普通高等学校招生全国统一考试安徽卷文科数学试题及解答.docx
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普通高等学校招生全国统一考试安徽卷文科数学试题及解答
普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,
第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致.
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.
4.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.参考公式:
如果事件A,B互斥,那么球的表面积公式
S=4πR2
P(A+B)=P(A)+P(B)
其中R表示球的半径
如果事件A,B相互独立,那么球的体积公式
V=4πR33
P(AB)=P(A)P(B)
其中R表示球的半径
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1).若A位全体实数的集合,B={-2,-1,1,2}则下列结论正确的是()
A.AB={-2,-1}
C.AB=(0,+∞)
B.(CRA)B=(-∞,0)
D.(CRA)B={-2,-1}
(2).若AB=(2,4),AC=(1,3),则BC=()
A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)
(3).已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是()
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α‖βB.若m⊥α,n⊥α,则m‖n
C.若m‖α,n‖α,则m‖nD.若m‖α,m‖β,则α‖β
(4).a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(5).在三角形ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为()
2π5π3ππ
A.B.C.D.
3643
(6).函数f(x)=(x-1)2+1(x≤0)的反函数为
A.f-1(x)=1-
x-1(x≥1)
B.f-1(x)=1+
x-1(x≥1)
C.f-1(x)=1-
x-1(x≥2)
D.f-1(x)=1-
x-1(x≥2)
(7).设(1+x)8=a
+
ax++ax8,则aa,,a
中奇数的个数为()
0180,18
A.2B.3C.4D.5
(8).函数y=sin(2x+π图像的对称轴方程可能是()
3
A.x=-π
6
B.x=-π
12
C.x=π
6
D.x=π
12
(9).设函数f(x)=2x+1-1(x<0),
x
则f(x)()
A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数
(10)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为
()
A.[-
3,3]
B.(-
3,3)
C.[-
3,3]
D.(-
3,3)
⎧x≤0
3333
(11)若A为不等式组⎪y≥0
⎪y-x≤2
表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线
x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为()
37
A.B.1C.
44
D.5
(12)12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()
2622
8683
C.C2A2
D.C2A2
2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在.答.题.卡.上.书.写.作.答.,.在.试.题.卷.上.书.写.作.答.无.效...
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
(13).函数f(x)=
log2(x-1)
的定义域为.
(14).已知双曲线x
n
y2
-=1的离心率是12-n
。
则n=
(15)在数列{a}在中,a
=4n-5,a+a+a
=an2+bn,n∈N*,其中a,b为常数,
nn
则ab=
212n
(16)已知点A,B,C,D在同一个球面上,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,若AB=6,
AC=213,AD=8,则B,C两点间的球面距离是
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17).(本小题满分12分)
已知函数f(x)=cos(2x-π+2sin(x-π+π
344
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程
[-ππ
(Ⅱ)求函数f(x)在区间
]上的值域
122
(18).(本小题满分12分)
在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片印有一个汉字的
拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.
(Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张,
测试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行。
求这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率。
(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,求这三张卡片上,拼音带有后鼻
音“g”的卡片不少于2张的概率。
(19).(本小题满分12分
如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD四边长为1的
菱形,∠ABC=π,OA⊥底面ABCD,
4
OA=2,M为OA
的中点。
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。
D
BC
(20).(本小题满分12分)
设函数f(x)=ax3-3x2+(a+1)x+1,其中a为实数。
32
(Ⅰ)已知函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(Ⅱ)已知不等式f'(x)>x2-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立,求实数x的取值范围。
(21).(本小题满分12分)
n0n+1n
设数列{a}满足a=a,a=ca+1-c,c∈N*,其中a,c为实数,且c≠0
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式
(Ⅱ)设a=1,c=1,b=n(1-a),n∈N*,求数列{b}的前n项和S;
22nnnn
n
(Ⅲ)若0
(22).(本小题满分14分)
设椭圆C:
x
a2
2
+=1(a>b>0)其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.
