普通高等学校招生全国统一考试安徽卷文科数学试题及解答.docx

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普通高等学校招生全国统一考试安徽卷文科数学试题及解答

普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，

第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效．

4．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：

如果事件A，B互斥，那么球的表面积公式

S=4πR2

P（A+B）=P（A）+P（B）

其中R表示球的半径

如果事件A，B相互独立，那么球的体积公式

V=4πR33

P（AB）=P（A）P（B）

其中R表示球的半径

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）．若A位全体实数的集合，B={-2,-1,1,2}则下列结论正确的是（）

A．AB={-2,-1}

C．AB=（0,+∞）

B．（CRA）B=（-∞,0）

D．（CRA）B={-2,-1}

（2）．若AB=（2,4），AC=（1,3）,则BC=（）

A．（1，1）B．（－1，－1）C．（3，7）D．（-3,-7）

（3）．已知m,n是两条不同直线，α,β,γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A．若α⊥γ,β⊥γ,则α‖βB．若m⊥α,n⊥α,则m‖n

C．若m‖α,n‖α,则m‖nD．若m‖α,m‖β,则α‖β

（4）．a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（5）．在三角形ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为（）

2π5π3ππ

A．B．C．D．

3643

（6）．函数f（x）=（x-1）2+1（x≤0）的反函数为

A．f-1（x）=1-

x-1（x≥1）

B．f-1（x）=1+

x-1（x≥1）

C．f-1（x）=1-

x-1（x≥2）

D．f-1（x）=1-

x-1（x≥2）

（7）．设（1+x）8=a

+

ax++ax8,则aa,,a

中奇数的个数为（）

0180,18

A．2B．3C．4D．5

（8）．函数y=sin（2x+π图像的对称轴方程可能是（）

3

A．x=-π

6

B．x=-π

12

C．x=π

6

D．x=π

12

（9）．设函数f（x）=2x+1-1（x<0）,

x

则f（x）（）

A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数

（10）若过点A（4,0）的直线l与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为

（）

A．[-

3,3]

B．（-

3,3）

C．[-

3,3]

D．（-

3,3）

⎧x≤0

3333

（11）若A为不等式组⎪y≥0

⎪y-x≤2

表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线

x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）

37

A．B．1C．

44

D．5

（12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）

2622

8683

C．C2A2

D．C2A2

2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（文科）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在．答．题．卡．上．书．写．作．答．，．在．试．题．卷．上．书．写．作．答．无．效．．．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．

（13）．函数f（x）=

log2（x-1）

的定义域为．

（14）．已知双曲线x

n

y2

-=1的离心率是12-n

。

则n＝

（15）在数列{a}在中，a

=4n-5，a+a+a

=an2+bn，n∈N*,其中a,b为常数，

nn

则ab=

212n

（16）已知点A,B,C,D在同一个球面上,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,若AB=6,

AC=213,AD=8,则B,C两点间的球面距离是

三、解答题：

本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=cos（2x-π+2sin（x-π+π

344

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程

[-ππ

（Ⅱ）求函数f（x）在区间

]上的值域

122

（18）．（本小题满分12分）

在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的

拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.

（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，

测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。

求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。

（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻

音“g”的卡片不少于2张的概率。

（19）．（本小题满分12分

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的

菱形，∠ABC=π,OA⊥底面ABCD,

4

OA=2,M为OA

的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

D

BC

（20）．（本小题满分12分）

设函数f（x）=ax3-3x2+（a+1）x+1,其中a为实数。

32

（Ⅰ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；

（Ⅱ）已知不等式f'（x）>x2-x-a+1对任意a∈（0,+∞）都成立，求实数x的取值范围。

（21）．（本小题满分12分）

n0n+1n

设数列{a}满足a=a,a=ca+1-c,c∈N*,其中a,c为实数，且c≠0

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式

（Ⅱ）设a=1,c=1，b=n（1-a）,n∈N*,求数列{b}的前n项和S；

22nnnn

n

（Ⅲ）若0

（22）．（本小题满分14分）

设椭圆C:

x

a2

2

+=1（a>b>0）其相应于焦点F（2,0）的准线方程为x=4.

b2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点F1（-2,0）倾斜角为θ的直线交椭圆C于A,B两点，求证：

AB=

2-COS2θ;

（Ⅲ）过点F1（-2,0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B和D,E,求AB+DE的

最小值

一.选择题

2008年高考安徽文科数学试题参考答案

1D2B3B4B5A6C7A8D9A10D11C12C

4π

二.13:

[3,+∞）

三.解答题

17解：

14:

415:

－116:

3

（1）f（x）=cos（2x-π+2sin（x-π+π

344

=1cos2x+3sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）

22

=1cos2x+3sin2x+sin2x-cos2x

22

=1cos2x+3sin2x-cos2x

22

=sin（2x-π

6

∴周期T=2π=π

2

（2）x∈[-ππ

∴2x

π[-π5π

122636

因为f（x）=sin（2x-π在区间[-ππ上单调递增，在区间ππ上单调递减，

）,]

