小学数学竞赛二分层法.docx

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小学数学竞赛二分层法

二、分层法

　　对于比较复杂的应用题。

我们可以根据题中“两两相依”的特定数量关系。

把它分为若干层来思考解答，以达到最终解决问题的目的。

我们称这种解题的思考方法，叫做“分层法”。

　　小朋友，你们在解答实例中，将会发现，“分层法”的化繁就简的作用。

同时，这种方法也为你提供了解决比较复杂应用题的好办法，即按照应用题的结构和相应采取的分层方法。

　　我们在第一法里列举了许多句式。

每一句式反映了数学中常用的数量关系。

　　例如：

　　一条公路全长=已修长度+未修长度，

　　未修长度=一条公路全长-已修长度，

　　已修长度=一条公路全长-未修长度。

　　已完成的工作量+剩下的工作量=工作总量，

　　工作总量-已完成的工作量=剩下的工作量，

　　工作总量-剩下的工作量=已完成的工作量。

　　单位面积产量×播种面积=总产量，

　　总产量÷播种面积=单位面积产量，

　　总产量÷单位面积产量=播种面积。

　　单价×数量=总价，

　　总价÷单价＝数量，

　　总价÷数量=单价。

　　工作效率×工作时间=工作总量，

　　工作总量÷工作效率=工作时间，

　　工作总量÷工作时间=工作效率。

　　速度×时间=路程，

　　路程÷速度=时间，

　　路程÷时间=速度。

　　每筐重量×筐数=总重量，

　　总重量÷每筐重量=筐数，

　　总重量÷筐数=每筐重量。

　　每天烧煤斤数×天数=烧煤总斤数，

　　烧煤总斤数÷每天烧煤斤数=天数，

　　烧煤总斤数÷天数=每天烧煤斤数。

　　……

　　分层法有二种形式：

渐进式和平列式。

下面我们分别叙述二种分层形式。

渐进式

　　顺着题目叙述的顺序进行分层。

分一层，解一层，直至分层到题目的问题为止。

例1：

　　果园收苹果，如果用小筐装，每个小筐装24公斤，需装28筐。

现用小筐和大筐一起装，小筐装16筐，剩下的用大筐装，每个大筐装32公斤。

需要大筐多少个？

解析：

　　此题根据题目叙述先后顺序分层、解答如下。

　　第一层：

　　“每个小筐装24公斤，需装28筐”，一共有多少公斤苹果？

　　24×28=672（公斤）

　　第二层：

　　“每个小筐装24公斤，装了16筐”，用小筐共装了多少公斤苹果？

”

　　24×16=384（公斤）

　　题中又告诉我们“剩下的由大筐装，所以第三层应求出剩下的苹果有多少公斤。

由数量关系式：

　　总斤数-已装的斤数=剩下的斤数

　　可见，组成第三层的两个数量是第一层和第二层计算的结果。

　　第三层：

　　苹果一共有672公斤，装了384公斤，还剩下多少公斤？

　　672-384=288（公斤）

　　把第三层计算结果和“每个大筐装32公斤”组成第四层、就可以解出题目中的问题。

　　第四层：

　　“剩下苹果288公斤，每个大筐装32公斤，需要大筐多少个？

”

　　288÷32=9（个）

　　列综合式计算

　　（24×28-24×16）÷32

　　=288÷32

　　=9（个）

　　答：

需要大筐9个。

例2：

　　甲乙两个工人同时装订一批练习簿、10分钟后，甲工人装订了120本，乙工人装订了80本。

两人合作承包装订1800本。

要用多少时间？

甲乙两个工人各装订多少本？

解析：

　　第一层：

　　“10分钟后，甲装订了120本、甲工人每分钟装订多少本？

”

　　120÷10=12（本）

　　第二层：

　　“10分钟后，乙装订了80本，乙工人每分钟装订多少本？

”

