高中数学《课堂讲义》湘教版必修一 专题2指数函数对数函数和幂函数 251.docx
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高中数学《课堂讲义》湘教版必修一专题2指数函数对数函数和幂函数251
2.5 函数模型及其应用
2.5.1 几种函数增长快慢的比较
[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长快慢;理解直线上升,对数增长,指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题.
[预习导引]
1.三种函数模型的性质
函数
性质
y=ax(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xn
(n>0)
在(0,+∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐渐变陡
随x增大逐渐变缓
随n值而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上.
(2)在区间(0,+∞)上随着x的增大,y=ax(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.
(3)存在一个x0,使得当x>x0时,有logax<xn<ax.
要点一 函数模型的增长差异
例1
(1)当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( )
A.y=10000x B.y=log2x
C.y=x1000D.y=
x
(2)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________.
答案
(1)D
(2)y2
解析
(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=
x增长速度最快.
(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.
规律方法 在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢,总会存在一个x0,若x>x0,有logax<xn<ax.
跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A.指数函数:
y=2tB.对数函数:
y=log2t
C.幂函数:
y=t3D.二次函数:
y=2t2
答案 A
解析 由题中图象可知,该函数模型为指数函数.
要点二 几种函数模型的比较
例2 某汽车制造商在2013年初公告:
随着金融危机的解除,公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
年份
2010
2011
2012
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:
二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系?
解 建立年销量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).
(1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
将点坐标代入,可得
解得a=1,b=7,c=0,
则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型
g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),
将点坐标代入,可得
解得a=
,b=
,c=-42.则g(x)=
·
x-42,
故g(4)=
·
4-42=44.4,与计划误差为1.4.
由
(1)
(2)可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.
规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型,也就是借助数据信息,得到相关方程,进而求出待定参数.
2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义,在此基础上利用既定值来检验模型的优劣.
跟踪演练2 函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图.
(1)指出C1,C2分别对应图中哪一个函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
解
(1)由函数图象特征及变化趋势,知
曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,
曲线C2对应的函数为f(x)=lgx.
(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x);
当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x);
当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x).
函数g(x)=0.3x-1呈直线增长,函数f(x)随着x的逐渐增大,其函数值变化的越来越慢,为“蜗牛式”增长.
1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( )
A.y=100x B.y=log100x
C.y=x100D.y=100x
答案 D
解析 几种函数模型中,指数函数增长最快,故选D.
2.当2<x<4时,2x,x2,log2x的大小关系是( )
A.2x>x2>log2xB.x2>2x>log2x
C.2x>log2x>x2D.x2>log2x>2x
答案 B
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=log2x,y=x2,y=2x,在区间(2,4)上从上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的图象,所以x2>2x>log2x.
方法二 比较三个函数值的大小,作为选择题,可以采用特殊值代入法.可取x=3,经检验易知选B.
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( )
答案 D
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a,
由题意,得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),
∴y=f(x)的图象大致为D中图象.
4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,到第7年它们发展到( )
A.300只B.400只
C.500只D.600只
答案 A
解析 由已知第一年有100只,得a=100.
将a=100,x=7代入y=alog2(x+1),
得y=300.
5.某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为________.
答案 y=-
x+50(0<x<200).
解析 设解析式为y=kx+b,
由
解得k=-
,b=50,
∴y=-
x+50(0<x<200).
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型.
(3)幂函数模型y=xn(n>0),则可以描述增长幅度不同的变化:
n值较小(n≤1)时,增长较慢;n值较大(n>1)时,增长较快.
一、基础达标
1.下列函数中,增长速度最慢的是( )
A.y=6x B.y=log6x
C.y=x6D.y=6x
答案 B
解析 对数函数增长的越来越慢,故选B.
2.甲从A地到B地,途中前一半路程的行驶速度是v1,后一半路程的行驶速度是v2(v1<v2),则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图象为( )
答案 B
解析 ∵v1<v2,
∴前半段路程用的时间长.
