通用版高考物理一轮复习第5章机械能及其守恒定律第3节机械能守恒定律及其应用教师用书.docx
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通用版高考物理一轮复习第5章机械能及其守恒定律第3节机械能守恒定律及其应用教师用书
第3节 机械能守恒定律及其应用
知识点1 重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
（1）重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
（2）重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
（1）公式：
Ep＝mgh.
（2）特性：
①矢标性：
重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
②系统性：
重力势能是物体和地球共有的．
③相对性：
重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
（1）定性关系：
重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．
（2）定量关系：
重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－（Ep1－Ep2）＝－ΔEp.
知识点2 弹性势能
1．大小
弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
知识点3 机械能守恒定律
1．机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能．
2．机械能守恒定律
（1）内容：
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
（3）守恒表达式：
mgh1＋
mv
＝mgh2＋
mv
.
1．正误判断
（1）克服重力做功，物体的重力势能一定增加．（√）
（2）发生弹性形变的物体都具有弹性势能．（√）
（3）弹簧弹力做正功时，弹性势能增加．（×）
（4）物体的速度增大时，其机械能可能在减小．（√）
（5）物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．（×）
（6）物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．（×）
（7）物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．（√）
2．[对弹性势能的理解]（多选）如图531所示，一个物体以速度v0冲向竖直墙壁，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，不计任何摩擦阻力，在此过程中下列说法中正确的是（ ）
图531
A．物体对弹簧做功，物体的动能增加
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹簧的弹性势能减小
D．弹簧的弹力做负功，弹簧的弹性势能增加
BD [物体压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，物体的动能减小，A、C错误，D正确；物体向墙壁运动的过程中，弹簧的弹力逐渐增大，因此运动相同的位移，弹力做的功越来越多，B正确．]
3．[机械能守恒的判断]（多选）如图532所示，完整的撑杆跳高过程可以简化成三个阶段：
持杆助跑、撑杆起跳上升、越杆下落（下落时人杆分离），最后落在软垫上速度减为零．不计空气阻力，则（ ）
图532
A．运动员在整个跳高过程中机械能守恒
B．运动员在撑杆起跳上升过程中机械能守恒
C．在撑杆起跳上升过程中，杆的弹性势能转化为运动员的重力势能且弹性势能减少量小于运动员的重力势能增加量
D．运动员落在软垫上时做减速运动，处于超重状态
CD [运动员持杆助跑阶段运动员对杆做功，机械能不守恒，最后从落在软垫上到速度减为零的过程中阻力做功，机械能也不守恒，故A错误；运动员在撑杆起跳上升过程中，杆从开始形变到杆恢复原状，先是运动员部分动能转化为重力势能和杆的弹性势能，后弹性势能和运动员的动能转化为重力势能，使用杆的过程中，运动员与杆组成的系统机械能守恒，运动员的机械能不守恒，故B错误；在撑杆起跳上升过程中，运动员的动能和杆的弹性势能转化为运动员的重力势能，所以弹性势能减少量一定小于运动员的重力势能增加量，故C正确；运动员落在软垫上时做减速运动，加速度的方向向上，因而运动员处于超重状态，故D正确．]
4．[单个物体机械能守恒]（2015·四川高考）在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小（ ）
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大D．斜向下抛的最大
A [由机械能守恒定律mgh＋
mv
＝
mv
知，落地时速度v2的大小相等，故A正确．]
机械能守恒的理解与判断
1．机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：
（1）物体只受重力或弹力作用．
（2）存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功．
（3）其他力做功，但做功的代数和为零．
（4）存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化．
2．机械能守恒的判断方法
（1）利用机械能的定义判断（直接判断）：
分析动能和势能的和是否变化．
（2）用做功判断：
若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
（3）用能量转化来判断：
若物体系统只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．
[题组通关]
1.如图533所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是（ ）
图533
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
B [小球的位移方向竖直向下，斜劈对小球的弹力对小球做负功，小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，斜劈的机械能增大，小球的机械能减少，但斜劈与小球组成的系统机械能守恒，小球重力势能的减少量，等于小球和斜劈动能增加量之和，故B正确，A、C、D错误．]
2．如图534所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中（ ）
图534
A．圆环机械能守恒
B．橡皮绳的弹性势能一直增大
C．橡皮绳的弹性势能增加了mgh
D．橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大
C [圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮绳的拉力，所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和橡皮绳组成的系统作为研究对象，则系统的机械能守恒，故A错误；橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，由图知橡皮绳先缩短后再伸长，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大，故B错误；根据系统的机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，那么圆环的机械能的减少量等于橡皮绳的弹性势能增大量，为mgh，故C正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次达到原长时，该过程中动能一直增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环的动能最大，故D错误．]
四点提醒：
1．机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”．
2．分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统．
3．系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒．
4．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
单个物体的机械能守恒
1．机械能守恒定律的表达式
2．机械能守恒定律与动能定理的比较
机械能守恒定律
动能定理
不同点
适用
条件
只有重力或弹力做功
没有条件限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功
分析
思路
只需分析研究对象初、末状态的动能和势能
不但要分析研究对象初、末状态的动能，还要分析所有外力所做的功
研究
对象
一般是物体组成的系统
一般是一个物体（质点）
书写
方式
有多种书写方式，一般常用等号两边都是动能与势能的和
等号左边一定是合力的总功，右边是动能的变化
相同点
（1）思想方法相同：
机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下状态的变化
（2）表达这两个规律的方程都是标量式
[多维探究]
●考向1 含有弹簧的单个物体的机械能问题
1．（2017·贵阳模拟）如图535所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点．将小球拉至A点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v.已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
图535
A．小球运动到B点时的动能等于mgh
B．小球由A点到B点重力势能减少
mv2
C．小球由A点到B点克服弹力做功为mgh
D．小球到达B点时弹簧的弹性势能为mgh－
mv2
D [小球由A点到B点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧由原长到发生伸长的形变，小球动能增加量小于重力势能减少量，A项错误；小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，B项错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，D项正确；弹簧弹性势能增加量等于小球克服弹力所做的功，C项错误．]
●考向2 不含弹簧的单个物体的机械能问题
2．将一小球从高处水平抛出，最初2s内小球动能Ek随时间t变化的图象如图536所示，不计空气阻力，g取10m/s2.根据图象信息，不能确定的物理量是（ ）
图536
A．小球的质量
B．小球的初速度
C．最初2s内重力对小球做功的平均功率
D．小球抛出时的高度
D [由机械能守恒定律可得Ek＝Ek0＋mgh，又因为h＝
gt2，所以Ek＝Ek0＋
mg2t2.当t＝0时，Ek0＝
mv
＝5J，当t＝2s时，Ek＝Ek0＋2mg2＝30J，联立方程解得：
m＝0.125kg，v0＝4
m/s.t＝2s时，由动能定理得WG＝ΔEk＝25J，故
＝
＝12.5W．根据图象信息，无法确定小球抛出时距离地面的高度．综上所述，应选D.]
