高考数学北京卷压轴题分析 1.docx

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高考数学北京卷压轴题分析1

2016年全国⾼考数学压轴题的分析与解

2016年6⽉8⽇

⺫录

12016年北京卷理科数学2

22016年北京卷⽂科数学7

1

12016年北京卷理科数学

试卷点评今年的北京卷延续了去年的命题风格：

与实际⽣活相联系的选择题第8题，考查函数的图象与性质的填空第14题．今年的解析⼏何⼤题和导数⼤题⽐去年难度都有所下降，创新⼤题的难度则略微提升，

总的来说是稳中有降．值得注意的是理科的第8题，⽂科的第8题和第14题看似简单，但是对思维僵化、对应⽤数学知识（尤其是逻辑知识）解决实际问题的能⼒有所⽋缺的学⽣将造成不⼩的障碍．

解每次操作只有可能发⽣下列4种情形中的⼀种：

1.甲盒中放⼊红球，⼄盒中放⼊⿊球；

2.甲盒中放⼊⿊球，丙盒中放⼊红球；

3.甲盒中放⼊红球，⼄盒中放⼊红球；

4.甲盒中放⼊⿊球，丙盒中放⼊⿊球．

由于袋中的红球和⿊球⼀样多，因此情形3和情形4出现的次数必然⼀样多，于是可得⼄盒中红球与丙盒中⿊球⼀样多，选B．只发⽣情形1即为选项A,D的反例，只发⽣情形2即为选项C的反例．

解利⽤函数图象解决问题．令g（x）=x3−3x,x∈R，则

g′（x）=3（x+1）（x−1）,

故g（x）在x=−1处取得极⼤值g（−1）=2，在x=1处取得极⼩值g

（1）=−2．令h（x）=−2x,x∈R，则h（x）的图象经过点（−1,2）,（1,−2）．函数g（x）与h（x）的图象如下图所⽰，从中即可得出此题的结果．

（1）2；

（2）（−∞,−1）．

y

2y=x3−3x

1

−1O

−2

x

y=−2x

分析第

（1）小题是典型的利用导函数求函数的切线⽅程的问题；第

（2）小题是简单的利用导函数研究函数的单调性的问题．

解

（1）函数f（x）的导函数

因此根据题意有

f′（x）=ea−x（1−x）+b,

（2）由

（1）可知，

f

（2）=2（e−1）+4,

f′

（2）=e−1,

解得a=2,

b=e.

f（x）=xe2−x+ex,f′（x）=e[（1−x）e1−x+1].

考察函数g（x）=xex+1,x∈R，由于

g′（x）=ex（x+1）,

故g（x）的最⼩值为

1

g（−1）=1−e>0,

由此可知f′（x）>0．所以f（x）在R上单调递增．

分析第

（1）小题考查椭圆的基本量；第

（2）小题考查基本的利用代数⽅法研究⼏何的能⼒．

解根据题意画出⽰意图如图．

yM

B

P

OANx

（1）

根据椭圆C的离⼼率为√3

2

可得a2=4b2，又OAB的⾯积1ab=1，于是可得a=2，b=1，

2

因此椭圆C的⽅程为

x2

+y=1.

4

.Å2cosθ

ãÅsinθã.

.（sinθ+cosθ−1）2.

分析第

（1）小题是为了让解题者熟悉“tt时刻”所作的铺垫；第

（2）小题提示解题者将具体的“tt时刻”设出，然后利用其定义解决问题，考查了最值原理．第（3）小题中结论的形式aN−a1提示我们去寻找类似于“裂项”的结构．

解

（1）tt（A）={2,5}．

（2）若数列A中存在an使得an>a1，不妨假设ak（2⩽k⩽N）是a2,a3,···,aN中第⼀个⼤于a1的数，则对⼩于k的每个正整数i都有ai

（3）（i）若tt（A）=∅，则由第

（2）题可知，aN⩽a1，此时结论成⽴．

（ii）若tt（A）̸=∅，设tt（A）={i1,i2,···,ik}，其中ij∈{2,3,···,N},j=1,2,···,k．不妨设i1

···a1⩾ai1−1，所以

ai1−a1⩽ai1−ai1−1⩽1,

同理，ai2>ai1⩾ai2−1，所以

以此类推，我们有

ai1−a1⩽ai1−ai1−1⩽1,ai2−ai1⩽ai2−ai2−1⩽1,

·········,

aik−aik−1⩽aik−aik−1⩽1.

