北师大版初中数学8年级下几何部分复习研究.docx

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北师大版初中数学8年级下几何部分复习研究

北师大版初中数学8年级下几何部分复习研究

一、前面所学的所有公理、定理

（一）线及角部分

公理1：

过两点，有且只有一条直线。

公理2：

两点之间，线段最短。

⏹平行线

1．平行线的定义：

在同一平面内．不相交的两条直线是平行线．

2、平行线的性质：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．

（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.

2．如果两条直线都及第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行．

3．平行线的判定：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

如果内错角相等．那么这两条直线平行；

如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

4．常见的几种两条直线平行的结论：

（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行．

（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．

⏹余角、补角、对顶角

1．余角：

如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．

2．补角：

如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．

3．对顶角：

如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

4．互为余角的有关性质：

①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．

②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3=90○，则∠2=∠3．

5．互为补角的有关性质：

①若∠A+∠180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠∠B＝180○．

②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠180○，∠∠180°，则∠∠C．

6．对顶角的性质：

对顶角相等．

⏹

角的平分线

1、角平分线性质定理：

角平分线上的点到角的两边的距离相等；

2、角平分线性质逆定理：

到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；

3、三角形的三条角平分线相交于一点（内心）

⏹

线段垂直平分线

1、垂直平分线性质定理：

线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；

2、垂直平分线性质逆定理：

到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；

3、三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）

（二）三角形部分

⏹三角形

1、三角形的定义：

平面内，三条线段首尾顺次相接而成的封闭图形。

2、三角形中的主要线段．

1三角形的角平分线：

三角形的一个角的平分线及这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角的角平分线．

2三角形的中线：

连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

3三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．

4一个三角形有三条角平分线，三条中线、三条高线、三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，三条高或其延长线相交于一点

3、三角形三边关系公式：

三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。

4、三角形三内角关系定理：

三角形的内角和等于180°

5、三角形内外角关系定理：

三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．

⏹三角形全等

1、三角形全等的定义：

两个能完全重合的三角形叫三角形

2、三角形全等的判定定理：

1若两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等（）

2若两个三角形的两角及其夹边分别相等，则这两个三角形全等（）

3若两个三角形的两角及其中一角的对边分别相等，则这两个三角形全等（）

4若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等（）

5有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（）．

3、三角形全等的性质定理：

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

⏹三角形相似之比例基本性质及运用

1．线段比的含义：

如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：

：

n，或写成

，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项b叫做比的后项．

注意：

（1）针对两条线段，

（2）两条线段的长度单位相同，但及所采用的单位无关；（3）其比值为一个不带单位的正数．

2．线段成比例及有关概念的意义：

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果

或a：

：

d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即争

或a：

：

c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．

3．比例的性质

4．黄金分割：

在线段上有一点C，若：

：

，则C点就是的黄金分割点．

⏹相似三角形

1．相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形的对应边的比叫做相似比．

2．相似三角形的性质：

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

③相似三角形周长的比等于相似比．

④相似三角形面积的比等于相似比的平方．

3．相似三角形的判定：

①两角对应相等的两个三角形相似．

②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．

③三边对应成比例的两个三角形相似．

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边及另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

