甘肃省陇南市中考数学真题试题解析版.docx
《甘肃省陇南市中考数学真题试题解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《甘肃省陇南市中考数学真题试题解析版.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
甘肃省陇南市中考数学真题试题解析版
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷
注：
请使用office word软件打开，wps word会导致公式错乱
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A.B.C.D.
2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
3.下列整数中，与
最接近的整数是（ ）
A.3B.4C.5D.6
4.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
A.平移变换
B.相似变换
C.旋转变换
D.对称变换
6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A.
B.
C.
D.
9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的
倍，则∠ASB的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A.3B.4C.5D.6
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．
12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
实验者
德•摩根
蒲丰
费勒
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
掷币次数
6140
4040
10000
36000
80640
出现“正面朝上”的次数
3109
2048
4979
18031
39699
频率
0.506
0.507
0.498
0.501
0.492
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．
13.因式分解：
xy2-4x=______．
14.关于x的一元二次方程x2+
x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．
15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．
16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．
17.定义：
等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．
18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19.计算：
（-2）2-|
-2|-2cos45°+（3-π）0
20.
四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）
21.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
22.已知：
在△ABC中，AB=AC．
23.
（1）求作：
△ABC的外接圆．（要求：
尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
24.
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．
25.
26.
27.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：
当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？
（参考数据：
取1.73）．
28.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：
A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
29.
（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
30.
（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
31.
32.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
33.收集数据：
34.七年级：
79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
35.八年级：
92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
36.整理数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
b
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
c
八年级
78
d
80.5
应用数据：
（1）由上表填空：
a=______，b=______，c=______，d=______．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
37.如图，已知反比例函数y=
（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点
38.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
39.
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=
上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．
40.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
41.
（1）求证：
AC是⊙D的切线；
42.
（2）若CE=2
，求⊙D的半径．
43.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
44.例题：
如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：
∠AMN=60°．
45.点拨：
如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：
△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：
∠AMN=60°．
46.问题：
如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：
∠A1M1N1=90°．
47.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
48.
（1）求此抛物线的表达式；
49.
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
50.（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：
A、该几何体为四棱柱，不符合题意；
B、该几何体为四棱锥，不符合题意；
C、该几何体为三棱柱，符合题意；
D、该几何体为圆柱，不符合题意．
故选：
C．
分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．
考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．
2.【答案】D
【解析】
解：
∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，
∴点B表示的数是：
3．
故选：
D．
直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．
此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．
3.【答案】A
【解析】
解：
∵32=9，42=16，
∴3＜＜4，
10与9的距离小于16与10的距离，
∴与最接近的是3．
故选：
A．
由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
4.【答案】D
【解析】
解：
0.000000007=7×10-9；
故选：
D．
由科学记数法知0.000000007=7×10-9；
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】
解：
根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：
B．
根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
6.【答案】C
【解析】
解：
黑色正五边形的内角和为：
（5-2）×180°=540°，
故选：
C．
根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．
本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
7.【答案】A
【解析】
解：
去括号，得2x+9≥3x+6，
移项，合并得-x≥-3
系数化为1，得x≤3；
故选：
A．
先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
8.【答案】B
【解析】
解：
-
=-
=
=．
故从第②步开始出现错误．
故选：
B．
直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9.【答案】C
【解析】
解：
设圆心为O，连接OA、OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB=OA，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，
∴∠ASB=∠AOB=45°．
故选：
C．
设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．
本题考查了圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10.【答案】B
【解析】
解：
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB•=3，即AB•BC=12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC=7．
则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC，
所以AB=3，BC=4．
故选：
B．
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
11.【答案】（-1，1）
【解析】
解：
如图所示：
可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．
故答案为：
（-1，1）．
直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．
12.【答案】0.5
【解析】
解：
因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，
所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．
故答案为0.5．
由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．
本题考查了利用频率估计概率：
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
13.【答案】x（y+2）（y-2）
【解析】
解：
xy2-4x，
=x（y2-4），
=x（y+2）（y-2）．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．
14.【答案】4
【解析】
解：
由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0
得m=4
故答案为4
要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．
此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：
一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
15.【答案】y=（x-2）2+1
【解析】
解：
y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，
所以，y=（x-2）2+1．
故答案为：
y=（x-2）2+1．
利用配方法整理即可得解．
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：
y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：
y=a（x-x1）（x-x2）．
16.【答案】4-π
【解析】
解：
如图：
新的正方形的边长为1+1=2，
∴恒星的面积=2×2-π=4-π．
故答案为4-π．
恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．
本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．
17.【答案】
或
【解析】
解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
=50°
∴特征值k==
②当∠A为底角时，顶角的度数为：
180°-80°-80°=20°
∴特征值k==
综上所述，特征值k为或
故答案为或
可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
18.【答案】13a+21b
【解析】
解：
由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，
故答案为：
13a+21b．
由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．
19.【答案】解：
（-2）2-|
-2|-2cos45°+（3-π）0，
=4-（2-
）-2×
+1，
=4-2+
-
+1，
=3．
【解析】
先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
20.【答案】解：
设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：
，
解得：
，
答：
中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．
【解析】
根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
21.【答案】25π
【解析】
解：
（1）如图⊙O即为所求．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．
由题意OE=4，BE=EC=3，
在Rt△OBE中，OB==5，
∴S圆O=π•52=25π．
故答案为25π．
（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．
（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：
如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．
∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE=FH，
在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，
∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），
∴FH=CE=34.6（cm）
∵DH=49.6cm，
∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），
在Rt△CDF中，sin∠DCF=
=
=
，
∴∠DCF=30°，
∴此时台灯光线为最佳．
【解析】
如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：
（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，
∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是
；
（2）画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，
∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为
=
．
【解析】
（1）由概率公式即可得出结果；
（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】11 10 78 81
【解析】
解：
（1）由题意知a=11，b=10，
将七年级成绩重新排列为：
59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，
∴其中位数c==78，
八年级成绩的众数d=81，
故答案为：
11，10，78，81；
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）；
（3）八年级的总体水平较好，
∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，
∴八年级得分高的人数相对较多，
∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．
（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）答案不唯一，合理均可．
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：
（1）∵反比例函数y=
（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，
∴3=
，3=-1+b，
∴k=3，b=4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=
，y=-x+4；
（2）由图象可得：
当1＜a＜3时，PM＞PN．
【解析】
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图象可解．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
26.【答案】
（1）证明：
连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠DAC=180°-60°-30°=90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：
连接AE，
∵AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，∠AED=60°，
∴∠EAC=∠AED-∠C=30°，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=CE=2
，
∴⊙D的半径AD=2
．
【解析】
（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC是⊙D的切线；
（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE=DE，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
27.【答案】解：
延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：
则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，
∴△EB1C1是等腰直角三角形，
∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，
∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，
∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，
∴E、C1、N1，三点共线，
在△A1B1M1和△EB1M1中，
，
∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），
∴A1M1=EM1，∠1=∠2，
∵A1M1=M1N1，
∴EM1=M1N1，
∴∠3=∠4，
∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，
∴∠1=∠2=∠5，
∵∠1+∠6=90°，
∴∠5+∠6=90°，
∴∠A1M1N1=180°-90°=90°．
【解析】
延长A1B1至
升级会员 