甘肃省陇南市中考数学试卷.doc
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2019年甘肃省陇南市中考数学试卷
一、选择题：
本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
5．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3
8．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分.
11．（4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点 ．
12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
实验者
德•摩根
蒲丰
费勒
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
掷币次数
6140
4040
10000
36000
80640
出现“正面朝上”的次数
3109
2048
4979
18031
39699
频率
0.506
0.507
0.498
0.501
0.492
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 （精确到0.1）．
13．（4分）因式分解：
xy2﹣4x＝ ．
14．（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 ．
15．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．
17．（4分）定义：
等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
三、解答题
（一）：
本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
19．（6分）计算：
（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0
20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
21．（8分）已知：
在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：
△ABC的外接圆．（要求：
尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝ ．
22．（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：
当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？
（参考数据：
取1.73）．
23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：
A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
四、解答题
（二）：
本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：
79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：
92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
b
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
c
八年级
78
d
80.5
应用数据：
（1）由上表填空：
a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：
AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：
如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：
∠AMN＝60°．
点拨：
如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：
△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：
∠AMN＝60°．
问题：
如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：
∠A1M1N1＝90°．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
2019年甘肃省陇南市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．
【解答】解：
A、该几何体为四棱柱，不符合题意；
B、该几何体为圆锥，不符合题意；
C、该几何体为三棱柱，符合题意；
D、该几何体为圆柱，不符合题意．
故选：
C．
【点评】考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．
2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．
【解答】解：
∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，
∴点B表示的数是：
3．
故选：
D．
【点评】此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．
3．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
【解答】解：
∵32＝9，42＝16，
∴3＜＜4，
10与9的距离小于16与10的距离，
∴与最接近的是3．
故选：
A．
【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
4．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；
【解答】解：
0.000000007＝7×10﹣9；
故选：
D．
【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
5．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答】解：
根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：
B．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．
【解答】解：
黑色正五边形的内角和为：
（5﹣2）×180°＝540°，
故选：
C．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3
【分析】先去括号，然后移项
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