4．相似多边形的性质：

①相似多边形的周长的比等于相似比；

②相似多边形的对应对角线的比等于相似比；

③相似多边形的面积的比等于相似比的平方。

5．位似图形的定义：

如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．

⏹

等腰三角形

1、等腰三角形定义：

有两边相等的三角形是等腰三角形

2、等腰三角形性质定理：

等腰三角形两底角相等。

3、等腰三角形判定定理：

两底角相等的三角形是等腰三角形

4、等腰三角形三线合一定理：

等腰三角形底边的中线、高线和顶角的角平分线“三线合一”。

⏹直角三角形

1、直角三角形定义：

2、直角三角形中的四个常用定理（都可用全等证明，不必等到圆的部分才学）：

130°所对的直角边是斜边的一半。

2斜边上的中线等于斜边的一半。

3在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角是30°

4

3、勾股定理：

在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.若用a、b为表示两条直角边，c表示斜边，则

，其中

4、勾股定理的证明：

勾股定理是通过面积拼图法来证明，其方法较多．

5、

勾股定理逆定理：

在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形。

6、射影定理：

⏹轴对称

1．轴对称：

两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．

2．如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

3．轴对称的性质：

如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．

4．简单的轴对称图形：

①线段：

有两条对称轴：

线段所在直线和线段中垂线．

②角：

有一条对称轴：

该角的平分线所在的直线．

③等腰（非等边）三角形：

有一条对称轴，底边中垂线．

④等边三角形：

有三条对称轴：

每条边的中垂线．

（三）四边形部分

⏹多边形

1、多边形内角和定理：

多边形内角和等于

2、外角和定理：

多边形内角和等于3600

3、过n边形的一个顶点共有（n－3）条对角线，n边形共有条对角线．

4、过n边形的一个顶点将n边形分成（n－2）个三角形．

⏹平行四边形

1．平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．

2．两条平行线间的距离：

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．

3．平行四边形的性质：

文字表达：

①平行四边形的两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

符号语言表达：

四边形是平行四边形

4．平行四边形的判定：

文字表达：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．

符号语言表达：

∥∥

四边形是平行四边形

，

四边形是平行四边形．

平行且相等或平行且相等

四边形是平行四边形．

，

四边形是平行四边形．

∠＝∠，∠＝∠

四边形是平行四边形．

⏹菱形、矩形、正方形

1、菱形的性质：

①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．

2．菱形的判定：

①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．

③四条边都相等的四边形是菱形．

3．矩形的性质：

①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．

4．矩形的判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．

5．正方形的性质：

①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

6．正方形的判定：

①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．

⏹梯形

1．定义：

一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．

2、等腰梯形的性质：

等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．

3．等腰梯形的判定：

①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯形．

4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．

（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。

（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．

（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形。

（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。

⏹中心对称图形

1．定义：

在平面内，一个图形绕某个点旋转1800，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．

2．性质：

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．

3．中心对称及旋转对称的关系：

中心对称是旋转角是180o的旋转对称．

4．中心对称的判定：

如果两个点的连线被某一点M平分，则这两个点关于点M成中心对称．

二、从证明一、二、三中挖掘辅助线的教学。

常见辅助线用语：

1、连结

延长至X，使

延长及，交于点X

2、过点X作∥

3、过点X作⊥于X

三、专题讲解：

专题一：

线及角

■线段及直线

1、如图所示，某公司原计划修建一条从ABCD的公路，请你为他们设计一条从A到D的最近路线，并在图中作出从A点到D点的最短路线，并说明理由。

2、我们要在墙上固定一幅画使其不左右摇晃通常需要用两个丁子，你知道这是为什么吗？

■平行线

平行线分线段成比例定理：

两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。

1、已知：

如图1，

，3，2，4，求。

（图1）

2、已知：

如图2，

，3，5，4.5，求。

（图2）

3、已知：

如图3，

，3，5，10，求。

（图3）

4、已知：

如图4，

，，，，求。

（图4）

5、已知：

如图5，1:

2:

3，12求：

、的长

（图5）

6、如图6，在△的边上任取一点D，作∥交于E，作∥交于F，

请问：

：

成立吗？

说明理由。

（图6）

练习题：

1．如图在△中，D、E分别是、上的点，则下列比例中，不能判定的是（）

   A.B.

C.D.

 2．已知D是△的延长线上一点，且，E是边上的中点，延长线交于F，那么的值为（）

A.2     B.3     C.

     D.

3．△中，平分∠交于D，交于E，交于F，15，6，则和的长分别为（）

   A.96     B.6.9     C.10,5    D.以上都不对

 4．梯形中，，E、F分别是、的点，且，若610,且2:

3，则的长为（）

   A.8   B.   C.   D.以上都不对

  5、

（1）在△中，D、E分别是和上的点，且，若9，6，5.      

  6、将梯形两腰和延长相交于M点，若3.322.1,则　　　　　　　　　.

