高中数学《课堂讲义》湘教版必修一 专题2指数函数对数函数和幂函数 251.docx
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高中数学《课堂讲义》湘教版必修一专题2指数函数对数函数和幂函数251
2．5 函数模型及其应用
2．5.1 几种函数增长快慢的比较
[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
[预习导引]
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax（a＞1）
y＝logax
（a＞1）
y＝xn
（n＞0）
在（0，＋∞）上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐渐变陡
随x增大逐渐变缓
随n值而不同
2.三种函数的增长速度比较
（1）在区间（0，＋∞）上，函数y＝ax（a＞1），y＝logax（a＞1）和y＝xn（n＞0）都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
（2）在区间（0，＋∞）上随着x的增大，y＝ax（a＞1）增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n＞0）的增长速度，而y＝logax（a＞1）的增长速度则会越来越慢．
（3）存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
要点一 函数模型的增长差异
例1
（1）当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（ ）
A．y＝10000x B．y＝log2x
C．y＝x1000D．y＝
x
（2）四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
答案
（1）D
（2）y2
解析
（1）由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝
x增长速度最快．
（2）以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
规律方法 在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（a＞1），y＝logax（a＞1）和y＝xn（n＞0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n＞0）的增长速度，而y＝logax（a＞1）的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，若x＞x0，有logax＜xn＜ax.
跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（ ）
A．指数函数：
y＝2tB．对数函数：
y＝log2t
C．幂函数：
y＝t3D．二次函数：
y＝2t2
答案 A
解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数．
要点二 几种函数模型的比较
例2 某汽车制造商在2013年初公告：
随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2010
2011
2012
产量
8（万）
18（万）
30（万）
如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：
二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），指数函数模型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b＞0，b≠1），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
解 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点（1,8），（2,18），（3,30）．
（1）构造二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
将点坐标代入，可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f（x）＝x2＋7x，故f（4）＝44，与计划误差为1.
（2）构造指数函数模型
g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b＞0，b≠1），
将点坐标代入，可得
解得a＝
，b＝
，c＝－42.则g（x）＝
·
x－42，
故g（4）＝
·
4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由
（1）
（2）可得，f（x）＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．
规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．
2．理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．
跟踪演练2 函数f（x）＝lgx，g（x）＝0.3x－1的图象如图．
（1）指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．
解
（1）由函数图象特征及变化趋势，知
曲线C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f（x）＝lgx.
（2）当x∈（0，x1）时，g（x）＞f（x）；
当x∈（x1，x2）时，g（x）＜f（x）；
当x∈（x2，＋∞）时，g（x）＞f（x）．
函数g（x）＝0.3x－1呈直线增长，函数f（x）随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（ ）
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100D．y＝100x
答案 D
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是（ ）
A．2x＞x2＞log2xB．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x
答案 B
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间（2,4）上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.
方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致是（ ）
答案 D
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，得ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），
∴y＝f（x）的图象大致为D中图象．
4．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到（ ）
A．300只B．400只
C．500只D．600只
答案 A
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2（x＋1），
得y＝300.
5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．
答案 y＝－
x＋50（0＜x＜200）．
解析 设解析式为y＝kx＋b，
由
解得k＝－
，b＝50，
∴y＝－
x＋50（0＜x＜200）．
三种函数模型的选取
（1）当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
（3）幂函数模型y＝xn（n＞0），则可以描述增长幅度不同的变化：
n值较小（n≤1）时，增长较慢；n值较大（n＞1）时，增长较快．
一、基础达标
1．下列函数中，增长速度最慢的是（ ）
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6D．y＝6x
答案 B
解析 对数函数增长的越来越慢，故选B.
2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2（v1＜v2），则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图象为（ ）
答案 B
解析 ∵v1＜v2，
∴前半段路程用的时间长．
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为（ ）
A．y＝0.9
B．y＝（1－0.1
）m
C．y＝0.9
mD．y＝（1－0.150x）m
答案 C
解析 设每年湖水量为上一年的q%，
则（q%）50＝0.9，∴q%＝0.9
.
∴x年后的湖水量为y＝0.9
m.
4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（ ）
A．y＝0.2xB．y＝
（x2＋2x）
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
答案 C
解析 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．
5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·（0.5）x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________万件．
答案 1.75
解析 由
得
所以y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75（万件）．
6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：
①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．
答案 ②④
解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则②④正确．
7．一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游，甲旅行社说：
“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：
“家庭旅行为集体票，按原价
优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解 设家庭中孩子数为x（x≥1，x∈N＋），
旅游收费为y，旅游原价为a.
甲旅行社收费：
y＝a＋
（x＋1）a＝
（x＋3）a；
乙旅行社收费：
y＝
（x＋2）a.
∵
（x＋2）a－
（x＋3）a＝
（x－1）a，
∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．
当x＞1时，甲旅行社更优惠．
二、能力提升
8．若x∈（1,2），则下列结论正确的是（ ）
A．2x＞
＞lgxB．2x＞lgx＞
C．
＞2x＞lgxD．
＞lgx＞2x
答案 A
解析 ∵x∈（1,2），∴2x∈（2,4）．
∴
∈（1，
），lgx∈（0,1）．
∴2x＞
＞lgx.
9．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
答案 B
解析 （如图）取OH的中点E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．
10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭（除燃料外）质量mkg的关系是v＝2000·ln
，则当燃料质量是火箭质量的______倍时，火箭的最大速度可达12km/s.
答案 e6－1
解析 由题意得2000ln
＝12000.
∴ln
＝6，从而
＝e6－1.
11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V（m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3
成正比，且当Q＝900时，V＝1.
（1）求出V关于Q的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．
解
（1）设V＝k·log3
，
∵当Q＝900时，V＝1，
∴1＝k·log3
，
∴k＝
，
∴V关于Q的函数解析式为V＝
log3
.
（2）令V＝1.5，则1.5＝
log3
，
∴Q＝2700，
∴一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．
三、探究与创新
12．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：
工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：
工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？
通过计算加以说明．
（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
解 设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知
y1＝（50－25）x－2×0.5x－30000＝24x－30000，
y2＝（50－25）x－14×0.5x＝18x.
（1）当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，
∵y1＜y2，
∴应选择方案二处理污水．
（2）当x＝6000时，y1＝114000，
y2＝108000，
∵y1＞y2，
∴应选择方案一处理污水．
13．我们知道：
人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2（W/m2）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：
L1＝10lg
（单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）．回答下列问题：
（1）树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；
（2）某一新建的安静小区规定：
小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
解
（1）由题意知：
树叶沙沙声的强度水平为L2＝10lg
＝10lg1＝0（分贝）；
耳语的强度水平为
L3＝10lg
＝10lg102＝20（分贝）；
恬静的无线电广播的强度水平为
L4＝10lg
＝10lg104＝40（分贝）．
（2）由题意知0≤L1＜50，
即0≤10lg
＜50，
所以1≤
＜105，
即1×10－12≤I＜1×10－7.
所以新建的安静小区的声音强度I大于等于1×10－12W/m2，同时小于1×10－7W/m2.
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