8.(2011年陕西)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=_____________.
9.(2011年山东)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=________.
10.试确定方程2x3-x2-4x+2=0的最小根所在的区间,并使区间的两个端点是两个连续的整数.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
1.用二分法求如图K311所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
图K311
A.x1B.x2
C.x3D.x4
2.关于用“二分法”求方程的近似解,下列说法不正确的是( )
A.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在区间[a,b]内的所有零点找出来
B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在区间[a,b]内的零点
C.“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在区间[a,b]内有可能无零点
D.“二分法”求方程的近似解有可能得到y=f(x)在区间[a,b]内的精确解
3.在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )
A.[1,4]
B.[-2,1]
C.[-2,2.5]
D.[-0.5,1]
4.方程x3-2x2+3x-6=0在区间[-2,4]上的根必定属于区间( )
A.[-2,1]B.
C.
D.
5.函数y=x3与y=
x-3的图象交点为(x0,y0),则x0所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
6.证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度0.1)
7.方程2-x+x2=3的实数解的个数为________.
8.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f
(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.4375)=0.162
f(1.40625)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A.1.2B.1.3
C.1.4D.1.5
9.已知函数f(x)=ax+
(a>1).
(1)证明:
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)若a=3,证明:
方程f(x)=0没有负数根;
(3)若a=3,求出方程的根(精确度0.01).
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
1.为了改善某地的生态环境,政府决心绿化荒山,计划第一年先植树0.5万亩,以后每年比上年增加1万亩,结果第x年植树的亩数y(单位:
万亩)是时间x(单位:
年)的一次函数,这个函数的图象是( )
2.下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是( )
A.y=50B.y=1000x
C.y=0.4·2x-1D.y=
ex
3.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:
每月用水不超过10m3,按每立方米x元收取水费;每月用水超过10m3,超过部分加倍收费,某职工某月缴费16x元,则该职工这个月实际用水为( )
A.13m3B.14m3
C.18m3D.26m3
4.小李得到一组实习数据如下表:
t
1.99
3.0
4.0
5.0
6.2
7
V
1.5
4.05
7.5
12
18
23.9
下列模型能最接近数据的是( )
A.V=log
tB.V=log2t
C.V=3t-2D.V=
5.某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表:
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲:
联通130网
12元
每分钟0.36元
每6秒钟0.06元
乙:
移动“神州行”卡
无
每分钟0.6元
每6秒钟0.07元
(注:
本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费)
若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍,且每月通话时间(单位:
分钟)的范围在区间(60,70)内,则选择较为省钱的网络为( )
A.甲B.乙
C.甲、乙均一样D.分情况确定
6.从A地向B地打长途电话,按时间收费,3分钟内收费2.4元,3分钟后每多1分钟就加收1元.当时间t≥3时,电话费y(单位:
元)与时间t(单位:
分钟)之间的函数关系式是____________.
7.已知函数y1=2x和y2=x2.
当x∈(2,4]时,函数________的值增长较快;
当x∈(4,+∞)时,函数________的值增长较快.
8.如图K321,点P在边长为1的正方形的边上运动,设M是CD边的中点,则当点P沿着A-B-C-M运动时,以点P经过的路程x为自变量,△APM的面积为函数的图象形状大致是( )
图K321
9.我们知道,燕子每年冬天都要从北方飞向南方过冬.研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2
,单位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量.
(1)计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位;
(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?
10.以下是某地区一种生物的数量y(单位:
万只)与繁殖时间x(单位:
年)的数据表:
时间/年
1
2
3
4
数量/万只
10
20
40
80
根据表中的数据,请从y=ax+b,y=alogbx,y=a·bx中选择一种函数模型刻画出该地区生物的繁殖规律,并求出函数解析式.