■余角、补角、对顶角

性质特点：

互为余角、互为补角是针对两个角而言，及位置没有关系；一个角的补角比它的余角大90°，钝角没有余角。

没有两条相交直线，就没有对顶角，对顶角也是成对出现的。

1、如图所示，直线、相交于O，∠90°，则∠及∠是角，∠及∠是角，∠及∠是角。

2、如图所示的长方形台球桌上，如果∠1=∠2且∠1=30°，那么∠3等于多少度？

∠1及∠3有什么关系？

练习题：

1、一个角的余角及这个角的补角之比为2：

7，求这个角的度数？

2、已知直线、相交于点O，∠＋∠236°，求∠的度数？

■线及角的尺规作图

1、已知线段a、b，

（1）、求作一条线段，使其等于a＋2b

（2）求作一条线段，使其等于（b－a）＋2a

2、已知∠1和∠2，求作∠使其等于2∠1－∠2

3、甲乙两个村庄准备在河岸边建一座桥，问怎样建桥才能使他们到桥的距离相同呢，请在图中作出你的设计位置。

4、求作一点P，使，并使点P到∠的两边等距离。

5、如图，平分∠，⊥于B，⊥于C，D是上一点，求证：

专题二：

三角形

■三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，

且等于第三边的一半。

如图所示：

D、E分别是△，∥

1、已知：

在中，⊥于G，E、F、H分别为、、的中点．

求证：

四边形为等腰梯形．

2、已知：

如图4，四边形中，M、N分别为、的中点所在直线及、的延长线交于P、Q，求证：

∠∠．

（图4）

3、已知：

如图1，⊥，⊥，O为中点，求证：

．

（图1）

4、已知：

如图2，平分∠，⊥，∥，求证：

E是的中点。

（图2）

■三角形的边角关系

■三角形全等

■比例性质及三角形相似

（一）相似的基本图形分析

“A字型”：

请添加条件，使其中有两个三角形相似？

并找出对应边和对应角，写出证明过程。

“X型”：

请添加条件，使其中有两个三角形相似？

并找出对应边和对应角，写出证明过程。

“旋转型”：

（旋转型）

请添加条件，使其中有两个三角形相似？

并找出对应边和对应角，写出证明过程。

4、直角三角形的相似情况，找出其中的相似三角形，并写出证明过程。

成比例线段间的关系（射影定理）：

5、复杂图形的拆分：

（1）

（A字重叠加）

（2）

（A、X重叠加）

（3）

（A、X重叠加）

（二）三角形内接矩形问题：

有效结论是

1、

在直角三角形中截取一个正方形，如何截取，面积最大？

2、（2005年全国高考第16题 ）已知在△中，∠90°，3，4，P是上的点，则点P到、的距离乘积的最大值是

■特殊三角形：

等腰三角形、直角三角形

例1：

如图：

在△中，，和是高，它们相交于点H，且，求证：

2

例2：

如图，在△中，∠90°，高交∠的平分线于E，求证：

练习题：

1、为美化环境，某小区计划用30平方米的草皮铺设一块琏长为10米的等腰三角形绿地，请你设计出这个等腰三角形绿地的另两边长。

2、如图，在△中，50m，40m，∠90°，点P从点A开始沿边向点C以2m\s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m\s的速度沿着匀速移动，几秒后，△的面积等于450m2?

专题四：

四边形

■多边形

■平行四边形

1、已知E，F分别为

的边，上的点，∥，，分别、于两点H、G。

求证：

■矩形、菱形、正方形

1、已知：

在正方形中，对角线、交于O，为∠的平分线，交于E，于F．

求证：

．

2、将矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在平面上的点C‘处，’交于点E，若∠20°，求∠C‘的度数

