高考文科数学全国2卷试题与答案Word版.docx
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高考文科数学全国2卷试题与答案Word版
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
注意事项:
一、选择题:
本大题共12小题。
每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
2
(1)已知集合A{1,2,3},
B{x|x9},则AB
(A){2,1,0,1,2,3}(B){2,1,0,1,2}(C){1,2,3}(D){1,2}
(2)设复数z满足zi3i,则z=
(A)12i(B)12i(C)32i(D)32i
(3)函数y=Asin(x)的部分图像如图所示,则
(A)y2sin(2x)(B)y2sin(2x)
63
(C)y2sin(2x+)(D)y2sin(2x+)
63
(4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为
(A)12(B)
32
3
(C)(D)
(5)设F为抛物线C:
y2=4x的焦点,曲线y=
2=4x的焦点,曲线y=
k
x
(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=
(A)1
2
(B)1(C)3
2
(D)2
2
2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(6)圆x+y
(A)-
4
3
(B)-
3
4
(C)3(D)2
(7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π
(8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一
名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
(A)
7
10
(B)
5
8
(C)
3
8
(D)
3
10
(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输
入的a为2,2,5,则输出的s=
(A)7(B)12(C)17(D)34
lgx的定义域和值域相同的是(10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10
(A)y=x(B)y=lgx(C)y=2
x(D)y1
x
(11)函数
π
f(x)cos2x6cos(x)的最大值为
2
(A)4(B)5(C)6(D)7
(12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x
2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),⋯,
m
(xm,ym),则
x
i
=
i1
(A)0(B)m(C)2m(D)4m
二.填空题:
共4小题,每小题5分.
(13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=___________.
xy10
xy30
,则z=x-2y的最小值为__________(14)若x,y满足约束条件
x30
(15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
cos
45
A,cosC,a=1,则b=____________.
513
(16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后
说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙
说:
“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________________.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
等差数列{an}中,a3a44,a5a76
(I)求{an}的通项公式;
(II)设bn=[
a
n
],求数列{
b
n
}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2
(18)(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年
度出险次数的关联如下:
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
(I)记A为事件:
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
求P(A)的估计值;
(II)记B为事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.
求P(B)的估计值;
(III)求续保人本年度的平均保费估计值.
(19)(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于
点H,将DEF沿EF折到D'EF的位置.
(I)证明:
ACHD';
(II)若
5
AB5,AC6,AE,OD'22,求五棱锥D'ABCEF体
4
积.
(20)(本小题满分12分)
已知函数f(x)(x1)lnxa(x1).
(I)当a4时,求曲线yf(x)在1,f
(1)处的切线方程;
(II)若当x1,时,f(x)>0,求a的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
22
xy
已知A是椭圆E:
43
的左顶点,斜率为kk>0的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.
1
(I)当AMAN时,求AMN的面积
(II)当2AMAN时,证明:
3k2.
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF
⊥CE,垂足为F.
(Ⅰ)证明:
B,C,G,F四点共圆;
(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为
22
(x+6)+y=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是
?
ìx=tcosα,
?
(t为参数),l与C交于A,B两点,AB=10,求l的斜率.
í
?
y=tsinα,
?
(24)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数
11
f(x)=x-+x+,M为不等式f(x)<2的解集.
22
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:
当a,b?
M时,a+b<1+ab.
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案
第Ⅰ卷
一.选择题
(1)【答案】D
(2)【答案】C(3)【答案】A(4)【答案】A
(5)【答案】D(6)【答案】A(7)【答案】C(8)【答案】B
(9)【答案】C(10)【答案】D(11)【答案】B(12)【答案】B
二.填空题
(13)【答案】6(14)【答案】5(15)【答案】
21
13
(16)【答案】1和3
三、解答题
(17)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)
2n3
a;(Ⅱ)24.
n
5
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)根据等差数列的性质求a1,d,从而求得an;(Ⅱ)根据已知条件求bn,再求数列bn的
前10项和.
试题解析:
(Ⅰ)设数列
2
a的公差为d,由题意有2a15d4,a15d3,解得a11,d,
n
5
所以an的通项公式为
2n3
a.
n
5
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
2n3
b,
n
5
当n=1,2,3时,
2n3
12,b1;
n
5
当n=4,5时,2233,2
n
b;
n
5
当n=6,7,8时,
2n3
34,b3;
n
5
当n=9,10时,
2n3
45,b4,
n
5
所以数列
b的前10项和为1322334224.
n
考点:
等茶数列的性质,数列的求和.
【结束】
(18)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)由
6050
200
求P(A)的估计值;(Ⅱ)由
3030
200
求P(B)的估计值;(错误!
未找到引用源。
)
根据平均值得计算公式求解.
【解析】
试题分析:
试题解析:
(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内险次数小于2的频率为
6050
200
0.55
,
故P(A)的估计值为0.55.
(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知,一年内出险次数大于1且小于
4的频率为
3030
200
0.3
,
故P(B)的估计值为0.3.
(Ⅲ)由题所求分布列为:
保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a
频率0.300.250.150.150.100.05
调查200名续保人的平均保费为
0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.302a0.101.1925a,
因此,续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
考点:
样本的频率、平均值的计算.
【结束】
(19)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
69
4
.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)证AC//EF.再证AC//HD.(Ⅱ)证明ODOH.再证OD平面ABC.最后呢五棱
锥D'ABCEF体积.
试题解析:
(I)由已知得,ACBD,ADCD.
又由AECF得AECF
ADCD
,故AC//EF.
由此得EFHD,EFHD,所以AC//HD..
