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全国大学生数学建模竞赛参考论文
路灯的更换策略
摘要
本文针对路灯的更换策略中最佳更换周期的确定做了深入的研究，根据路灯更换的周期对平均费用影响的分析可知该问题是一类基于概率模型的周期性更换策略问题。
对此，本文建立了微分方程模型进行讨论求解。
首先，我们采用数理统计的思想，利用题中给出了200个抽样灯泡的寿命，借助SPSS应用统计软件和MATLAB软件工具箱对样本进行了假设检验以及参数估计，检验结果显示，样本中的灯泡的寿命均服从均值为4002.67，标准差为96.047的正态分布。
对于问题
（1），先确定了以单位时间内路政部门所花费最小为判断指标，通过计算推导得到了单位时间所花费的平均费用关于周期的表达式，即单位时间内所花的平均费用为一个周期内所花的总费用除以一个周期的小时数，周期的总费用包括灯泡成本以及罚款费用。
然后对该函数进行微分求导，在导数为0的情况下求解最佳更换周期
的表达式，经化简，得到
为最佳周期时的等式。
对于问题
（2），在问题
（1）以及数据处理阶段的基础上，对模型进行了求解。
采用遍历的思想，用MATLAB对周期在某一范围内进行遍历代入问题
（1）中求得的关系式进行计算，当
（1）中关系式成立时，输出的周期
为最佳周期，即4314小时。
对于问题（3），在问题
（1）的基础上，考虑更换下来的未损坏路灯的回收价值，对模型进行修改，在从费用中减去该部分的价格，按照问题
（1）的推导的思路以及问题
（2）中的算法对该问题进行分析求解，最佳更换周期为3926.5小时。
最后，本文对模型中涉及的罚款费用做了敏感性分析，并结合实际做了的优缺点进行了评价，提出了离散的时间模型的改进方案，对模型进行了简单的推广。
关键词：
假设检验；周期性更换策略；微分方程模型；敏感性分析
一、问题的提出和重述
1.1问题的提出
路灯的更换和维护是路政部门的一项重要的工作，在更换路灯时间的选择上，路政部门需要考虑到跟换的成本，灯泡的寿命等众多因素。
而在更换时，花费的精力和成本主要是要专用云梯车进行线路检测和更换灯泡，向相应的管理部门提出电力使用和道路管制申请，雇用的各类人员支付的报酬等，这些工作需要的费用往往比灯泡本身的费用更高，因此，灯泡坏一个换一个的办法是不可取的。
根据路政部门的经验，要采取整批更换的策略，即到一定的时间，所有灯泡无论好与坏进行全部更换。
灯泡更换的要考虑另一因素是上级管理部门会通过监察灯泡是否正常工作对路政部门进行管理，一旦出现一个灯泡不亮，管理部门就会按照折合计时对他们进行罚款。
本题要求向某城市的路政部门给出一种最佳的更换灯泡的方案。
1.2问题的重述
问题1：
由于换灯的时间早了，很多灯泡还没有坏；晚了，要承受太多的罚款，因此要求建立一个数学模型，求出更换周期的表达式，以解决路政部门面临的问题，即多长时间进行一次灯泡的全部更换。
问题2：
现抽查某品牌灯泡200个，测的其寿命（见附录一），根据每个灯泡的更换价格（包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用）为80元，管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为0.02元/小时，计算出应多长时间进行一次灯泡的全部更换。
问题3：
考虑到没有坏的灯泡还有一定的回收价值（常数），建立相应的数学模型，并求出更换周期的表达式。
如果该品牌每个未坏灯泡的回收价格为5元，计算最佳更换周期。
二、问题的分析
路灯的更换问题要考虑到灯泡寿命的概率分布，更换路灯的成本，损坏路灯的惩罚等因素，是一类基于概率模型的周期更换策略问题。
由于在求解最佳更换周期中涉及的灯泡寿命是必须要求我们对其确定一种合理的分布函数，我们运用数理统计的分析方法，利用MATLAB工具箱以及SPSS应用统计软件对抽样的200个灯泡的分布进行假设检验和参数估计，得到灯泡寿命所服从的概率分布。
针对问题一：
路灯的更换需要考虑到两个部分的费用，即灯泡成本和更换成本，由于更换成本往往大于灯泡成本，因此不采用坏一换一策略。
在整批更换策略中，换灯费用（含灯泡成本和更换成本）不变，那么就要使罚款费用最小，将一个更换周期中平均每小时费用最小作为一个指标函数，通过该指标函数的表达式求极值从而解得最佳的更换周期。
针对问题二：
对于该问题，题目中给出了每个灯泡的更换的成本，以及上级管理部门的惩罚等数据，我们可以利用这些数据以及在数据处理时得到的灯泡寿命所服从分布参数，对问题一中所建立的模型的一些理论参数进行量化，从而计算出在给出实际数据的情况下的最佳更换周期。
