4.甲、乙两人在一次赛跑中,路程S与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
[答案] D
[解析] 从图可以看出,甲、乙两人同时出发(t=0),跑相同多的路程(S0),甲用时(t1)比乙用时(t2)较短,即甲比乙的速度快,甲先到达终点.
5.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管OA=1m,水从喷头A喷出后呈抛物线状,先向上至最高点落下,若最高点距水面2m,A离抛物线对称轴1m,则在水池半径的下列可选值中,最合算的是( )
A.3.5mB.3m
C.2.5mD.2m
[答案] C
[解析] 建立如图坐标系,据题设y轴右侧的抛物线方程为y=a(x-1)2+2.
∵抛物线过点A(0,1)
∴将(0,1)点代入方程得a=-1,∴y=-(x-1)2+2.
令y=0,得x=1+
,x=1-
(舍),故落在水面上的最远点B到O点距离为(1+
)m,考虑合算,须达到要求条件下用料最少,∴选C.
6.某市原来民用电价为0.52元/kw·h.换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kw·h,谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h.对于一个平均每月用电量为200kw·h的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量( )
A.至少为82kw·h
B.至少为118kw·h
C.至多为198kw·h
D.至多为118kw·h
[答案] D
[解析] ①原来电费y1=0.52×200=104(元).
②设峰时段用电为xkw·h,电费为y,
则y=x×0.55+(200-x)×0.35=0.2x+70,由题意知0.2x+70≤(1-10%)y1,
∴x≤118.
答:
这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kw·h.
二、填空题
7.英语老师准备存款5000元.银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元.
[答案] 5514.99
[解析] 根据题意,五年后的本息共5000(1+1.98%)5=5514.99(元).
8.设物体在8∶00到16∶00之间的温度T是时间t的函数:
T(t)=at2+bt+c(a≠0),其中温度的单位是°C,时间的单位是小时,t=0表示12∶00,t取正值表示12∶00以后,若测得该物体在8∶00的温度为8°C,12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C,则T(t)=________.
[答案] -3t2+t+60
[解析] 将t=-4,T=8;t=0,T=60;t=1,T=58分别代入函数表达式中即可解出a=-3,b=1,c=60.
三、解答题
9.某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元,假设该物品的价格年增长率是平均的,那么2010年该物品的价格是多少?
(精确到元)
[解析] 从1964年开始,设经过x年后物价为y,物价增长率为a%,则y=100(1+a%)x,将x=40,y=500代入得500=100(1+a%)40,解得a=4.1,故物价增长模型为y=100(1+4.1%)x.
到2010年,x=46,代入上式得y=100(1+4.1%)46≈635(元).
10.有甲、乙两个水桶,开始时水桶甲中有a升水,水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=ae-nt,假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等,求再过多长时间水桶甲的水只有
.
[解析] 由题意得ae-5n=a-ae-5n,即e-5n=
,设再过t分钟桶甲中的水只有
,得ae-n(t+5)=
,所以(
)
=(e-5n)
=e-n(t+5)=
=(
)3,∴
=3,∴t=10.∴再过10分钟桶甲的水只有
.
11.某报纸上报道了两则广告,甲商厦实行有奖销售:
特等奖10000元1名,一等奖1000元2名,二等奖100元10名,三等奖5元200名,乙商厦则实行九五折优惠销售.请你想一想;哪一种销售方式更吸引人?
哪一家商厦提供给消费者的实惠大.面对问题我们并不能一目了然.于是我们首先作了一个随机调查.把全组的16名学员作为调查对象,其中8人愿意去甲家,6人喜欢去乙家,还有两人则认为去两家都可以.调查结果表明:
甲商厦的销售方式更吸引人,但事实是否如此呢?
请给予说明.
[解析] 在实际问题中,甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制.所以这个问题应该有几种情形:
(1)若甲商厦确定每组设奖.当参加人数较少时,少于1+2+10+200=213人,人们会认为获奖机率较大,则甲商厦的销售方式更吸引顾客.
(2)若甲商厦的每组营业额较多时,他给顾客的优惠幅度就相应的小.因为甲商厦提供的优惠金额是固定的,共10000+2000+1000+1000=14000元.假设两商厦提供的优惠都是14000元,则可求乙商厦的营业额为14000÷5%=280000.
所以由此可得:
(1)当两商厦的营业额都为280000元时,两家商厦所提供的优惠同样多.
(2)当两商厦的营业额都不足280000元时,乙商厦的优惠则小于14000元,所以这时甲商厦提供的优惠仍是14000元,优惠较大.
(3)当两家的营业额都超过280000元时,乙商厦的优惠则大于14000元,而甲商厦的优惠仍保持14000元时,乙商厦所提供的优惠大.
12.某种新栽树木5年成材,在此期间年生长率为20%,以后每年生长率为x%(x<20).树木成材后,既可以砍伐重新再栽,也可以继续让其生长,哪种方案更好?
[解析] 只需考虑10年的情形.设新树苗的木材量为Q,则连续生长10年后木材量为:
Q(1+20%)5(1+x%)5,5年后再重栽的木材量为2Q(1+20%)5,画出函数y=(1+x%)5与y=2的图象,用二分法可求得方程(1+x%)5=2的近似根x=14.87,故当x<14.87%时就考虑重栽,否则让它继续生长.
*13.(湖南长沙同升湖实验学校高一期末)商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少.已知标价为每件300元时,购买人数为零.标价为每件225元时,购买人数为75人,若这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以高于成本价的相同价格(标价)出售,问:
(1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元?
(2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元?
[解析]
(1)设购买人数为n人,羊毛衫的标价为每件x元,利润为y元,则n=kx+b(k<0),
∴
,∴
,
∴n=-x+300.
y=-(x-300)·(x-100)=-(x-200)2+10000,x∈(100,300]
∴x=200时,ymax=10000
即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件200元.
(2)由题意得,-(x-300)·(x-100)=10000×75%
∴x2-400x+30000=-7500,
∴x2-400x+37500=0,
∴(x-250)(x-150)=0
∴x1=250,x2=150
所以当商场以每件150元或250元出售时,可获得最大利润的75%.
14.学校请了30名木工,要制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7,问30名工人应当如何分组(一组制课桌,另一组制椅子),能使完成全部任务最快?
[分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间,只要它最小,即完成任务最快.
[解析] 设x名工人制课桌,(30-x)名工人制椅子,一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子,
∴制作100张课桌所需时间为函数P(x)=
,
制作200把椅子所需时间为函数Q(x)=
,
完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)与Q(x)中的较大值.
欲使完成任务最快,须使P(x)与Q(x)尽可能接近(或相等).
令P(x)=Q(x),即
=
,
解得x=12.5,∵人数x∈N,考察x=12和13的情形有P(12)≈1.19,Q(12)≈1.111,P(13)≈1.099,Q(13)≈1.176,∴f(12)=1.19,f(13)=1.176,
∵f(12)>f(13),∴x=13时,f(x)取最小值,∴用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务最快.
[点评] 本题有几点需特别注意,人数x必须是自然数,故P(x)与Q(x)不相等,f(x)是P(x)与Q(x)中的较大者,完成任务最快的时间是f(x)的最小值.