　　80÷10=8（本）

　　由第一层和第二层的计算结果，引出第三层：

　　甲工人每分钟装12本、乙工人每分钟装8本，两人每分钟共装多少本练习簿？

　　12+8=20（本）

　　根据第三层计算的结果和“两人合做承包装订1800本练习簿”。

由数量关系：

　　工作总量÷工作效率和=合作的工作时间

　　第四层：

　　可提出题目所求的问题：

　　甲乙两个工人合作承包装订1800本练习簿每分钟一共装订20本，需要多少时间才能完成任务？

　　1800÷20=90（分钟）

　　列综合式计算：

　　1800÷（120÷10+80÷10）

　　=1800÷20

　　=90（分钟）

　　答：

两人合作需要90分钟才能完成。

　　接着：

用甲乙两个工人的工作效率和装订用的时间（90分钟）、来解答本题提出的第二个问题就十分容易了。

　　请你算一算：

　　完成时，甲工人装订多少本？

　　（）

　　完成时，乙工人装订等少本？

　　（）

　　答：

完成时，甲工人装订（）本，乙工人装订（）本。

例3：

　　一项工程，甲独做要12天完成，乙独做要15天完成，现由

　　甲先做3天，剩下的再由甲乙合做，还需要做几天？

解析：

　　我们把一顶工程的工作总量看作1，那么可以从“甲要做12天完成”这个已知数量中知道。

甲每天完成工作总量

中的已知数使用。

　　第一层：

　　第二层：

　　本题要求的是“剩下的由甲乙合做，还需要做多少天？

由数量关系：

　　工作总量÷工作效率和=工作时间

　　可以知道组成本题第三层的两个数量是求出两人工作效率之和的问题。

即“甲乙每天一共完成工程的几分之几”的问题，归结列第三层。

　　第三层：

一天可完成这项工程的几分之几？

　　然后,把第三层和第二层计算的结果归作第四层，就可解得题目中的问题。

　　第四层：

天？

　　列综合式计算：

　　答：

还需要做5天完成全部工程。

平列式

　　按照题目的问题所展示的思考方向，将较复杂的复合应用题剖解成两道或三道简单的复合应用题。

再分别将简单的复合应用题分为若干层、最后把两个或三个简单、复合应用题的结果合并成要解的问题。

例4：

　　某厂原计划25天制造小型机床75台、由于革新工艺，每天实际可制造5台，照这样计算，要制造225台小型机床，实际比原计划提前几天完成？

解析：

　　此题目的问题、“制造225台小型机床实际比原计划提前几天完成？

”为我们展示了解题的思考方向。

必须找到原计划制造的天数和实际制造的天数。

所以，本题可以着手剖解成以下两道简单的复合应用题来思考。

　　题

（1）：

　　某厂原计划25天制造75台小型机床、照这样计算，制造225台小型机床，原计划要多少天？

　　题

（2）：

　　某工厂要制造225台小型机床，实际每天制造5台，实际用多少天？

　　题

（1）第一层：

　　某厂原计划在25天制造75台小型机床、原计划每天制造多少台？

　　75÷25=3（台）

　　第二层：

　　某厂要制造225台小型机床、原计划每天制造3台，原计划要用多少天？

　　225÷3=75（天）

　　题

（2）：

　　是一步计算问题，按数量关系，或实际用多少天完成、用除法计算。

　　列式计算：

　　225÷5=45（天）

　　把题

（1）和

（2）的计算结果合并，就能求实际比原计划提前几天完成。

这样完成了分层思考过程，达到解决问题之目的。

　　某厂加工一批小型机床，原计划用75天，实际只用45天，比原计划提前几天完成？

　　75-45=30（天）

　　列综合式计算：

　　225÷（75÷25）-225÷5

　　=75-45

　　=30（天）

　　答：

实际比原计划提前30天。

例5：

五、六年级女生共有多少人？

解析：

　　此题的问题，“五、六年级女生共有多少人？

”展示了解题思考的方向。

必须知道五、六年级女生人数各是多少人，所以本题可以剖解成如下两道复合应用题。

　　题

（1）：

人，女生有多少人？

　　题

（2）：

年级男生有46人，五年级女生有多少人？

　　把题

（1）分为如下两层解答：

　　第一层：

少人？

　　第二层：

　　六年级学生有128人，其中男生有60人，女生有多少人？

　　128-60=68（人）

　　把题

（2）分为如下三层解答：

　　第一层：

　　根据分数乘法的意义：

　　第二层：

　　根据分数除法的意义：

　　第三层：

　　五年级学生有90人，男生有46人，女生有多少人？

　　90-46=44（人）

　　把题

（1）和题

（2）计算结果合并成求五、六年级女生共有多少人的应用题。

完成了分层思考过程，解决了问题。

　　五年级有女生44人，六年级有女生68人，五、六年级女生共有多少人？

　　44+68=112（人）

　　列综合式计算：

　　=68+44

　　=112（人）

　　答：

五、六年级女生共有112人。

例6：

　　3把圆规，1付三角尺和1支钢笔一共是11.80元。

已知11付三角尺的价钱等于2把圆规的价钱；3把圆规和1支钢笔一共是11.30元，圆规、三角尺和钢笔的单价各是多少元？

解析：

　　根据题意，可以发现“3把圆规，1付三角尺和l支钢笔一共是11.80元”与“3把圆规、和l支钢笔一共是11.30元”这两个相关联的数量关系，归作一层，可以算出1付三角尺的价钱。

