概率论与数理统计第一章.docx
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概率论与数理统计第一章
、选择题
1•设A,B,C为任意三个事件,则与A一定互不相容的事件为
7.设A、B、C为三个事件,已知PBA0.6,PCAB0.4,则PBCA
()
A.B.C.D.
8.设A,B是两个随机事件,且0
0,P(B|A)P(B|A),则必有
()
9•设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且0
则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()
(A)厂B与C(B)AC与C(C)厂B与C(DAB与C
10•设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充要条件是()
(A)A与BC独立(B)AB与A+C独立(CAB与AC独立(D)A+B与A+C独
11.将一枚均匀的硬币独立地掷三次,记事件A=“正、反面都出现”,B=“正面最多出现一次”,C=“反面最多出现一次”,则下面结论中不正确的是()
(A)A与B独立(B)B与C独立(C)A与C独立(D)BC与A独立
12.进行一系列独立重复试验,
每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已
经失败3次的概率为()
(A)4p(1
p)(B)C;p2(1
p)3(C)(1p)3
(D)4p2(1p)
3
二、选择题
1.设
A,B,
C为三个
事件
且
P(AB)
0.9,P(ABC)
0.97,则P(ABC)
且它们损坏的概率依次为…则电路断路的概率是.
8.甲乙两人投篮,命中率分别为,,每人投三次,则甲比乙进球多的概率
111
9.三人独立破译一密码,他们能单独译出的概率分别为则此密码被
534
译出的概率.
10.设A,B是任意两个随机事件,则P{(AB)(AB)(AB)(AB)}
11.已知A、B两事件满足条件PABPAB,且P(A)p,则PB
13
12.已知P(A)P(B)P(C)—,P(AB)P(BC)O,P(AC),则A,B,C都不
416
发生的概率为
三、计算题
1.一袋中装有10个球,其中3个黑球7个白球,每次从中任取一球,然后放回,求下列事件的概率:
(1)若取3次,A={3个球都是黑球};
⑵若取10次,B={10次中恰好取到3次黑球},C={10次中能取到黑球};
(3)若未取到黑球就一直取下去,直到取到黑球为止,
D={恰好取3次},E={至少取3次}.
2.有两箱同种类的零件,第一箱内装50只,其中10只一等品,第二箱内装30只,其中18只一等品.今从两箱中任意挑出一箱,然后从该箱中取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样.求
(1)第一次取到的零件是一等品的概率;
(2)已知第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率.
3.设10件产品中有3件次品,7件正品,现每次从中任取一件,取后不放回.
试求下列事件的概率
(1)第三次取到次品;
(2)第三次才取到次品;
(3)已知前两次没有取到次品,第三次取到次品;
4.从过去的资料得知,在出口罐头导致索赔事件中,有50%是质量问题,30%是
数量短缺问题,20%是包装问题。
又知在质量问题争议中,经过协商解决的占40%数量短缺问题争议中,经过协商解决的占60%包装问题争议中,经过协商解决的占75%如果一件索赔事件在争议中经过协商得到解决了,那么这一事件不属于质量问题的概率是多少?
5.轰炸机要完成它的使命,驾驶员必须要找到目标,同时投弹员必须要投中目标。
设驾驶员甲、乙找到目标的概率分别为、;投弹员丙、丁在找到目标的条件下投中的概率分别、.现在要配备两组轰炸人员,问甲、乙、丙、丁怎样配合才能使完成使命有较大的概率(只要有一架飞机投中目标即完成使命)?
求此概率是多少?
6.已知A,B是两个随机事件,0PB1且ABAB,证明:
PA|BPA|B2
答案
、选择题
1.
(A)
2.
(D)3
.(B)4.(B)5.(C)6.
(D)7
.(B)
8.
(C)
9.
(B)10
.(A)11.(B)12.(D)
.、
填,
空题
1.
设
A,
B,C为三
个
事件,
且
PC
A
B)
0.9,P(A
BC)0.97,贝VP(ABC)
.
解.
PC
AB
C)
P(AB
ABC)P(AB)P(ABC)1
P(AB)
1P(ABC)
=P(A
BC)—P(AB)=-=
2.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件
是不合格品,另一件也是不合格品的概率为.
解.A{二件产品中有一件是不合格品},B{二件都是不合格品}
{二件都是不合格品}
所以AB,ABB;A{二件都是合格品}
率为
件,则积事件AB的概率P(AB)=.
解.P(AB)P(A)P(B)P(AB)+-=
P(AB)P(A)P(AB)0.40.10.3.
5.某市有50住户订日报,有65住户订晚报,有85住户至少订这两种报
纸中的一种,则同时订这两种报纸的住户的百分比是.
解.假设A={订日报},B={订晚报},C=A+B.
由已知P(A)=,P(B)=,P(C)=.
所以P(AB)=P(A)+P(B)—P(A+B)=+—=.
6.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次
为,,,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率.
解.设A事件表示第i台机器运转不发生故障(i=1,2,3).
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
p(AA2a3)p(AAA3)1卩(几代乓)1p(ajp(A2)p(A3)
=1—XX=.