3．（多选）（2017·兰州一模）如图537所示，竖直面内光滑的
圆形导轨固定在一水平地面上，半径为R.一个质量为m的小球从距水平地面正上方h高处的P点由静止开始自由下落，恰好从N点沿切线方向进入圆轨道．不考虑空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
图537
A．适当调整高度h，可使小球从轨道最高点M飞出后，恰好落在轨道右端口N处
B．若h＝2R，则小球在轨道最低点对轨道的压力为5mg
C．只有h大于等于2.5R时，小球才能到达圆轨道的最高点M
D．若h＝R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R的位置，该过程重力做功为mgR
BC [球到达最高点M时速度至少应满足mg＝m
，解得v＝
，小球离开最高点后做平抛运动，下落高度为R时，运动的水平距离为x＝vt＝
＝
R，故A错误；从P点到最低点过程由机械能守恒可得2mgR＝
mv2，由向心力公式得FN－mg＝m
，解得FN＝5mg，由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力为5mg，故B正确；由机械能守恒得mg（h－2R）＝
mv2，代入v＝
解得h＝2.5R，故C正确；若h＝R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R的位置，该过程重力做功为0，D错误．]
多个物体的机械能守恒
[母题] 一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图538所示．已经A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：
图538
（1）A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；
（2）A球沿圆柱内表面运动的最大位移．
【自主思考】
（1）A球沿圆柱内表面运动的速度大小与B球速度大小相等吗？
你能说明它们速度大小间存在什么关系吗？
提示：
A球沿圆柱内表面运动的速度大小与B球速度大小不相等，A球速度沿细绳方向的分速度大小与B球速度大小相等．
（2）A球沿圆柱内表面运动的位移大小与B球上升的高度相等吗？
提示：
相等．
（3）A球下降的高度与B球上升的高度相等吗？
提示：
不相等．
【尝试解答】
（1）设A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据机械能守恒定律有
甲
2mgR－
mgR＝
×2mv2＋
mv
由图甲可知，A球的速度v与B球速度vB的关系为vB＝v1＝vcos45°
联立解得v＝2
.
（2）当A球的速度为零时，A球沿圆柱内表面运动的位移最大，设为x，如图乙所示，由几何关系可知A球下降的高度h＝
，根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0
乙
解得x＝
R.
【答案】
（1）2
（2）
R
[母题迁移]
●迁移1 将细绳挂在定滑轮两侧
1.如图539所示，两物块a、b质量分别为m、2m，用细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦．开始时，两物块a、b距离地面高度相同，用手托住物块b，然后突然由静止释放，直至物块a、b间高度差为h（物块b尚未落地）．在此过程中，下列说法正确的是（ ）
图539
A．物块b重力势能减少了2mgh
B．物块b机械能减少了
mgh
C．物块a的机械能逐渐减小
D．物块a重力势能的增加量小于其动能的增加量
B [物块a、b间高度差为h时，物块a上升的高度为
，物块b下降的高度为
，物块b重力势能减少了2mg·
＝mgh，选项A错误；物块b机械能减少了ΔEb＝2mg·
－
×2mv2，对物块a、b整体根据机械能守恒定律有0＝－2mg·
＋mg·
＋
×3mv2，得
mv2＝
mgh，ΔEb＝
mgh，选项B正确；物块a的机械能逐渐增加
mgh，选项C错误；物块a重力势能的增加量ΔEpa＝mg·
＝
mgh，其动能的增加量ΔEka＝
mv2＝
mgh，得ΔEpa>ΔEka，选项D错误．]
●迁移2 将细绳改为轻杆
2．（多选）（2015·全国卷Ⅱ）如图5310所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则（ ）
图5310
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
BD [由题意知，系统机械能守恒．设某时刻a、b的速度分别为va、vb.此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图．
因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v∥与v′∥是相等的，即vacosθ＝vbsinθ.当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝
mv
，解得va＝
，选项B正确．同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误．杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误．b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确．正确选项为B、D.]
解决多物体机械能守恒问题的三点注意
1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
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