把这一层计算结果和有关联的条件再归作一层，逐步分层，直至解决问题为止。

　　第一层：

　　3把圆规、1付三角尺和l支钢笔一共是11.80元。

3把圆规和1支钢笔一共是11.30元，可求得一付三角尺是多少元？

　　11.80-11.3=0.50（元）

　　第二层：

　　1付三角尺是0.50元，11付三角尺是多少元？

　　0.50×11=5.50（元）

　　第三层：

　　1l付三角尺是5.50元，已知11付三角尺的价钱等于2把圆规的价钱，1把圆规多少元？

　　5.50÷2=2.75（元）

　　第四层：

　　每把圆规是2.75元，3把圆规一共多少元？

　　2.75×3=8.25（元）

　　第五层：

　　3把圆规和1支钢笔一共是11.30元，3把圆规是8.25元，1支钢笔是多少元？

　　11.30-8.25=3.05（元）

　　这道题算到第五层，就把圆规、钢笔和三角尺的单价都算出来了。

本题也可以分为4层解答，请你想一想，还能按什么思路解答？

例7：

　　某工人在第一季度中生产了350件产品，其中合格的占90％，第二季度生产的合格产品是423件，合格率为94％，问该工人上半年的产品合格率是百分之几？

解析：

　　此题的问题是求“上半年的产品合格率是百分之几”，就必须想法知道，产品的总件数和合格产品的件数，方能根据：

　　来解决问题。

　　因此，本题可以同时先剖解成这样两道题目。

　　题

（1）：

　　某工人第一季度生产了350件产品，第二季度生产的合格产品是42件、合格率为94％，该工人上半年共生产了多少件产品？

　　题

（2）：

　　某工人第一季度生产了350件产品，真中合格的占90％，第二季度生产的合格产品是423件，该工人上半年生产的合格产品是多少件？

　　把题

（1）分为如下两层解答：

　　第一层：

　　某工人第二季度生产的合格产品是423件，其中合格率为94％，第二季度共生产了多少件产品？

　　423÷94％=450（件）

　　第二层：

　　某工人第一季度生产了350件产品、第二季度生产了450件产品，上半年共生产了多少件产品？

　　350+450=800（件）

　　把题

（2）分为如下两层解答：

　　第一层：

　　某工人第一季度生产了350件产品，其中合格的占90％，第一季度生产了多少件合格产品？

　　350×90％=315（件）

　　第二层：

　　某工人第一季度生产合格产品有315件，第二季度生产的合格产品有423件，上半年生产了多少件合格产品？

　　315+423=738（件）

　　把以上两题分层解答的结果为条件，就能求得最后的问题。

　　某工人上半年共生产了800件产品，其中合格的有738件，该工人上半年的产品合格率为百分之几？

　　738÷800=92.25%

　　列综合式计算：

　　（350×90％+423）÷（423÷94％+350）

　　=738÷800

　　=92.25％

　　答：

该工人上半年的产品合格率是92.25％。

　　综上所述，分层法解题思考方法，从题目的已知条件或问题出发，通过逐层寻找相关的数量关系，逐层提出问题，直到问题完全解决为止。

　　渐进分层法和平列分层法，这两种解题思考方法，对于解答同一道题目，有时也可以交替穿插应用。

训练示范

　　1．分析题意，给每一层补上条件或问题

工7个，两部车床同时加工一段时间后，还剩16个，两部车床一共加工多少小时？

　　第一层：

　　根据：

“_________________________，_______________________”，求两部车床一共加工多少个铸件？

　　第二层：

　　求_________？