b2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知过点F1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A,B两点,求证:
AB=
2-COS2θ;
(Ⅲ)过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B和D,E,求AB+DE的
最小值
一.选择题
2008年高考安徽文科数学试题参考答案
1D2B3B4B5A6C7A8D9A10D11C12C
4π
二.13:
[3,+∞)
三.解答题
17解:
14:
415:
-116:
3
(1)f(x)=cos(2x-π+2sin(x-π+π
344
=1cos2x+3sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)
22
=1cos2x+3sin2x+sin2x-cos2x
22
=1cos2x+3sin2x-cos2x
22
=sin(2x-π
6
∴周期T=2π=π
2
(2)x∈[-ππ
∴2x
π[-π5π
122636
因为f(x)=sin(2x-π在区间[-ππ上单调递增,在区间ππ上单调递减,
),]
6123
[,]
32
所以当x=π时,f(x)取最大值1
3
又f(-π)=-
()
12222122
[-ππ
所以函数
f(x)在区间
]上的值域为[-
122
1]
2
18解:
(1)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的概
3
率为,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,因而所求的
10
概率为3⨯3⨯3=27
1010101000
(2)设Ai(i=1,2,3)表示所抽取的三张卡片中,恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件,且其相应的概率为P(Ai),则
C1C2
P(A)=73
=7,
C31
P(A)=3=
23
10
因而所求概率为
33120
P(A+A)=P(A)+P(A)=7+
1=11
2323
4012060
19方法一(综合法)O
(1)CD‖AB,
∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)
M
作AP⊥CD于P,连接MP
∵OA⊥平面ABCD,∴CD⊥MPQ
AD
∵∠ADP=π,∴DP=2
42BC
∵MD=
=2,∴cos∠MDP=
DP=1,∠MDC=∠MDP=π
所以AB与MD所成角的大小为π
3
MD23
(2)∵AB‖平面OCD,∴点A和点B到平面OCD的距离相等,
连接OP,过点A作AQ⊥OP
于点Q,
∵AP⊥CD,OA⊥CD,∴CD⊥平面OAP,
∵AQ⊂平面OAP,∴AQ⊥CD
又∵AQ⊥OP,∴AQ⊥平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
∵OP==
=4+1-1=32,AP=DP=2
222
∴AQ=OAAP=
2
2=2,所以点B到平面OCD的距离为2
OP
方法二(向量法)
3233
2
作AP⊥CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系
A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,2,0),D(-2,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),
222
(1)设AB与MD所成的角为θ,
∵AB=(1,0,0),MD=(-
,-1)22
∴cosθ=
ABMD
=1,∴θ=π,
AB⋅MD23
π
∴AB与MD所成角的大小为
(2)∵OP=(0,,-2),OD=(-
3
,-2)
222
∴设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则nOP=0,nOD=0
⎧y-2z=0
⎪2
⎨
⎪-2x+2y-2z=0
⎩⎪22
取z=,解得n=(0,4,2)
设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n=(0,4,2)上的投影的绝对值,
∵OB=(1,0,-2),∴d==2.
