勾股定理知识点归纳和题型归类.docx
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勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类
一．知识归纳
１．勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：
如果直角三角形的两直角边分别为
2
2
2
a，b，斜边为c，那么ab
c
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：
4S
S正方形EFGH
S正方形ABCD，4
1
ab（b
a）
2
c
2，化简可证．
2
D
C
b
a
A
a
D
H
a
c
b
c
b
E
G
c
F
c
b
a
b
c
a
c
E
c
B
a
A
a
b
B
b
C
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
S4
1ab
c2
2abc2
2
大正方形面积为
S
（ab）2
a2
2ab
b
2，所以a2
b2
c2
方法三：
S梯形
1
（a
b）（a
b），S梯形
2SADE
SABE
2
1
ab
1
c
2，化简得证
2
2
2
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐
角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在
ABC中，C90，则ca2
b2
，b
c2
a2，a
c2
b2
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足a2
b2
c2，那么这个三角形是直角三角形，其中
c为
斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过
“数转
化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和
a2
b2与较长
边的平方
c2作比较，若它们相等时，以
a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若
a2
b2
c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；
若a2
b2
c2，时，以a，b，
c为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中a，b，c
及a
2
b
2
c
2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三
边长a，b，c满足a2
c2
b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是
b为
斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，
不能说成：
当斜边的平方等于两条直角边的平方和
时，这个三角形是直角三角形
６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个
正整数称为勾股数，即a2
b2
c2中，a，b，c为
正整数时，称a，b，c为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如
3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
③用含字母的代数式表示
n组勾股数：
丢番图发现的：
式子
m2
n2,2mn,m2
n2（m
n的正整数）
毕达哥拉斯发现的：
2
n
1,2
n
2
2
2
n
2
2
1
（n1的整数）
n
n
柏拉图发现的：
2
2
1,
n
2
1
（n
1的整数）
nn
７．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的
证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
８.．勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角
三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思
考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
９.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通
常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅
相成，完成对问题的解决．
题型一：
直接考查勾股定理
例1.在ABC中，C90．
⑴已知AC6，BC8．求AB的长
⑵已知AB17，AC15，求BC的长
题型二：
应用勾股定理建立方程
例2.
⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:
4，斜边长为15，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为
例3.如图
ABC中，
C90，1
2，CD
，BD
2.5，求AC的长
C
D
1
A
2
B
E
例4.如图RtABC，C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
C
A
B
题型三：
实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高
8cm，另一棵高
2cm，两树相距8cm，一
只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
m。
题型四：
应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为
a，b，c，判定
ABC是否为直角三角形
①a1.5，b2，
②a
5，b
1，c
2
4
3
例7.三边长为a，b，c满足ab10，ab18，c8的三角形是什么形状？
题型五：
勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知
ABC
中，
AB13
cm，
10
cm，BC边上的中线
AD12
cm，求证：
ABAC
。
BC
A
BDC
1、在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船
沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三角形绿地，
请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
3、如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25千米，C、D为两个村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=15千米，CB=10千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E的的距离相等，则E应建在
距A多少千米处？
4、在河L的同侧有两个仓库A、B相距1640米，其中A距河210米，B距河570米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：
这个最短路程是多少？
码头应建在何处？
5、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面
1尺。
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。
这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？
典型题训练
一．勾股定理
1.在Rt△ABC中，AC=12，AB=20，求BC的长。
2.△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，求△ABC的周长。
二．勾股定理的逆定理
1.已知，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是
a,b,c,an21,b2n,cn21（n1），求∠C的度数。
2.如图，A,B是公路l（l为东西走向）两旁的两个小村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B
村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上．
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，
请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹）。
3.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方向仪坏了，凭经验，船长指挥船左转90o，继续航行70海里，则
距出发地250海里，你判断船转弯后是否沿正西方向航行？
三．最短路径问题
1.如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
2.有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，若油罐底面半径是4m，高是7m，π≈3，问梯子最短是多少米？
三．折叠问题
1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠点B落在点E处，AE交DC于点F，若，求AD的长。
2.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求EC的长。
3.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD
折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。
4.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，且B′C=3，求CN和AM的长。
四．网格问题
1.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点在格点上，求△ABC中AB边上的高。
六．面积问题
1.如图，直线
l上有三个正方形
a,b,c,
若
a,c
的边长分别为
6和
8，求
b的面积。
2.如图所示，在△ABC中，AC=10，BC=17，CD=8，AD=6，
（1）求BD的长；
（2）求△ABC的面积。
3.如图，在△ABC中，∠ABC=90o，分别以
S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=。
BC,AB,AC为边向外作正方形，面积分
别记为
S1、
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，BC=6cm,AC=8cm,按图中所示的方法将△BCD沿BD折叠，
使点C落在AB边的C′点，求△ADC′的面积。
七．勾股定理的证明
1.一个直立的火柴盒在桌面倒下，启迪人们发现了勾股定理一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用
四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：
a2b2c2。
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