量子力学束缚态和散射态概念比较汇总.docx

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量子力学束缚态和散射态概念比较汇总

束缚态和散射态

量子力学的主要研究对象有两类：

束缚态散射态

束缚态：

在势阱中E

由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。

散射态：

是能量连续的态，此时能量间隔趋于0,态函数是自由粒子平面波的叠加。

对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在

在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分

别处理的。

实际上二者有极其密切的联系。

下面将予以讨论

2、势阱中的束缚态

对势阱，有

V（x）=-"'（x），（0）

见右图。

在x=0处，V（x）=0。

■E0为游离态（自由态），E可取任何连续值。

E<0时则可能存在束缚态，此时E取分立值。

以下讨论E<0的

情况。

定态Schrodinger方程为,

积分lim亠！

dx可得出势阱跃变条件,

'（0）一'-'（0[.2t（0）

与势垒跃变条件比较：

■-'（o）--：

'（o-）=^m^'-：

（o）

在x=o区域，Schrodinger方程可以写成为

''（x）_=0

其中一二2匹0，（E<0）

解为ex，可写为AexBe"，

利用边界条件可以知道以上两结论是一致的

考虑到V（—x）=V（x），要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是

一维），

（a）偶宇称态

或写成（x）=ce"x|

c为归一化因子。

现在根据跃变条件求解。

按厂的跃变条件，

_c：

-c--2m/2c

因此可得出粒子能量的本征值

^p2m2

E-E02

2m2护

oO

由归一化条件

「|2dx=|c|2八=1,

可得出c=締=^mU=1hJL，

L=护/mY是势的特征长度。

Jx|/L

这样归一化的束缚定态波函数可写为

■-（x）

属于能量E…于。

在Ix|_L中找到粒子的几率为

CO

2|'-（x）|2dx心二0.1353

L

（b）奇宇称态

波函数可表为

Ae"-Aex

由x=0点波函数连续性条件可得A=0,所以不可能存在奇宇称束缚定态

从物理上考虑，奇宇称态在波函数x=0点必为0。

而5势阱又恰在点x=0起作用。

所以5势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见

P60思考题）。

2、势与方势的关系，门跃变的条件

5势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。

从5势求解更为方便。

''不连续，但粒子流密度jx连续。

乂

■:

0

在其内部，Schrodinger方程为

2m（Vo-E）

dx2「2

考虑粒子能量E:

：

:

Vo情况，在势垒内部（|x|：

：

：

；）,波函数可表为

（x）二AexBe」x

其中•.-2m（V。

二E）/-。

显然'-（0）=AB，而且匸'二（Aex-Be」x）。

现在让乂、：

；》0，而对3势垒，V（x）dx二、：

（x）dx」（?

）

若保持2Vo=（常数），则方势垒将趋于一个3势垒-（x）禾U用'「（；）='（A^-Be"）,八（Ae」；-Be;）得，

-'（；）」'（_；）n；A（e；-e」）」B（e「；-e;）

当二一；0',乂一；：

（保持2Vo二）时，

讥-2mV0/'；—0

但

'2：

=2mW；/2=m/2

且当'-0时，e心―；1--

代入=A（e；-e」）-B（e」；-e）,

由'■'（）-'\~；）n；A（e'；-e一'）」B（e「:

-e）得

lim；-'（；）一-'（一JI-lim[A（2.；）.B（2'.；）1

0

二lim2.2；（AB）

-0'

即'■'（0）一'-'（0"）=—（0）

此恰为前述t'的跃变条件2、束缚能级与透射振幅极点的关系

束缚能级与散射问题有着密切的关系。

下面以一维势阱为例进行分析。

散射问题中我们取E0，而在势阱束缚态的E：

：

：

0。

对E>0的透射振幅，S=片+啜〕

I%丿

如把E0的透射振幅解析延拓到E：

：

：

0时，我们来研究束缚能级

与透射振幅极点的关系。

先讨论3函数势阱，

V（x）=-X'（x）,（0）

此时透射振幅由

（imY

其中k=$2mE厂,（E0）。

由前可知，此恰为3势阱的唯一束缚能级。

对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容作业：

p8213

§3.5一维谐振子

经典物理的谐振子模型：

分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等

量子物理的谐振子模型：

黑体辐射场量子化等,

把场中的粒子看作谐振子

一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例一、势函数

选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能点，贝「维线性谐振子的势能为：

12122

V（x）kxm•x

22

m是粒子的质量

k是谐振子的劲度系数

国是谐振子的角频率

m

二、薛定谔方程及解

d-T2j?