7.电路由元件A与两个并联元件B,C串联而成,若A,B,C损坏与否相互独立
且它们损坏的概率依次为…则电路断路的概率是.
解.假设事件A,B,C表示兀件A,B,C完好.
P(A)=,P(B)=,P(C)=.事件线路完好=A(B+C)=AB+AC.
P(A(B+C))=P(AB+AC)=P(AB)+P(AC)—P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)
—P(A)P(B)P(C)
=X+X—XX=.
所以P(电路断路)=1—=.
8.甲乙两人投篮,命中率分别为,,每人投三次,则甲比乙进球多的概率
解.设X表示甲进球数,丫表示乙进球数.
P(甲比乙进球多)=P(X=3,丫=2)+P(X=3,丫=1)+P(X=3,丫=0)
+P(X=2,丫=1)+P(X=2,丫=0)+P(X=1,Y=0)
=P(X=3)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=0)
+P(X=2)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=
0)
译出的概率
P(A)
;,P(B);,P(C);
534
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
—P(AB)—P(AC)—P(BC)+P(ABC)
解.设A,B,C表示事件甲,乙,丙单独译出密码
P(A)+P(B)+P(C)—P(A)P(B)—P(A)P(C)—P(B)P(C)+
P(A)P(B)P(C)
=1111111111113
=5345354345345
10.011.1-p12.7/16
三、计算题
1.一袋中装有10个球,其中3个黑球7个白球,每次从中任取一球,然后放回,求下列事件的概率:
1)若取3次,A={3个球都是黑球};
2)若取10次,B={10次中恰好取到3次黑球},C={10次中能取到黑球};
3)若未取到黑球就一直取下去,直到取到黑球为止,
D={恰好取3次},E={至少取3次}.
解:
还原有序抽样。
(n重伯努利试验)
P(A)0.330.027P(B)C;00.330.77
—102
P(C)1P(C)10.7P(D)0.70.3
P(E)1P(E)10.30.70.30.49
2.有两箱同种类的零件,第一箱内装50只,其中10只一等品,第二箱内装30只,其中18只一等品.今从两箱中任意挑出一箱,然后从该箱中取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样.求
1)第一次取到的零件是一等品的概率;
2)已知第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率.
解:
A=“挑出第i箱”,i=1,2.
Bj=“第i次取到的零件是一等品”,i=1,2.则
1
P(A1)P(A2)-,
101183
(1)P(B1|AJ二-,P(BjA2)扃-,
505305
由全概率公式知
P(B1)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B1|A2)
由全概率公式知
1
9
1
51
276
2
245
2
145
1421
由条件概率公式有
276
1421690
21421
5
3.设10件产品中有3件次品,7件正品,现每次从中任取一件,取后不放回.试求下列事件的概率•
1)第三次取到次品;
2)第三次才取到次品;
3)已知前两次没有取到次品,第三次取到次品;
P(Aa|A1A2)
4.从过去的资料得知,在出口罐头导致索赔事件中,有50%是质量问题,30%是
数量短缺问题,20%是包装问题。
又知在质量问题争议中,经过协商解决的占40%数量短缺问题争议中,经过协商解决的占60%包装问题争议中,经过协商解决的占75%如果一件索赔事件在争议中经过协商得到解决了,那么这一事件不属于质量问题的概率是多少?
解:
设A表示索赔事件在争议中经过协商得到解决。
B1,B2,B3
分别为质量问题,数量短缺问题,包装问题,则
P(Bi)0.5,P(B2)0.3,P(B3)0.2
P(A|BO0.4,P(A|B2)0.6,P(A|B3)0.75
PAPBiP(A|Bi)PB2P(A|B2)PB3P(A|B3)
0.50.40.30.60.20.750.53
P(Bi|A)P(Bi)P(A|Bi)0^0.38
P(A)0.53
故,一件索赔事件在争议中经过协商得到解决了,这一事件不属于质量问题的概
率是
P(Bi|A)iP(B|A)i0.380.62
5.
轰炸机要完成它的使命,驾驶员必须要找到目标,同时投弹员必须要投中目标。
设驾驶员甲、乙找到目标的概率分别为、;投弹员丙、丁在找到目标的条件下投中的概率分别、.现在要配备两组轰炸人员,问甲、乙、丙、丁怎样配合才能使完成使命有较大的概率(只要有一架飞机投中目标即完成使命)?
求此概率是多少?
P(D|A)0.6,P(D|B)0.6,
P(C|A)0.7,P(C|B)0.7,
(i)甲、丙搭配或乙、丁搭配
PACUBDPACP(BD)PACBD
0.90.70.80.60.90.70.80.6
0.8076
(2)甲、丁搭配或乙、丙搭配
PADUBCPADP(BC)PADBC
0.90.60.80.70.90.60.80.7
0.7976
采用甲、丙搭配;乙、丁搭配最佳,概率为
6.已知A,B是两个随机事件,0PB1且ABAB,证明:
PA|BPA|B2
解
QABAB,AABAABAB
0PABPABPAUB1
PA1PBPB
A与B互斥。
PAUB1PA
PA|B
PA|B
PAB
PAB
PB
PB
PA
PAB
PBP
AB
P
A
PB
PAPB