3.2.2 实际问题的函数模型
1.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时后,这种细菌可由1个分裂成( )
A.511个B.512个
C.1023个D.1024个
2.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费为f(m)=1.06(0.50×[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数,如[4]=4,[2.7]=3,[3.8]=4,则从甲地到乙地的通话时间为5.5分钟的话费为( )
A.3.71元B.3.97元
C.4.24元D.4.77元
3.某银行实行按复利计算利息的储蓄,若本金为2万元,利率为8%,则5年后可得利息( )
A.2×(1+0.8)5元
B.(2+0.08)5元
C.2×(1+0.08)5-2元
D.2×(1+0.08)4-2元
4.一根弹簧的原长为12cm,它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长
cm,则挂重后的弹簧长度ycm与挂重xkg之间的函数关系式是( )
A.y=
x+12(0<x≤15)
B.y=
x+12(0≤x<15)
C.y=
x+12(0≤x≤15)
D.y=
x+12(0<x<15)
5.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积平均每年比上一年增长10.4%,专家预测经过x年,荒漠化土地面积可能增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致是( )
A B C D
6.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:
每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费32m元,则该职工这个月实际用水为( )
A.13立方米B.14立方米
C.18立方米D.21立方米
7.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值为__________.
8.(2011年北京海淀统测)图K322
(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两种调整的建议,如图K322
(2)(3)所示.
图K322
给出下列说法:
①图K322
(2)的建议是:
提高成本,并提高票价;
②图K322
(2)的建议是:
降低成本,并保持票价不变;
③图K322(3)的建议是:
提高票价,并保持成本不变;
④图K322(3)的建议是:
提高票价,并降低成本.
其中说法正确的序号是________.
9.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加成本100元,已知总收益(总成本+利润)满足函数:
R(x)=
其中x是仪器的月产量(单位:
台).
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?
最大利润是多少元?
10.提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:
千米/时)是车流密度x(单位:
辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:
当20(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:
辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/时).
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
1.B
2.B 解析:
:
∵x0为方程2x+x=8的解,∴2x0+x0-8=0.
令f(x)=2x+x-8=0,∵f
(2)=-2<0,f(3)=3>0,∴x0∈(2,3).再根据x0∈(n,n+1)(n∈N*),可得n=2.
3.D 解析:
Δ=m2-4(m+3)>0,∴m>6或m<-2.
4.C 解析:
由题意,可知:
函数f(x)在区间[-2,2]上是连续的、递增的,又f(-1)·f
(1)<0,故函数f(x)在[-2,2]内有且只有一个零点,则方程f(x)=0在[-2,2]内有唯一的实数根.
5.C
6.C 解析:
设f(x)=2x-x2,由f(0.6)=1.516-0.36>0,f(1.0)=2.0-1.0>0,故排除A;
由f(1.4)=2.639-1.96>0,f(1.8)=3.482-3.24>0.故排除B;
由f(1.8)=3.482-3.24>0,f(2.2)=4.595-4.84<0,故可确定方程2x=x2的一个根位于区间(1.8,2.2).故选C.
7.解:
设函数f(x)=x2+2kx-1,∵关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1≤x1<0即
∴-
8.3或4 解析:
x=
=2±
,因为x是整数,即2±
为整数,所以
为整数,且n≤4,又因为n∈N*,取n=1,2,3,4,验证可知n=3或4符合题意;反之当n=3或4时,可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根.
9.2 解析:
∵f
(2)=loga2+2-b<0,f(3)=loga3+3-b>0,∴x0∈(2,3),故n=2.
10.解:
令f(x)=2x3-x2-4x+2,
∵f(-3)=-54-9+12+2=-49<0,
f(-2)=-16-4+8+2=-10<0,
f(-1)=-2-1+4+2=3>0,
f(0)=0-0-0+2=2>0,
f
(1)=2-1-4+2=-1<0,
f
(2)=16-4-8+2=6>0,
根据f(-2)·f(-1)<0,f(0)·f
(1)<0,f
(1)·f
(2)<0,
可知f(x)的零点分别在区间(-2,-1),(0,1),(1,2)内.
∵方程是一个一元三次方程,所以它最多有三个根,
∴原方程的最小根在区间(-2,-1)内.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
1.C 2.A
3.D 解析:
因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次的区间可能是[-2,1],[1,4];第三次所取的区间可能是[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有选项D在其中.故选D.
4.D 解析:
令f(x)=x3-2x2+3x-6,分别计算f(-2),f
(1),f
,f
的值,得f(-2)=-28<0,f
(1)=-4<0,f
=4.625>0,f
≈-1.5156<0.故选D.
