量子力学束缚态和散射态概念比较汇总.docx

1、量子力学束缚态和散射态概念比较汇总束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态束缚态：在势阱中EV0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态 边界条件下求解定态波动方程的必然结果。由前面的讨论可知，在一 定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0,态函数是自由 粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题， 一般要考虑散 射态的存在在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论2、势阱中的束缚态对势阱，有V(x)=-(x)， ( 0)见右图。在 x =0处，V(

2、x) =0。 E 0为游离态(自由态)，E可取任何连续值。E 0时则可能存在束缚态，此时 E取分立值。以下讨论E 0的情况。定态Schrod in ger方程为,积分lim亠！ dx可得出势阱跃变条件,(0 ) 一- (0 . 2 t(0)与势垒跃变条件比较：- (o)-：(o-)=m-：(o)在x=o区域，Schrodinger方程可以写成为(x) _=0其中一二2匹 0，(E 0的透射振幅，S =片+啜I %丿如把E 0的透射振幅解析延拓到E：0时，我们来研究束缚能级与透射振幅极点的关系。先讨论3函数势阱，V(x)=-X(x) , ( 0)此时透射振幅由(imY其中 k =$2mE厂,(E

3、 0)。由前可知，此恰为3势阱的唯一束缚能级。对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容 作业：p82 13 3.5 一维谐振子经典物理的谐振子模型：分子的振动、晶格的振动、原子核表面 振动以及辐射场的振动等量子物理的谐振子模型：黑体辐射 场量子化 等,把场中的粒子看作谐振子一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例 一、势函数选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能 点，贝维线性谐振子的势能为：1 2 1 2 2V (x) kx m x2 2m 是粒子的质量k 是谐振子的劲度系数国是谐振子的角频率m二、薛定谔方程及解d-T 2j?E-V(x) =0 dxm 2x2

4、= 0理想的谐振子是一个无限深势阱。因为|x|:时，V（x）:， （x） 0为束缚态。为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数，-x，：- .m / ， = 2E/ 上述方程可化为d2( ) ( - 2)-()=0这是个变系数常微分方程。（1）先讨论 行为，求渐进解（此时可略去）对方程 C2- （）- （ ）=0 d2E其解显然可以写为（）e；因为寧（匕）=册（匕），屮（E）=E（E）土寧（E）和匕够（E）i蔥根据束缚态边界条件，有 （ ）e，（2）求实际解利用-（）=e-2/2u），有,代入方程（4）得所满足的方程,d2u-2 学 C -1)u( )7这就是所谓的Hermite方程。=0为方

5、程的常点。可在 =0邻域用幕级数展开。 计算表明，一般情况下解为无穷级数。当d时，屮)e-，不能满足有界条件。 为得到有界解，幕级数要求中断为一多项式。可以证明，当 =2 n1时可以得出一多项式解Un()=出()1 1E = En =(n ) - (n )h、2 J , n = 0, 1,2,卫 n岸d 产Un( )=Hn( )=(-1) e de-第二项称为n界厄米多项式，宇称为(-1)n (?)满足下列递推关系,Hn()是的n次多项式。HG)=1 H1( = 2： 出()=4 2 i匚2*2归一化波函数为tn(x)=Ae HnGx)，是一个实函数在求归一化系数A时，要用到厄米多项式的正交关

6、系,0eHn( )Hm( )d =2nnmn所以归一化波函数为最常用的几个态,宇称）线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度线性谐振子n=11时的概率密度分布附J丨n = IlX虚线代表经典结果：经典谐振子在原点速度最大，停留时间短粒子出现的概率小；讨论：在两端速度为零，出现的概率最大。1微观一维谐振子能量量子化1巳=(n 厂，n =0,1,2,2能量特点：(1)量子化，等间距士有零点能E1 2符合不确定关系概率分布特点：E V区有隧2基态的性质零点能Eo =丄：2这是束缚态的一个典型特征，是测不准原理的一个直接结果基态位置概率分布量子：在x = 0处概率最大Wo(x) =|o(x) 2 =卓护

7、J n在其它范围也能找到粒子经典：在x =0处的粒子速率最大，概率最小。基态谐振子只允许在|x|_(n_i)的区域中运动，而以|_-1为 经典禁区。/N)l2*肛T1 2 m 2询/(弃)=在|： x1处，势能V(x)kx2 J k/ ： 22 2为总能量X 为振动转折点，| X | =属于经 典禁区。见右图。但按照量子力学观点，粒子仍有一 定几率出现在这个区域。容易算出此几率为QO O0Jed/ 止.161 0如图所示。当n时，量子概率分布过渡到经典概率分布符合玻尔对应原理3跃迁有选择定则： :n = 1跃迁只能逐级进行各跃迁发出的谱频率相同，只有一条谱线例题：设粒子处在一维无限深势阱中,处于基态n = 1，求粒子的动量分布。解：分析由V(x)对称，解为偶宇称态，很容易求出此对称方势阱当n =1时的波函数=(x)。这是粒子按照位置的分布。按照动量的分布只要作Fourier变换即可可以求得2-cos ai a丿i I a|x| -2a|xb-彳 oQ i而(p) 1(x)PXdx12 q、 1 00或 f(k)：- 一- 1(x)e*dx , ( p51 av2- L则动量在P p dp间的几率为|(p) |2 dp f (k) I2 dk其中（注意：这里不能用3函数来表示上述积分）作业：P81-82 6, 8, 11