中考数学压轴题100题精选.docx

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中考数学压轴题100题精选

2020中考数学压轴题100题精选

【001］如图，已知抛物线ya（x1）23百（aw0）经过点A（2,0）,抛物线的顶点为D,过O作射线OM//AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上，连结BC.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）.问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？

直角梯形？

等腰梯形？

（3）若OCOB,动点P和动点Q分别从点。

和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t⑸，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？

并求出最小值及此时PQ的长.

【002］如图16,在Rt^ABC中，/C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1

个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平

Q到达点B时停

分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BGCP于点E.点P、Q同时出发，当点止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒（t>0）.

（1）

（2）

当t=2时，AP=

，点Q到AC的距离是

（3）

（4）

在点P从C向A运动的过程中，求^APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）在点E从B向C运动的过程中，四边形为直角梯形？

若能，求t的值.若不能，当DE经过点C时，请直接写出t的值.

【003］如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4,0）、C（8,0）、D

（8,8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作P已AB交AC于点E,①过点E作EF，AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长？

②连接EQ在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？

请直接写出相应的t值。

【004］如图，已知直线l1:

28-八

—x一与直线l2:

2x16相交于点C,卜l2分别交x

轴于A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l「L上，顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合.

（1）求z\ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，

设移动时间为t（0wt012）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S关

t的取值范围.

【005］如图1,在等腰梯形ABCD中，AD//BC,E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F.AB4,BC6,/B60.

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M,过M作MN//AB交折线ADC于点N,连结PN,设EPx.

①当点N在线段AD上时（如图2）,APMN的形状是否发生改变？

若不变，求出4PMN

的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使4PMN为等腰三角形？

若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

图4（备用）

【006］如图13,二次函数yx2pxq（p0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交

于点C（0,-1）,AABC的面积为-o

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0,m）作y轴的垂线，若该垂线与AABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形？

若存在，求出

点D的坐标；若不存在，请说明理由。

【007］如图1,在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（—3,4）,

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM,如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度

向终点C匀速运动，设^PMB的面积为S（Sw0）,点P的运动时间为t秒，求S与t之间的

函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）

MPB与/BCO互为余角，并求此时直线OP

（3）在

（2）的条件下，当t为何值时,与直线AC所夹锐角的正切值.

（第26题图）

【008］如图所示，在直角梯形ABCD中，/ABC=90°,AD

BC,AB=BC,E是AB的中点，CE±BD。

（1）求证：

BE=AQ

（2）求证：

AC是线段ED的垂直平分线；

（3）ADBC是等腰三角形吗？

并说明理由。

【009】一次函数yaxb的图象分别与x轴、y轴交于点M,N,与反比例函数y—的x

图象相交于点A,B.过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为C,E;过点B分

另ij作BFx轴，BDy轴，垂足分别为F,D,AC与BD交于点K,连接CD.

（1）若点A,B在反比仞^函数y—的图象的同一分支上，如图1,试证明：

①S四边形AEDKS四边形CFBK；

②ANBM.

（2）右点AB分力1J在反比例函数y—的图象的不同分支上，如图2,则AN与BM还

相等吗？

试证明你的结论.

【010］如图，抛物线yax2bx3与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，且经过点

（2,3a）,对称轴是直线x1,顶点是M.

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点

P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请

说明理由；

（3）设直线y

x3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E（不与B,D重合），

经过A,B,E三点的圆交直线

BC于点F，试判断4AEF的形状，并说明理由;

（4）当E是直线yx3上任意一点时,

（3）中的结论是否成立？

（请直接写出结论）

【011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EHBD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.

（1）求证：

EG=CG;

（2）将图①中4BEF绕B点逆时针旋转45o,如图②所示，取DF中点G,连接EGCG.问

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）将图①中ABEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问

（1）

中的结论是否仍然成立？

通过观察你还能得出什么结论？

（均不要求证明）

第24题图②

第24题图③

【012］如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标

轴分别交于AB、C、D四点.抛物线yax2bxc与y轴交于点D,与直线yx交

于点M、N,且MA、NC分别与圆。

相切于点A和点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆。

于F,求EF的长.

（3）过点B作圆。

的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上，说明理由.

【013］如图，抛物线经过A（4,0）,B（1,0）,C（0,2）三点.

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A,P,M为顶点的三角形与4OAC相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，

请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得4DCA的面积最大，求出点D的坐标.

【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕。

点顺时针旋转，当A点第一次落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M,BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（3）设MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？

请证明你的结论.

【015】如图，二次函数的图象经过点D（0,773）,且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴

上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点巳使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似？

如果存在，求出点Q的坐标；如

果不存在，请说明理由.

A（3,3）.

m）,求m的值和这个一次函

【016］如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式;

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6,

数的解析式；

（3）第

（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

E,使四边形OECD的面积S1与

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点

四边形OABD的面积S满足：

S1—S?