5.B 解析:
x0即为f(x)=x3-
x-3的零点,又∵f
(1)=-3<0,f
(2)=6>0,∴f(x)在(1,2)有零点.
6.证明:
设函数f(x)=2x+3x-6,
∵f
(1)=-1<0,f
(2)=4>0,又∵f(x)是增函数,
∴函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点.
则方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解.
设该解为x0,则x0∈[1,2],f
(1)=-1<0,f
(2)=4>0,
取x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,f
(1)·f(1.5)<0,
∴x0∈(1,1.5).
取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0,f
(1)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1,1.25).
取x3=1.125,,f(1.125)≈-0.444<0,f(1.125)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1.125,1.25).
取x4=1.1875,,f(1.1875)≈-0.16<0,f(1.1875)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1.1875,1.25).
∵|1.25-1.1875|=0.0625<0.1,
∴1.1875可作为这个方程的实数解.
7.2个 解析:
画出y=2-x与y=3-x2的图象,有两个交点,故方程2-x+x2=3的实数解的个数为2个.
8.C 解析:
f(1.40625)=-0.054<0,f(1.4375)=0.162>0且都接近0,由二分法,知其近似根为1.4.
9.
(1)证明:
f(x)=ax+
=ax+1-
(a>1).
设-1则f(x1)-f(x2)=
+1-
-
=
-
-3
.
∵-11,
∴
-
<0,
-
=
>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)(2)证明:
当a=3时,3x+
=0,
∵f(0)<0,f
(1)=
>0,
∴区间(0,1)上必有一根,
由函数单调性,可知:
3x+
=0至多有一根,故方程恰有一根在区间(0,1)上.即f(x)=0没有负数根.
(3)解:
由二分法f
>0,f
<0,
f
>0,f
>0,f
>0,
f
<0,f
<0,
而
-
=-
,
而
<0.01,∴x=
可作为该方程的一个根.
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
1.A 2.D
3.A 解析:
设实际用水量为am3,则有10x+2x(a-10)=16x,解得a=13.
4.D 解析:
注意到自变量每次增加约为1,V的增加越来越快,结合数据验证,D符合.
5.A
6.y=t-0.6(t≥3) 7.y2=x2 y1=2x
8.A 解析:
当0≤x≤1时,y=
·x·1=
x;当1<x≤2时,y=1-
(x-1)-
(2-x)-
=-
x+
;当2<x≤2.5时,y=
×
×1=
-
x.故选A.
9.解:
(1)由题意知,当燕子静止时,它的速度v=0,
代入已知函数关系式可得0=5log2
,解得O=10个单位.
(2)将耗氧量O=80代入已知函数关系式,得
v=5log2
=5log223=15m/s.
10.解:
对于y=ax+b,则
∴
∴y=10x.
而当x=3时,y=30;当x=4时,y=40.
对于y=alogbx,
此方程组无解.
对于y=a·bx,
∴
∴y=5·2x.而当x=3时,y=40;
当x=4时,y=80.
故选择函数y=5·2x刻画该地区生物的繁殖规律比较好.
3.2.2 实际问题的函数模型
1.B 2.C 3.C 4.C
5.A 解析:
设原来该地区荒漠化土地面积为a,则经过x年后,面积为a(1+10.4%)x,那么经过x年后增长到原来的y倍,故有y=
=1.104x.因此图象大致应为指数函数的图象.故选A.
6.D
7.20 8.②③
9.解:
(1)设月产量为x台,则总成本C(x)=20000+100x,
从而f(x)=R(x)-C(x)
=
(2)当0≤x≤400时,f(x)=-
(x-300)2+25000.
∴当x=300时,f(x)max=25000.
当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数,
∴f(x)<60000-100×400=20000.
综上所述,当x=300时,f(x)max=25000.
10.解:
(1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60;
当20由已知,得
解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)=
(2)依题意并由
(1),可得
f(x)=
当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;
当20x
=-
2+
,
所以当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值为
.
综上所述,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值为
≈3333,
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时.