针对问题三：
问题三给出了另一种实际情况，即在整批更换策略实施的过程中换下来的未坏灯泡的是具有回收价值的。
我们考虑到未坏灯泡的回收价值对于整个更换周期的变动是具有影响的，要对问题一中的模型进行改进，建立符合该情况的模型，再代入题中给出的数据进行计算求解。
三、模型假设
1、灯泡更换的总成本在较长的一段时间内保持不变。
2、灯泡的损坏之和灯泡的寿命有关，不考虑自然环境的影响。
3、上级管理部门对损坏灯泡的罚款从灯泡损坏那一时刻算起。
4、路灯使用的灯泡与抽样检测的灯泡属于同一类型。
四、符号及变量说明
：
该路段上路灯的总数量；
：
单位时间所花费的平均费用；
：
更换路灯的周期；
：
单只灯泡的更换费用（含单只灯泡成本和安装分摊到单只的费用）；
：
单只灯泡损坏后每小时的罚款费用；
：
换下的灯泡中没有损坏的灯泡的回收单价；
：
灯泡的寿命；
：
灯泡寿命所服从分布的概率密度函数；
五、数据的处理
5.1灯泡的寿命假设检验
根据200个抽样灯泡的统计表，假设灯泡的寿命服从正态分布。
根据数理统计的思想，要对改假设进行检验。
我们先借助SPSS应用统计软件对该假设进行单样本Kolmogorov-Smirnov检验，检验结果显示接受原假设，Kolmogorov-Smirnov统计量为0.527，渐进显著性（双侧）为0.994，我们基本可以认为该种灯泡的寿命服从正态分布。
由于Kolmogorov-Smirnov检验对于样本量较小的数据的检验存在偏差，为了跟直观的看出该灯泡的寿命分布，我们借助MATLAB软件的统计绘图函数（见附录二程序1），我们将200个离散点进行正态分布检验绘图，如图5.1。
图5.1正态分布检验的统计绘图
根据研究表明：
如果数据是来自一个正态分布，则该线为一直线形态；如果它是来自其他分布，则为曲线形态。
从图5.1中我们可以看出，这200个离散点非常靠近图中的直线，即图形为线性的，因此我们可以得到结论：
该批灯泡的使用寿命近似服从正态分布。
5.2灯泡的寿命服从正态分布的参数估计
根据5.1中的假设检验，我们已经得到灯泡寿命的分布服从正态分布，接着我们要对正态分布的参数进行估计。
我们采用数理统计中点估计和区间估计的思想，利用MATLAB工具箱，对表中数据进行正态参数估计，得到结果如下：
该样本正态分布的均值的估计值
显著性水平为0.01的置信区间为：
[3985.00，4020.30]，
标准差的估计值
显著性水平为0.01的置信区间为：
[84.992，110.126]
综合假设检验和参数估计两个步骤，做出该样本的直方图，如图5.2。
图5.2
从图中，我们可以直观的看出对样本数据假设检验的合理性，对模型的建立和求解做了充分的准备。
六、模型的建立和求解
6.1对于问题一的模型建立
根据题意，在整批更换策略中，总的费用包括了换灯费用（含灯泡成本和安装费用）和管理部门的罚款费用。
由于换灯费用不变，要使一个周期中的平均每小时费用最小，就要使平均罚款费用最小。
罚款费用和灯泡寿命有着密切关系，而灯泡的寿命是随机的，在均值附近有较大的波动，因此需要计算寿命小于更换周期的平均罚款。
根据5.1中的假设检验，我们到该灯泡的寿命服从正态分布：
，根据概率论中的正态分布知随机变量
的密度函数：
（1）
灯泡总数为
，整批更换的总更换费用为
，为固定值。
主管部门对的单只灯泡的罚款为每小时为
，根据灯泡寿命服从正态分布的表达式可知总的罚款费用为：
（2）
那么在一个周期内，总的费用也就是
（3）
这样我们就可以得到指标函数，即单位时间（小时）内的平均费用的表达式：
（4）
要使该是指标函数最小，就要确定周期
的值，使得
，通过该式进行计算求导可以算出关于周期
的关系式如下：
（5）
（5）式可以化简为
（6）
即当周期
满足（6）式时，为最佳更换周期。
分析（6）式，我们可以由正态分布性质的可以得到等式左边的表达式小于正态分布的期望值即
（7）
周期
为最佳更换周期的充分必要条件，直观上我们也可以看出，当单只灯泡更换成本和单位时间内单只灯泡的罚款费用之比越大时，更换的周期就应该越长。
6.2对于问题二的讨论求解
在问题一建立的模型的基础上，可以由最佳周期的关系式（6）代入到（4）式中得到符合最佳更换周期的指标函数最小值的表达式
（8）
即在最佳更换周期下，每小时的最小更换费用就等于所有灯泡的罚款额乘以灯泡寿命在
的概率。
根据题中所给的数据以及5.2节中得到的估计参数，灯泡的寿命服从均值4002.67，标准差96.047的正态分布（单位：