(II)由EF//AC得1.
OHAE
DOAD4
由AB5,AC6得
224.
DOBOABAO
所以OH1,DHDH3.
于是
22(22)21292,
ODOHDH故ODOH.
由(I)知ACHD,又ACBD,BDHDH,
所以AC平面BHD,于是ACOD.
又由ODOH,ACOHO,所以,OD平面ABC.
又由
EFDH
ACDO
得
EF
9
2
.
五边形ABCFE的面积16819369.
S
2224
所以五棱锥D'ABCEF体积
V
169232
22.
342
考点:
空间中的线面关系判断,几何体的体积.
【结束】
(20)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)2xy20.;(Ⅱ),2..
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)先求定义域,再求f(x),f
(1),f
(1),由直线方程得点斜式可求曲线yf(x)在(1,f
(1))
处的切线方程为2xy20.(Ⅱ)构造新函数()ln
(1)
ax
gxx
x1
,对实数a分类讨论,用导数法求
解.
试题解析:
(I)f(x)的定义域为(0,).当a4时,
1
f(x)(x1)lnx4(x1),f(x)lnx3
x
,f
(1)2,f
(1)0.曲线yf(x)在(1,f
(1))处的
切线方程为2xy20.
(II)当x(1,)时,f(x)0等价于
a(x1)
lnx0.
x1
令
g(x)lnx
a(x1)
x1
,则
2
12ax2(1a)x1
g(x),g
(1)0
22
x(x1)x(x1)
,
(i)当a2,x(1,)时,
22
(1)12210
xaxxx,故g(x)0,g(x)在x(1,)上单
调递增,因此g(x)0;
(ii)当a2时,令g(x)0得
22
x1a1(a1)1,x2a1(a1)1,
由x21和x1x21得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在x(1,x2)单调递减,因此g(x)0.
综上,a的取值范围是,2.
考点:
导数的几何意义,函数的单调性.
【结束】
(21)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)
144
49
;(Ⅱ)
32,2.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)先求直线AM的方程,再求点M的纵坐标,最后求AMN的面积;(Ⅱ)设
Mx1,y1,,
将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组,消去y,用k表示x1,从而表示|AM|,同理用k表示|AN|,
再由2AMAN求k.
试题解析:
(Ⅰ)设M(x1,y1),则由题意知y10.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为
,
4
又A(2,0),因此直线AM的方程为yx2.
将xy2代入
22
xy
43
1
得
2
7y12y0,
解得y0或
1212
y,所以y1.
77
因此AMN的面积
11212144
S2.
AMN
27749
(2)将直线AM的方程yk(x2)(k0)代入
22
xy
43
1
得
2222
(34k)x16kx16k120.
由
2
16k12
x
(2)
12
34k
得
2
2(34k)
x
12
34k
,故
2
121k
2
|AM|1k|x2|
12
34k
.
1
y(x2)
k
,故同理可得
|AN|
12k1k
2
43k
2
由题设,直线AN的方程为
.
由2|AM||AN|得
2k
22
34k43k
,即
32
4k6k3k80.
设
32
ftttt,则k是f(t)的零点,
()4638
22
f'(t)12t12t33(2t1)0,
所以f(t)在(0,)单调递增,又f(3)153260,f
(2)60,
因此f(t)在(0,)有唯一的零点,且零点k在(3,2)内,所以3k2.
考点:
椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
1
2
.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)证DGFCBF,再证B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)证明RtBCGRtBFG,四边形
BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍.
试题解析:
(I)因为DFEC,所以DEFCDF,
DFDEDG
则有GDFDEFFCB,,
CFCDCB
所以DGFCBF,由此可得DGFCBF,
由此
0
CGFCBF180,所以B,C,G,F四点共圆.
(II)由B,C,G,F四点共圆,CGCB知FGFB,连结GB,
由G为RtDFC斜边CD的中点,知GFGC,故RtBCGRtBFG,
因此四边形BCGF的面积S是GCB面积
S的2倍,即
GCB
111
S2S21.
GCB
222
考点:
三角形相似、全等,四点共圆
【结束】
(23)(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
【答案】(Ⅰ)
212cos110;(Ⅱ)15
3
.
【解析】
试题分析:
(I)利用
2x2y2,xcos可得C的极坐标方程;(II)先将直线l的参数方程化为普
通方程,再利用弦长公式可得l的斜率.
试题解析:
(I)由xcos,ysin可得C的极坐标方程
212cos110.
(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为(R)
由A,B所对应的极径分别为
1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
212cos110.
于是
1212cos,1211,
22
|AB|||()4144cos44,
121212
由|AB|10得
2315
cos,tan
83
,
所以l的斜率为
15
3
或
15
3
.
考点:
圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,点到直线的距离公式.
【结束】
(24)(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
【答案】(Ⅰ)M{x|1x1};(Ⅱ)详见解析.
【解析】
试题分析:
(I)先去掉绝对值,再分
1
x,
2
11
x和
22
1
x三种情况解不等式,即可得;(II)
2
采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当a,b时,ab1ab.
1
2x,x,
2
试题解析:
(I)
11
f(x)1,x,
22
1
2x,x.
2
当
1
x时,由f(x)2得2x2,解得x1;
2
当
11
x时,f(x)2;
22
当
1
x时,由f(x)2得2x2,解得x1.
2
所以f(x)2的解集M{x|1x1}.
(II)由(I)知,当a,bM时,1a1,1b1,从而
22222222
(ab)(1ab)abab1(a1)(1b)0,
因此|ab||1ab|.
考点:
绝对值不等式,不等式的证明.
【结束】