3、如图，在△中，点O是边上的一个动点，过点O作直线∥，设交∠的平分线于点E，交∠的外角平分线于点F。

（1）求证：

（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？

证明你的结论。

（3）若边上存在点O，使四边形是正方形，，求∠B的大小。

■梯形

（一）、梯形中位线：

定理证明的其它方法：

（1）连结一条对角线

（2）过上底一端作一腰平行线（3）过一腰中点作另一腰平等线．

1、已知：

在梯形中∥，对角线⊥，为梯形的中位线∠30°

求证：

．

2、已知：

梯形中，E为中点，且＋

求证：

⊥，平分∠，平分∠．

【练习】

一、填空题：

1.已知图a中∥∥∥．、交于O，2.5cm，则．

2.已知图b，中，⊥，M为中点，∥，9cm，则．

3.已知图c，在梯形中∥∥，，∥且3.5cm，则．

4.已知图d，是等边三角形，⊥，∥，3.5cm，则．

5、已知：

如图3，

中E、F分别为、中点，、交于M、N，求证：

。

（图3）

（二）梯形中的平行辅助线问题

1、如图，在梯形中，∥，，延长到E，使，连结、．

求证：

．

2、梯形的两条对角线分别为17、10，高为8，则它的面积是2．

3、如图，在直角梯形中，∥，∠90°，，

问：

在上是否存在一点P，使∠90°？

若存在，请把这点找出来，并给予证明；若不存在，请说明理由．

练习题

1．在梯形中，∥，过点D作的平行线交于E，若梯形周长为52，7，则△的周长是．

2．等腰梯形的上底及腰相等，下底是上底的2倍，梯形的周长是35，则下底中点到上底两顶点的距离都是．

3．已知梯形的上底为2，下底为5，一腰长为4，则另一腰x的取值范围是．

4．等腰梯形中，已知一个底角为45°，高为h，中位线长为m，则梯形上底是．

5．如图，是△的中位线，平分∠交于D，若2，则．

6．如图，在梯形中，∥，且∶3∶5，梯形的面积是82，点M、N分别是和上的点，

E、F分别是、的中点，则四边形的面积是．

综合专题

（一）中点四边形问题

1、“中点四边形”的形状——及原四边形的对角线的特征相关

（1）原四边形的对角线无特殊性——“中点四边形”的形状是平行四边形

（2）原四边形的对角线相等——“中点四边形”的形状是菱形

（3）原四边形的对角线互相垂直——“中点四边形”的形状是矩形

（4）原四边形的对角线相等且互相垂直——“中点四边形”的形状是正方形

2、“中点四边形”的周长——等于原四边形的两条对角线的和

3、“中点四边形”的面积——等于原四边形的面积的一半。

练习题：

1、已知：

如图14，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点。

求证：

（1）四边形是平行四边形

（2）请添加一个条件，使四边形为菱形，并说明理由．

2、如图13，四边形中，6，8且⊥顺次连接四边形各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形.

（1）证明：

四边形A1B1C1D1是矩形；

（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；

（3）写出四边形的面积；

（4）求四边形A5B5C5D5的周长.

（二）知二求二问题

学习相似形时，早就感觉到有一类图形反复出现，那就是如图1-1，

在线段，，，中，只要知道任意两条线段上的比值，其它两条线段上的比值也就可以求出来。

我们把这类题型叫做“知二求二”，请同学们写命题论文《知二求二》。

要求：

（1）收集已做过的“知二求二”题。

（2）探究这类题的“相同”及“不同”，“变”及“不变”。

（3）自编“知二求二”题。

1、已知在△中，D为的中点，E为的中点，的连线交于F，求证：

2、如图1，△中，D是上的一点，，E为上一点，

，求

3、已知：

如图在△中，M为的中点，D、E分为三等分，、分别交于P、N。

求证：

1、（梅涅劳斯定理的简介：

）如果在△的三边、、或其延长线上有点D、

E、F且D、E、F三点共线，则

=1

如下图，过⊿的顶点C作一直线，及边及中线分别相交于点F和点E，

求证:

（三）三角形角平分线分线段（）成比例问题

内角平分线：

外角平分线：

（四）对角线互相垂直的四边形的面积

●对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半。

下面我们证明这个结论。

已知：

四边形中，对角线

于E，如图1。

求证：

证明：

在四边形中，

于E

所以

对于对角线互相垂直的四边形的面积求解问题，这是一个十分方便的公式。

●练习1.菱形的对角线、相交于O，

的周长为

，求菱形的面积。

（如图2）

2.等腰梯形的两条对角线互相垂直，垂足为O，梯形的高为a，求梯形的面积。

解：

设梯形的腰为、，则

，

，＝（如图3）

图3

3.已知：

在

中，和分别是两边上的中线，并且

，求

的面积。

4.已知梯形中，

，求

。