇔∆>0．

5.两圆位置关系:

设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，O1O2=d

d>

⇔4⊥⊥⊥⊥；

12⇔⊥⊥⊥⊥；

d=r1+r2⇔⊥⇔3⊥⊥⊥⊥；

d=r1

-

r2

⇔1⊥⊥⊥⊥；

⇔2⊥⊥⊥⊥．

r1-r2

6．圆系方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）

（1）过直线l：

Ax+By+C=0与圆C:

x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程：

x2+y2+Dx+Ey+F+（Ax+By+C）=0,λ是待定的系数．

（2）

111222

过圆C1:

x2+y2+Dx+Ey+F=0与圆C2:

x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆

系方程：

x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0,λ是待定的系数．

特别地，当=-1时，x2+y2+Dx+Ey+F+（x2+y2+Dx+Ey+F）=0就是

111222

（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．

7.圆的切线方程：

（1）过圆x2+y2=r2上的点P（x0,y0）的切线方程为:

x0x+y0y=r2．

（2）过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上的点P（x0,y0）的切线方程为:

（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2

．

（3）当点P（x0,y0）在圆外时，可设切方程为y-y0=k（x-x0），利用圆心到直线距离等于半径，

即d=r，求出k；或利用∆=0，求出k．若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线

x=x0．

8.圆的参数方程：

圆方程参数方程源于：

（x-a）2

sin2+cos2=1

（y-b）2

那么+=1

RR

（⎧⎪

设：

⎪

x-a）

R

=sin⎧=

得：

⎪xa+Rsin

（⎪y-b）=cos

⎪R

⎪=b+Rcos

9.把两圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x2+y2+D

1112x+E2y+F2=0方程相减

即得相交弦所在直线方程:

（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0．

10.对称问题：

（1）中心对称：

①点关于点对称：

点A（x1,y1）关于M（x0,y0）的对称点A（2x0-x1,2y0-y1）．

②直线关于点对称：

法1：

在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．

法2：

求出一个对称点，在利用l1//l2由点斜式得出直线方程．

（2）轴对称：

①点关于直线对称：

点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点

在直线上．

⇔⎧⎨AA'⊥l⇔⎧⎨kAA'·kl=-1

A⊥A

AA'⊥

⊥⊥

l⊥AA⊥l⊥⊥

点关于直线l对称⎩⎩．

②直线关于直线对称：

（设a,b关于l对称）

法1：

若a,b相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线l的对称点．若a//l，则b//l，且a,b与l的距离相等．

法2：

求出a上两个点A,B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程．

（3）其他对称：

点（a,b）关于x轴对称：

（a,-b）；关于y轴对称：

（-a,b）；

关于原点对称：

（-a,-b）；

点（a,b）关于直线y=x对称：

（b,a）；关于y=-x对称：

（-b,-a）；

关于y=x+m对称：

（b-m、a+m）；关于y=-x+m对称：

（-b+m、-a+m）.

11.若A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），则△ABC的重心G的坐标

⎛x1+x2+x3y1+y2+y3⎫

是⎝ç3，

12.各种角的范围：

3⎭⎪．

直线的倾斜角0︒≤<180︒

两条相交直线的夹角两条异面线所成的角

0︒<≤90︒

0︒<≤90︒

三.椭圆部分

1.椭圆定义：

①到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：

即∣MO1∣+∣MO2∣=2a

②或定义：

任意一条线段，在线段中任取两点（不包括两端点），将线段两端点置于这两点处，用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。