3.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A.y=0.9
B.y=(1-0.1
)m
C.y=0.9
mD.y=(1-0.150x)m
答案 C
解析 设每年湖水量为上一年的q%,
则(q%)50=0.9,∴q%=0.9
.
∴x年后的湖水量为y=0.9
m.
4.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A.y=0.2xB.y=
(x2+2x)
C.y=
D.y=0.2+log16x
答案 C
解析 将x=1,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入验算.
5.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·(0.5)x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为________万件.
答案 1.75
解析 由
得
所以y=-2×0.5x+2,
所以3月份产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件).
6.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法:
①前5min温度增加的速度越来越快;②前5min温度增加的速度越来越慢;③5min以后温度保持匀速增加;④5min以后温度保持不变.
其中正确的说法是________.
答案 ②④
解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平,即5min前每当t增加一个单位增量Δt,则y相应的增量Δy越来越小,而5min后y关于t的增量保持为0,则②④正确.
7.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游,甲旅行社说:
“如果父亲买全票一张,其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说:
“家庭旅行为集体票,按原价
优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数,分别建立表达式,计算两家旅行社的收费,并讨论哪家旅行社更优惠.
解 设家庭中孩子数为x(x≥1,x∈N+),
旅游收费为y,旅游原价为a.
甲旅行社收费:
y=a+
(x+1)a=
(x+3)a;
乙旅行社收费:
y=
(x+2)a.
∵
(x+2)a-
(x+3)a=
(x-1)a,
∴当x=1时,两家旅行社收费相等.
当x>1时,甲旅行社更优惠.
二、能力提升
8.若x∈(1,2),则下列结论正确的是( )
A.2x>
>lgxB.2x>lgx>
C.
>2x>lgxD.
>lgx>2x
答案 A
解析 ∵x∈(1,2),∴2x∈(2,4).
∴
∈(1,
),lgx∈(0,1).
∴2x>
>lgx.
9.向高为H的水瓶内注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( )
答案 B
解析 (如图)取OH的中点E作h轴的垂线,由图知当水深h达到容量一半时,体积V大于一半.易知B符合题意.
10.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v=2000·ln
,则当燃料质量是火箭质量的______倍时,火箭的最大速度可达12km/s.
答案 e6-1
解析 由题意得2000ln
=12000.
∴ln
=6,从而
=e6-1.
11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V(m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现V与log3
成正比,且当Q=900时,V=1.
(1)求出V关于Q的函数解析式;
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数.
解
(1)设V=k·log3
,
∵当Q=900时,V=1,
∴1=k·log3
,
∴k=
,
∴V关于Q的函数解析式为V=
log3
.
(2)令V=1.5,则1.5=
log3
,
∴Q=2700,
∴一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位.
三、探究与创新
12.某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.
方案一:
工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;
方案二:
工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:
(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?
通过计算加以说明.
(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?
解 设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知
y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,
y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.
(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000,
∵y1<y2,
∴应选择方案二处理污水.
(2)当x=6000时,y1=114000,
y2=108000,
∵y1>y2,
∴应选择方案一处理污水.
13.我们知道:
人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L1表示,它们满足以下公式:
L1=10lg
(单位为分贝,L1≥0,其中I0=1×10-12,是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答下列问题:
(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12W/m2,耳语的强度是1×10-10W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8W/m2,试分别求出它们的强度水平;
(2)某一新建的安静小区规定:
小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,试求声音强度I的范围为多少?
解
(1)由题意知:
树叶沙沙声的强度水平为L2=10lg
=10lg1=0(分贝);
耳语的强度水平为
L3=10lg
=10lg102=20(分贝);
恬静的无线电广播的强度水平为
L4=10lg
=10lg104=40(分贝).
(2)由题意知0≤L1<50,
即0≤10lg
<50,
所以1≤
<105,
即1×10-12≤I<1×10-7.
所以新建的安静小区的声音强度I大于等于1×10-12W/m2,同时小于1×10-7W/m2.