3
2
所以点B到平面OCD的距离为
3
20解:
(1)
f'(x)=ax2-3x+(a+1),由于函数f(x)在x=1时取得极值,所以
f'
(1)=0
即a-3+a+1=0,∴a=1
(2)方法一
由题设知:
ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立即a(x2+2)-x2-2x>0对任意a∈(0,+∞)都成立
设g(a)=a(x2+2)-x2-2x(a∈R),则对任意x∈R,g(a)为单调递增函数(a∈R)
所以对任意a∈(0,+∞),g(a)>0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0
即-x2-2x≥0,∴-2≤x≤0
于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}
方法二
由题设知:
ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立即a(x2+2)-x2-2x>0对任意a∈(0,+∞)都成立
于是a>
x2+2xx2+2
对任意a∈(0,+∞)都成立,即
x2+2x
x2+20
∴-2≤x≤0
于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}
21解
(1)方法一:
∵an+1-1=c(an-1)
∴当a≠1时,{an-1}是首项为a-1,公比为c的等比数列。
∴a-1=(a-1)cn-1,即
n-21
∴数列{an}的通项公式为方法二
a=(a-1)cn-1+1。
当a=1时,a=1仍满足上式。
n
a=(a-1)cn-1+1(n∈N*)。
由题设得:
当n>2时,a
n
∴a=(a-1)cn-1+1
n-1=c(an-1
-1)=c2(a
-1)==cn-1(a
-1)=(a-1)cn-1
n=1时,a1=a也满足上式。
n
∴数列{an}的通项公式为
a=(a-1)cn-1+1(n∈N*)。
(2)由
(1)得bn
=n(1-a)cn-1=
1
n()n2
Sn=b1+b2
++bn
=1+
2
1
2()
2
2++
1
n()n2
1
2Sn
=()2
2
1
2()3
2
1
n()2
n+1
∴1S
2n
=1+
2
(1)2
2
++1n
2
1
n()2
n+1
∴S=1+1+
12++
1n-1-
1n=2[1-
1n-1n
()()
n222
n()2
()]2
n()2
∴Sn
=2-(2+
1
n)()n2
n
(3)由
(1)知a=(a-1)cn-1+1
若0<(a-1)cn-1+1<1,则0<(1-a)cn-1<1
∵0=a<1,
∴01
1-a
(n∈N*)
由cn-1>0对任意n∈N*成立,知c>0。
下面证c≤1,用反证法
方法一:
假设c>1,由函数f(x)=cx的函数图象知,当n趋于无穷大时,cn-1趋于无穷
大
∴cn-1<
1
1-a
不能对n∈N*恒成立,导致矛盾。
∴c≤1。
∴0方法二:
假设c>1,∵cn-1<
1
,∴logcn-11-acc1-a
即n-11
c1-a
(n∈N*)
恒成立(*)
∵a,c为常数,∴(*)式对n∈N*不能恒成立,导致矛盾,∴c≤1
∴0
22解:
(1)由题意得:
⎧c=2
⎪
⎪=4
⎪
⎪⎩a2=b2+c2
⎪⎧a2=8
∴⎨⎪b2=4
2
∴椭圆C的方程为x+y=
84
(2)方法一:
由
(1)知F1(-2,0)是椭圆C的左焦点,离心率e=2
设l为椭圆的左准线。
则l:
x=-4
作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,l与x轴交于点H(如图)
∵点A在椭圆上
∴AF=AA
11
=2(FH+AFcosθ)
211
=+AF1
cosθ
∴AF=2
同理BF1=
22
∴AB=
AF1+BF1=
+
2-cos
=
2+cosθ
2-cos2θ。
q
方法二:
当θ≠π时,记k=tanθ,则AB:
y=k(x+2)2
将其代入方程
x2+2y2=8
得(1+2k2)x2+8k2x+8(k2-1)=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是此二次方程的两个根.
8k2
∴x1+x2=-1+2k2,x1x2=
8(k2-1)
1+2k2.
AB===
=(1+k
-2
)[(1+2k2)-
32(k2-1)
1+2k2]=
1+2k2
................
(1)
∵k2=tan2θ,代入
(1)式得
AB=
42
2-cos2θ
........................
(2)
当θ=π时,AB=2
2
仍满足
(2)式。
∴AB
42
2-cos2θ
(3)设直线AB的倾斜角为θ,由于DE⊥AB,由
(2)可得
AB=
42
2-cos2θ
,DE
42
2-sin2θ
AB+DE=
42+42=
122
=122
2-cos2θ2-sin2θ
2+sin2θcos2θ
2+1sin22θ
4
当θ=
π或θ=3π时,AB+DE取得最小值
443