③从椭圆定义出发得到一个基本结论：

椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数2a。

2.椭圆性质：

①由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数，所以从A点向焦点引两条焦半径

∣AO1∣+∣AO2∣=∣AO2∣+∣O2B∣=2a

这是因为∣AO1∣=∣O2B∣（由图形比较看出）

②椭圆的标准方程：

2

x+=1

a2b2

③椭圆参数方程：

从圆方程知：

x2+y2=R2

2

+

圆方程参数方程源于：

sin2+cos2=1

所以按上面逻辑将椭圆方程

xy2

=1视为

⎧x=sin

a2b2

得：

⎪x=

设R

⎨y

⎩R

⎪=cos

⎨

⎩y=

⎧x=

Rsin

Rcos

同理椭圆参数方程为：

a

⎨y

⎪

b

④由于两个焦半径和为⎩2a

sin

=cos

得：

⎪x=asin

⎨⎪y=

⎩bcos

所以⎧

⎪

O1C

+

O2C

=2aO1C

=OC

2

=a⎪⎫

⎪

得：

a2=

b2+c2

2

⎨OC=b

⎬=-2

⎪O1C

=O2C

OC=c

⎪ca

⎪

⎭

⑤椭圆离心率，来源于圆的定义：

圆实际上是一种特殊的椭圆，而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了。

e

椭圆离心率为=c

a

四.双曲线部分

1.双曲线定义：

到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形，即：

MO2-MO1=2a

①双曲线的标准方程：

2

x-=1

a2b2

②由于双曲线上任意一点两个焦点之差的绝对值为常数2a.

∴AQ2-AQ1=AB=2a

AQ2

-

AQ

=AB

+

BQ

-

AQ

=AB

=2a

③双曲线的渐近线：

2b2

（2）b

2

由标准方程知：

y=a2x-a

⇒y=a

x2-a2

又y=b

a

∴y=b

a

x为渐近线，另一条为y=-bx

a

以上为渐近线的推导过程。

2

=a2-

2

若标准方程为

y-

b2

x=1

a2

x

，那么这时

bybbby

b

⇒y=ax

注意y下面对应b，x下面对应a.

④取x=a及x=-a两条直线，它们与渐近线的两个焦点的连线和y轴的交点称为虚焦点，该轴称为虚轴。

⑤推导a、b、c之间的关系：

设双曲线上任意一点坐标M（x，y）

MO2=

MO1MO2

=

-MO1=-

=2a

x2y2

经化简得：

2

a

-=1

c2-a2

222

x2y2

设：

c-a

=b⇒双曲线标准方程为：

-=1

a2b2

从而得到:

c2=a2+b2

五.抛物线部分

1.定义：

到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。

为了推导抛物线标准式，设：

定直线为x=-p，定点为O1（p，0），

（尽管这是一种特殊情况，但同样具有一般性）

①设：

抛物线上任意一点坐标为M（x，y）M点到定直线x=-p的距离为x+p

M点到定点O1（p，0）的距离为

x+p=

⇒x2+p2+2px

2

∴y=4px

=x2+p2-2px+y2

②很显然与以前学习的二次函数是一致的，只不过这里自变量变成y，函数变成x；而二次函数自变量是x，函数是y，因而二次函数也是抛物线，同样具有抛物线的性质。

如下：

y=ax2+bx+c（a≠0）

⎧⎪x+x=-b

12a

韦达定理：

⑴.⎪⎨

∙

=c

⎪x1x2

⎩a

⑵.顶点坐标b4ac-b2，推导采用配方法：

（-，）

2a4a

⎡

y=⎢

2+b+⎛çb⎪⎫-2çb⎛⎪⎥

⎫2⎤

a⎢x

⎢

⎣

axç2a⎪

ç2a

⎥+c

⎥

⎦

⎛b⎫24ac-b2

⇒açx+⎪+

⎝2a⎭4a

⑶求根公式：

x1，2=2a

从而零点坐标为（x，0）、（x，0。

12

③平移

例如：

a、（y+1）2=2px如何平移呢？

那就要看（y+1）2怎么样才可等于零，不难看出只有在y+1=0时，y=-1,即向下移动一个单位。

b、y2=2p（x+1）同样看（x+1）如何为零，不难看出x=-1，即图像向左移动一个单位

c、（y-1）2=2p（x-1）同样看（y-1）2和（x-1）如何为零，不难看出y

即图像想上移动一个单位，向右移动一个单位。

=1及x=1，

注意，平移部分需要自己琢磨，根据上面三个例子.

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