若存在，求点E的坐标;

若不存在，请说明理由.

【017］如图，已知抛物线yx2bxc经过A（1,0）,B（0,2）两点，顶点为D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将4OAB绕点A顺时针旋转90。

后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后

经过点C,求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设

（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为Bi,顶点为Di,若点N在平移后的

抛物线上，且满足4NBB1的面积是4NDD1面积的2倍，求点N的坐标.

【018］如图，抛物线yax2bx4a经过A（1,0）、C（0,4）两点，与x轴交于另一点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D（m,m1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；

（3）在

（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP45°,求点P的坐标.

【019］如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点。

恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH延长BC至M,使CM=|CF-E0|,再以CM、CO为边作矩形CMNO

⑴试比较EO、EC的大小，并说明理由

S四边形CFGH

（2）令m——0GH-,请问m是否为定值？

若是，请求出m的值；若不是，请说明理由

S四边形CNMN；

⑶在

（2）的条件下，若CO=1,CE=-,Q为AE上一点且QF=-,抛物线y=mx2+bx+c经

过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.

（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点巳试问在直线BC上是否存在点K,使彳#以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？

若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标*不存在，请说明理由。

【020】如图甲，在^ABC中，/ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

解答下列问题：

（1）如果AB=AC,/BAC=90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CFBD之间的位置关系为,数量关系为。

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果ABwAC,/BACw90°点D在线段BC上运动。

试探究：

当^ABC满足一个什么条件时，CF±BC（点C、F重合除外）？

画出相应图形，

并说明理由。

（画图不写作法）

（3）若AC=4j2,BC=3,在

（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于

点P,求线段CP长的最大值。

2020年中考数学压轴题100题精选答案

【001】解：

（1）Q抛物线ya（x1）23向a0）经过点A（2,0）,

09a3,3a立

二次函数的解析式为：

322,38.3

—xx

333

过P作PE

OQ于E,则PE

（2）QD为抛物线的顶点

D（1,3&）过D作DNOB于N,则DN3J3,

AN3,ADJ32（3百）26DAO60。

4分

QOM//AD

①当ADOP时，四边形DAOP是平行四边形

OP6t6（s）5分

②当DPOM时，四边形DAOP是直角梯形

过O作OHAD于H,AO2,则AH1

（如果没求出DAO60°可由Rt^OHAsRtADNA求AH

OPDH5t5（s）6分③当PDOA时，四边形DAOP是等腰梯形

OPAD2AH624t4（s）

综上所述：

当t6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.・7分

（3）由

（2）及已知，COB60°,OCOB,AOCB是等边三角形

则OBOCAD6,OPt,BQ2t,OQ62t（0t3）

1-13\3363-

Sbcpq

63、3（62t）——1=——t3

222228

363—

当t一时，Sbcpq的面积取小值为一近10分

33393.3

此时OQ3,OP=—,OE—QE3一—PE

24444

PQJPE2QE23^329^述

\442

【002]解：

（1）1,8；5

（2）作Q。

AC于点F,如图3,AQ=CP=t,，AP3t.

由△AQMAABC；

BC.5232

得更

6t.

（3）能.

①当DE//QB时，如图4.

QBED是直角梯形.

2（3

11分

.DE，PQ,PQXQB,

此时/AQP=90°.

四边形

由^APQs'abc,彳导空”ACAB

即£3-t,解得t9.358

②如图5,当PQ//BC时,

DEXBC,四边形QBED是直角梯形.

此时/APQ=90°.

由^AQPs^abc,得AQ”ABAC'

即L3-t.解得t—.538

545

（4）t一或t—.214

【注：

①点P由C向A运动，DE经过点C.

方法一、连接QC,彳QG±BC于点G,如图6.

PCt,QC2QG2CG2[3（5t）]2[4-（5t）]2.55

oo一。

3c45

由PC2QC2,得t2[-（5t）]2[4-（5t）]2,解得t一.

552

方法二、由CQCPAQ,得QAC

QCA,进而可得

——-AQBQ-t-

BBCQ,得CQBQ,...2.2

②点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.

2324245

（6t）[-（5t）][4（5t）]t

55,14]

【003]解.

（1）点A的坐标为（4,8）

将A（4,8）、C（8,0）两点坐标分别代入y=ax2+bx

{

8=16a+4b

0=64a+8b

解得a=-2,b=4

，抛物线的解析式为：

y=-2x2+4x笳

（2）①在RtAAPE和Rt^ABC中,

PEBCPE4tanZPAE=AP=AB,gpAP=8

.•.PE=2AP=2t.PB=8-t.

.・•点E的坐标为（4+2t,8-t）.

.••点G的纵坐标为:

EG=-

2（4+2t）

8t2+8-（8-t）=—8t2+t.

2+4（4+2t）=—8t2+8.