　　第三层：

　　根据：

__________________________、__________________________，求两部车床一共加工多少小时？

（2）向阳儿童玩具厂，计划12天生产1800件电动小汽艇，已经生产了5天，剩下的也要在5天完成，平均每天比计划多生产等少件？

　　第一层：

　　根据：

“计划12天生产1800件电动小汽艇”，求_____________________________?

　　第二层：

　　根据：

____________________，求剩下的5天完成，每天生产多少个？

　　第三层：

　　根据：

“原计划__________________、和剩下的__________________,求平均每天比计划多生产多少个？

　　2．连接有关层次和算式

（1）甲乙丙三个小朋友采草莓，甲采了84.5公斤，比乙多采19.4公

（2）一批零件，原计划按6：

5分配给师徒二人，结果师傅加工了

　　3．按解题步骤，连接有关条件和问题，并分层。

（1）例：

　　第一层_________________________________________，

　　第二层_________________________________________，

　　再补上一个条件，增加第三层

　　第三层_________________________________________。

（2）

　　第一层_________________________________________,

　　第二层_________________________________________,

　　再补上一个条件，增加到第四层

　　第三层_________________________________________,

　　第四层_________________________________________。

　　（3）

　　第一层_________________________________________,

　　第二层_________________________________________,

　　第三层＿,

　　再补上一个条件，增加第四层

　　第四层_________________________________________。

练习题

　　1．工地需要一批水泥，每次运8.4吨，需运12次，运了4次后，剩下的要提前1次运完，每次要多运多少吨？

长与宽的比是7：

2，求这块水稻试验田的实际面积是多少平在米？

合多少亩？

　　3．某车间计划7天制造6300个零件，已经做了2天，每天制造700个；如果按原计划的天数完成任务，那么，以后每天应比原计划多制造多少个零件？

　　4．一个工程队，在四月份修一条公路，上半月每天修1.2公里，下半

　　5．某食堂运煤、第一次运了6车，平均每车运2吨，第二次次比第一次少运2车，平均每车多运2吨，平均每次运多少吨？

平均每车运多少吨？

全程的75％，这时一人骑自行车由乙城去甲城。

每小时行14公里，多少小时后，这个人与汽车相遇？

　　7．甲乙两地相距150公里、一辆汽车从甲地开出、原定5小时到这乙

　　时？

　　8．星火电表厂计划生产一批电表、甲车间每天能生产150只，乙车间产

　　多少只？

　　9．筑路队修一条公路，原计划25人，每天工作8小时，47天完成任务。

现要提前22天完工，应增加几人？

10．一个游泳池有三根进水管和二根出水管，单开进水管要4小时可将空池注满；单开出水管7小时可将满池水放完；同时开进水管和出水管2小时后，关掉出水管，还要几小时才能将全池水注满？