[E-V（x）^=0dx

m'2x2]=0

理想的谐振子是一个无限深势阱。

因为|x|「:

时，V（x）「:

，'■（x）>0为束缚态。

为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数，

->x，：

-.m■/，■=2E/■

上述方程可化为

d2

（）（■-2）'-（）=0

这是个变系数常微分方程。

（1）先讨论>行为，求渐进解（此时■可略去）

对方程C2'-（）-^（）=0d2E

其解显然可以写为・（）~e；［因为

寧'（匕）=册（匕），屮''（E）=E»（E）土寧（E）和匕够（E）

i蔥

根据束缚态边界条件，有■（）~e^'，

（2）求实际解

利用'-（）=e-2/2u「），有,

代入方程（4）得所满足的方程,

d2u

-2学C-1）u（）7

这就是所谓的Hermite方程。

=0为方程的常点。

可在=0邻域用幕级数展开。

计算表明，一般情况下解为无穷级数。

当d时，屮^）~e-，不能满足有界条件。

为得到有界解，幕级数要求中断为一多项式。

可以证明，当=2n・1时可以得出一多项式解

Un（）=出（）

11

E=En=（n）-（n）h、

2J,n=0,1,2,

卫>n岸d产

Un（）=Hn（）=（-1）ed^e-

第二项称为n界厄米多项式，宇称为（-1）n（?

）

满足下列递推关系,

Hn（）是的n次多项式。

'H°G）=1H1（®=2：

出（）=4—2i匚

」2*2

归一化波函数为tn（x）=Ae»HnGx），

是一个实函数

在求归一化系数A时，要用到厄米多项式的正交关系,

□0

e‘Hn（）Hm（）d=2nn—mn

所以归一化波函数为

最常用的几个态,

宇称）

线性谐振子波函数

线性谐振子位置概率密度

线性谐振子n=11时的概率密度分布

附

J丨

n=Il

X

虚线代表经典结果：

经典谐振子在原点速度最大，停留时间短

粒子出现的概率小；

讨论：

在两端速度为零，出现的概率最大。

1微观一维谐振子能量量子化

1

巳=（n—厂‘，n=0,1,2,…

2

能量特点：

（1）量子化，等间距士

⑵有零点能E^1'■

2

符合不确定关系

概率分布特点：

E

2基态的性质

零点能Eo=丄：

2

这是束缚态的一个典型特征，是测不准原理的一个直接结果

基态位置概率分布

量子：

在x=0处概率最大

Wo（x）=|①o（x）2=卓护％

Jn

在其它范围也能找到粒子

经典：

在x=0处的粒子速率最大，概率最小。

基态谐振子只允许在|x|_（n_i）的区域中运动，而以|_-1为经典禁区。

/

N^）l2

*肛T

12m■

2询/（弃）=

在|：

x^1处，势能

V（x）」kx2Jk/：

2

22

为总能量

X~」为振动转折点，|X|='属于经典禁区。

见右图。

但按照量子力学观点，粒子仍有一定几率出现在这个区域。

容易算出此几率为

QO’O0

Je』d©/止°.16

10

如图所示。

当n时，

量子概率分布过渡到经典概

率分布

符合玻尔对应原理

3跃迁有选择定则：

•:

n=1

跃迁只能逐级进行

各跃迁发出的谱频率相同，只有一条谱线

例题：

设粒子处在一维无限深势阱中,

处于基态n=1，求粒子的动量分布。

解：

分析——由V（x）对称，解为偶宇称态，很容易求出此对称方

势阱当n=1时的波函数=（x）。

这是粒子按照位置的分布。

按照动量的

分布只要作Fourier变换即可

可以求得

2

-cosa

——i

\a丿

iIa

|x|<-

2

a

|xb-

彳oQi

而（p）1（x）^PXdx

12〃q

、100

或f（k）：

-一-1（x）e*dx,（p

51a

v'2-L

则动量在P—•pdp间的几率为|「（p）|2dpf（k）I2dk

其中

（注意：

这里不能用3函数来表示上述积分）

作业：

P81-826,8,11