小时），每个灯泡的更换价格（包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用）为80元，管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为0.02元/小时。
首先我们可以算出灯泡的
和
比值为4000，小于正态分布的均值4002.67，可以求得最佳周期使得指标函数最小。
利用MATLAB（见附录二程序2），对周期
进行取值计算（6）式左边的表达式，得到的值与右端比值4000进行比较，得出最佳的更换周期
为4314小时。
6.3对于问题三模型的建立和求解
6.3.1对于问题三模型的建立
根据题意在整批更换策略实施的过程中换下来的未坏灯泡的是具有回收价值的。
考虑到未坏灯泡的回收价值对于整个更换周期的变动是具有影响的，此时要建立符合该情况的模型。
没有损坏的灯泡的回收单价为
，则此时平均每小时的费用为
（9）
根据
可以得到
（10）
同样的，只要周期
满足（10）式，即为最佳更换周期。
6.3.2对于问题三模型的求解和分析
根据题目中给出的数据，
为5元，同6.2节的求解方法，利用MATLAB进行计算（见附录二程序3）求解可以得到当周期
为3926.5时，满足（10）式为最佳更换周期。
从结果中可以看出，在没有坏的灯泡具有回收价值的情况下更换周期变短了。
合理的解释是当不论更换的早晚，要付出的灯泡的成本是不变的，在一个周期内回收灯泡所得的成本对于路政部门来说相当于减少了总费用的支持，周期短导致能回收的灯泡变多了，相当于增加了约束条件，因此，周期变短在一定范围内是合理的。
七、模型的检验
7.1敏感度分析
对于该模型，由于涉及到的变量较多，灯泡的数量、每小时的罚款价格、每只灯泡的成本价格以及第三问中的回收价格的变化都影响着最佳周期的长短。
假设灯泡更换的成本在一定时间内不会改变，因此，我们考虑对每小时管理部门制定的罚款费用的进行敏感度分析。
首先我们先分析惩罚函数与最佳更换周期的关系，我们令该路段灯泡的总数量
为200只，灯泡的成本以及所服从的分布与5.2节中的一致。
为了直观看出罚款费用对最佳周期的影响，我们取10组数据作图如7.1。
图：
7.1
从图中我们可以看出，最优更换周期随着惩罚费用的增加而减少，更换周期单调下降，而且从坐标看其变化的速度不是很显著所以用问题二所给的数据，若将所估计的正态分布的均值和标准差取整4002和96,满足式（7）的最佳更换周期
所在的区间为[4305,4319]，对于问题三，做同样的取整，则可得到满足（7）式的最佳更换周期
的区间为[3916.5,3921.5]。
八、模型的评价和改进
8.1模型的评价
8.1.1优点
本文从题中路政部门的角度出发，通过建立以单位时间内的最小费用为目标的指标函数，根据周期与指标函数的关系，采用取值遍历的思想，借助MATLAB对最佳更换周期做了确定。
由于在假设检验中，灯泡的寿命是服从正态分布的，而正态分布的概率密度表达式在指标函数中化简十分的繁琐。
对于模型的求解，不拘泥于积分的求导化简，而是给出了的有效的算法，用程序进行了实现。
对于不同的情况，该模型只需要修改总费用，即指标函数的分母部分，就可以解决其他的时间问题。
8.1.2缺点
模型建立只考虑到了路政部门的费用最小，从最后的结果看最佳更换周期的灯泡的损坏率较高，程序在实现算法时的速度较慢。
8.2模型的改进
该模型在计算损坏的灯泡的罚款费用时，是将损坏的时间作连续考虑，及时损坏半小时，也是具有相应的惩罚费用的。
然而在实际情况中，管理的计时不可能精确到一个小时以内的时间，因此按照不足一小时算做一小时的规则进行计费。
灯泡的寿命服从正态分布，则寿命服从[0，T]时刻的灯泡在某一小时内坏的概率可以表示为
，则灯泡的罚款费用可以表示为
（11）
则在单位时间内的最小费用可表示
（12）
同理，对目标函数进行求导求解极值点就可以求出在该条件下的最佳更换周期。
九、模型的推广和应用
路灯的更换问题属于一类涉及对象年龄的周期性更换问题，在我们的实际生活中，不仅仅是路灯需要更换，只要具备了该问题的寿命和周期，以及更换成本等都可以用该模型进行解决。
这一类模型在很多技术领域的设备和仪器的更换上都有着很广泛的应用。
另外，概率模型的应用也相当广泛，本文中提到的假设检验的方法在很多领域的统计和分析中也有着重要的作用。
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊主编数学模型（第三版）[M].北京:
高等教育出版社.2009；
[2]姜启源，谢金星数学模型案例选集[M].北京:
高等教育出版社.2006；
[3]刘卫国主编MATLAB程序设计教程（第二版）[M].水利水电出版社出版社.2010；
[4]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：
高等教育出版社.2009；
附录一：
抽查的200个某品牌灯泡寿命统计表
抽查的200个某品牌灯泡寿命（单位:
小时）
3898.23981.84152.13996.24122.73930.44000.83921.7
4058.73974.94048.04066.83992.24088.94230.94052.5
3998.84091.34005.63889.34048.53999.53972.44127.6
4186.33947.74010.33919.24068.03763.54099.04021.9
4026.24121.33972.53986.73872.93833.63929.64028.1
3945.93866.64107.33928.83998.93999.93975.14039.7
3973.63833.63897.14024.33874.33965.33905.93882.5
3897.93959.84017.43988.44106.43975.53848.24001.0
4007.14031.74050.04127.83945.24026.13998.73942.0
4213.63974.23859.04177.04032.63888.14062.04127.0
3910.44013.53986.13883.74118.43998.54053.63928.4
3934.44031.44010.74184.83972.54221.34150.93805.5
3831.93942.63981.44000.94083.73927.83927.93979.9
3998.04027.94105.84062.23824.94069.74081.14063.6
4131.04032.73932.73985.13755.14047.34011.73940.9
3934.53891.93995.24037.93967.03950.03996.43982.5
3904.34129.34044.14128.13950.23888.14080.84004.1
3924.43991.13799.14108.43901.93931.24133.93909.1
3958.73949.44162.04008.13891.93887.54173.64193.7
4163.53874.43978.63980.14030.73942.83902.23955.3
4108.24237.34022.93973.34070.23951.24186.24110.7
3877.23933.04134.14038.84039.33829.34022.84068.6
3936.33899.73981.43894.63992.84027.94137.34018.0
3945.84163.44082.54023.14067.23949.24085.64026.9
4062.53895.34153.64043.43808.34047.04127.44063.9
附录二
程序1
l=load（’sj.txt’）;
l=l（:
）;
normplot（l）;
[mu,sigma,mci,sigmaci]=normfit（l,0.05）;
程序2
symst
fors=4200:
4400
f=normpdf（t,4002.67,96.047）*t;
a=int（f,t,0,s）;
q=double（vpa（a,9））;
if（q>=4000）
break;
end
end
s
程序3
symst
fors=3900:
0.5:
4000
f1=normpdf（t,4002.67,96.047）*t*0.02;
f2=normpdf（t,4002.67,96.047）*5;
a=int（f1,t,0,s）;
b=int（f2,t,0,s）;
c=a-b+5*s*normpdf（s,4002.67,96.047）;
q=double（vpa（c,9））;
if（q>=75）
break;
end
end
s
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