•••-8<0,.♦.当t=4时，线段EG最长为②共有三个时刻.

t1=3,

40t2=13,

8.5

t3=

【004】

（1）解：

由

得x

4-A点坐标为

由2x

0,得x

B点坐标为

8,0..AB8

412.s八、

（2分）

16.解得

6・・•.C点的坐标为5，6.（3分）

SAABC

1…

2AB•y。

12636.

（4分）

（2）解：

.・•点D在l1上且

Xdxb8,

8二8_aa

3D点坐标为'•（5分）

又•••点E在l2上且yEyD8，2xE

xE4・，e点坐标为4%（6分）

・•・OE844,EF8.（7分）

（3）解法一：

①当0Wt3时，如图1,矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t0时，为四边形CHFG）.过C作CMAB于M,则RtzXRGBsRt/XCMB.

（图1）

RGtRG，-，CM即36RG

&ABC

SABRGSXAFH

2t.QRtAAFHsRtz\AMC,

36t2t8t

421644

S—t—t—.

即333（10分）

【005］

（1）如图1,过点E作EGBC于点G.1分

E为AB的中点，

1BE-AB2.

在RtAEBG中，/B60,../BEG30.

BG1BE1,EG.2212.3.

即点E到BC的距离为内3分

（2）①当点N在线段AD上运动时，4PMN的形状不发生改变.

••PMEF,EG

EF,PM//

EG.

.EF//BC,..EP

GM,PM

EG.3.

同理MNAB4.

如图2,过点P作PH

MN于H

-.-MN//AB,

../NMCZB60

1PM3I

PMgcos30

则

MNMH

在RtAPNH中，

NH^

PH2

APMN的周长=PM

②当点

N在线段DC上运动时,

△PMN的形状发生改变，但^MNC恒为等边三角形.

当PMPN时，如图3,作PRMN于R,则MRNR.

MR类似①，2

MN2MR3.7分

AMNC是等边三角形，，MCMN3.

则/PMN120,又/MNC60,

・・•/PNM/MNC180.

因此点P与F重合，ApMC为直角三角形.

MCPMgtan301.

此时，xEPGM6114.

5,3

综上所述，当x2或4或v时，4PMN为等腰三角形.

【006］解：

（1）OC=1所以,q=-1，又由面积知0.5OCXAB=4,^ab=2,

设A（a,0）,B（b,0）AB=ba=

.（ab）24ab=2

2，但p<0,所以p=2。

所以解析式为:

（2）令y=0,解方程得

2,x2

，所以A（2,0）,B（2,0），在直角三

㊀

角形AOC中可求得AC=2，同样可求得bc=

而,显然AC2+BC2=AB2得△ABC是直角三角

形。

AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=2,所以44。

（3）存在，AC±BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1，可设BD的

解析式为y=-2x+b,把B（2,0）代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组y

23d

x-x1

2x4得D

（2,9）

②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1，可设AD的解析式为y=0.5x+b,

把A（2,0）代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组y

x-x1

253

0.5x0.25得d„

553

上，所以存在两点：

（2,9）或（22）。

【007】

设直线A

.⑴过点A柞AES轴垂足为E（如图1）

VAC-3,4）.\AE=40E=3/.OA=\/AE?

+OE1=5

'；四边形ABCO为菱形，OC=CB=BA=OA=5.&5期…

j直堆AC的解析式为

（2）由

（1）得M点坐标为（0,^-）

如图J,当P点在AB边上运动时由题意得0H3「HM吟「3=1即由心；（5-力），小jS=Vt+M（O（t号）••…24Z

当P点在BC边上运动时.记为P,

vrOCM=ZBCMCO=CBCM=CM

aAOMC^ABMCcm。

』二mhc勺r

.5.&/t-今（尹理5）,,

•……1分

图I

2分

*7H

0）设OP与AC相交于点Q连接0B交AC于点Kv^AOC=4ABC/,^A0M=4ABM

\-ZMPB+^BCO=90°LBA0三上BCO上HAU+£AOH=90*tv

・.ZMPB=4AOH-乙MPB=£MBH

当P点在AB边上运动舟,如图2

/Z.MPR=ZMBH,PM=RM

..PH=HB=2PA=AH-PH=1

AE〃OC，乙PAQ1OCQ

“AQN乙CQO，△AQP-△CQO

在RiAAEC中二AQ卡在RiA01IB中

AC-Va^+EC1=\/43+Hr=4\/T

QC=wVT

OB=VHB!

+HO2=V2I+4r-2V

1分

I分

AQ_AP

*'CQ~CO"5

」ACJ_OBOK=KRAK=CK朋2

.\0K=vTAK=KC=2VT/.QK=AK-AQ=4Y^"■加£Og翳号

当P点在BC边上运动时，如图3二NBHM=乙PBM=9（F

.'.tanZ_MFH=lanZ.MBII

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