将以上各式叠加，我们得到

故此时结论也成⽴．

ai2−ai1⩽ai2−ai2−1⩽1,

aN−a1⩽aik−a1⩽k,

综合（i）（ii）可知，若数列A满⾜an−an−1⩽1（n=2,3,···,N），则tt（A）的元素个数不⼩于aN−a1．

22016年北京卷⽂科数学

学⽣序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

⽴定跳远（单位：

⽶）

1.96

1.92

1.82

1.80

1.78

1.76

1.74

1.72

1.68

1.60

30秒跳绳（单位：

次）

63

a

75

60

63

72

70

a−1

b

65

解进⼊⽴定跳远决赛的8⼈是1号到8号，他们的30秒跳绳成绩记为

（3,75）,（6,72）,（7,70）,（1,63）,（5,63）,（4,60）,

以及（2,a）,（8,a−1）．注意到30秒跳绳的成绩中有两名学⽣并列，因此进⼊决赛的成绩线必然在63次

以下（否则⾄多只有5⼈进⼊决赛），因此可以确定5号学⽣必然进⼊了30秒跳绳决赛，选B．

解如图，区域I,II,III表⽰只在第⼀、⼆、三天售出的商品；区域IV,V,VI表⽰在第⼀、⼆天，第⼆、三天，第⼀，三天售出的商品；区域VII表⽰三天都售出的商品．它们的数量分别为xi（i=1,2,···,7）．

（1）根据题意，有x1+x4+x6+x7=19，⽽x4+x7=3，因此x1+x6=19−3=16．

（2）根据容斥原理，这三天售出的商品总数为

19+13+18−（3+4+x6+x7）+x7=43−x6,

⽽x5+x7=4，因此x6⩽18−4=14，因此这三天售出的商品总数最少有29种．⼀种符合题意的填法是

（x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7）=（2,9,0,0,1,14,3）.

分析第

（1）小题考查椭圆的⽅程与基本量；第

（2）小题与理科的第

（2）小题基本⼀致，参考理科第19题的

第

（2）小题．

解

（1）根据题意，有a=2，b=1，于是椭圆的⽅程为

其离⼼率e=√3．

2

x2

+y=1,

4

2

（2）四边形ABNM的⾯积S=1|AN|·|BM|．

y

设P点坐标为（2cosθ,sinθ），其中θ∈Åπ,3πã，可求得M点坐标为Å0,sinθã，N点坐标为

.Å2cosθãÅsinθã..（sinθ+cosθ−1）2.

因此四边形ABNM的⾯积S=1|AN|·|BM|=2为定值．

分析第

（1）小题是基本的利用导函数求曲线的切线⽅程的问题；第

（2）小题是利用导函数研究函数的零点

的问题，可以分离变量以简化问题；第（3）小题是在第

（2）小题的基础上进⾏的⼀点点延伸．

解

（1）函数f（x）的导函数

f′（x）=3x2+2ax+b,

于是f（0）=c，f′（0）=b，因此曲线y=f（x）在（0,f（0））处的切线⽅程为y=bx+c．

（2）函数f（x）的零点即⽅程

x3+4x2+4x=−c

的实数根，令g（x）=x3+4x2+4x，则其导函数

g′（x）=3x2+8x+4=（3x+2）（x+2）,

⼤值为g（−2）=0，极⼩值为gÅ−2ã=−32．

−27<−c<0,解得0

Åã

因此c的取值范围是0,32．

27

（3）分两步证明．

必要性若连续函数f（x）有三个不同零点，那么f（x）的单调性必然变化⾄少2次，因此其导函数必然有2个不同的零点，从⽽f′（x）的判别式

∆=4（a2−3b）>0,

从⽽a2−3b>0．

⾮充分性取a=0，b=−3，c=3，则函数f（x）=x3−3x+3，其导函数

f′（x）=3（x+1）（x−1）,

于是其极⼤值为f（−1）=5，其极⼩值为f

（1）=1，因此函数f（x）只有1个零点．

综上所述，a2−3b>0是f（x）有三个不同零点的必要⽽不充分条件．