6123

[,]

32

所以当x=π时，f（x）取最大值1

3

又f（-π）=-



（）

12222122

[-ππ

所以函数

f（x）在区间

]上的值域为[-

122

1]

2

18解：

（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概

3

率为，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的

10

概率为3⨯3⨯3=27

1010101000

（2）设Ai（i=1,2,3）表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为P（Ai）,则

C1C2

P（A）=73

=7,

C31

P（A）=3=

23

10

因而所求概率为

33120

P（A+A）=P（A）+P（A）=7+

1=11

2323

4012060

1９方法一（综合法）O

（1）CD‖AB,

∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）

M

作AP⊥CD于P,连接MP

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MPQ

AD

∵∠ADP=π,∴DP=2

42BC

∵MD=

=2，∴cos∠MDP=

DP=1,∠MDC=∠MDP=π

所以AB与MD所成角的大小为π

3

MD23

（２）∵AB‖平面OCD,∴点A和点B到平面OCD的距离相等，

连接OP,过点A作AQ⊥OP

于点Q，

∵AP⊥CD,OA⊥CD,∴CD⊥平面OAP,

∵AQ⊂平面OAP,∴AQ⊥CD

又∵AQ⊥OP,∴AQ⊥平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

∵OP==

=4+1-1=32，AP=DP=2

222

∴AQ=OAAP=

2

2=2，所以点B到平面OCD的距离为2

OP

方法二（向量法）

3233

2

作AP⊥CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系

A（0,0,0）,B（1,0,0）,P（0,2,0）,D（-2,2,0）,O（0,0,2）,M（0,0,1）,

222

（1）设AB与MD所成的角为θ,

∵AB=（1,0,0）,MD=（-

,-1）22

∴cosθ=

ABMD

=1,∴θ=π,

AB⋅MD23

π

∴AB与MD所成角的大小为

（2）∵OP=（0,,-2）,OD=（-

3

,-2）

222

∴设平面OCD的法向量为n=（x,y,z）,则nOP=0,nOD=0

⎧y-2z=0

⎪2

⎨

⎪-2x+2y-2z=0

⎩⎪22

取z=,解得n=（0,4,2）

设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n=（0,4,2）上的投影的绝对值,

∵OB=（1,0,-2）,∴d==2.

3

2

所以点B到平面OCD的距离为

3

20解:

（1）

f'（x）=ax2-3x+（a+1），由于函数f（x）在x=1时取得极值，所以

f'

（1）=0

即a-3+a+1=0,∴a=1

（2）方法一

由题设知：

ax2-3x+（a+1）>x2-x-a+1对任意a∈（0,+∞）都成立即a（x2+2）-x2-2x>0对任意a∈（0,+∞）都成立

设g（a）=a（x2+2）-x2-2x（a∈R）,则对任意x∈R，g（a）为单调递增函数（a∈R）

所以对任意a∈（0,+∞），g（a）>0恒成立的充分必要条件是g（0）≥0

即-x2-2x≥0，∴-2≤x≤0

于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}

方法二

由题设知：

ax2-3x+（a+1）>x2-x-a+1对任意a∈（0,+∞）都成立即a（x2+2）-x2-2x>0对任意a∈（0,+∞）都成立

于是a>

x2+2xx2+2

对任意a∈（0,+∞）都成立，即

x2+2x

x2+20

∴-2≤x≤0

于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}

21解

（1）方法一：

∵an+1-1=c（an-1）

∴当a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列。

∴a-1=（a-1）cn-1，即

n-21

∴数列{an}的通项公式为方法二

a=（a-1）cn-1+1。

当a=1时，a=1仍满足上式。

n

a=（a-1）cn-1+1（n∈N*）。

由题设得：

当n>2时，a

n

∴a=（a-1）cn-1+1

n-1=c（an-1

-1）=c2（a

-1）==cn-1（a

-1）=（a-1）cn-1

n=1时，a1=a也满足上式。

n

∴数列{an}的通项公式为

a=（a-1）cn-1+1（n∈N*）。

（2）由

（1）得bn

=n（1-a）cn-1=

1

n（）n2

Sn=b1+b2

++bn

=1+

2

1

2（）

2

2++

1

n（）n2

1

2Sn

=（）2

2

1

2（）3

2

1

n（）2

n+1

∴1S

2n

=1+

2

（1）2

2

++1n

2

1

n（）2

n+1

∴S=1+1+

12++

1n-1-

1n=2[1-

1n-1n

（）（）

n222

n（）2

（）]2

n（）2

∴Sn

=2-（2+

1

n）（）n2

n

（3）由

（1）知a=（a-1）cn-1+1

若0<（a-1）cn-1+1<1，则0<（1-a）cn-1<1

∵0

=a<1,

∴0

1

1-a

（n∈N*）

由cn-1>0对任意n∈N*成立，知c>0。

下面证c≤1，用反证法

方法一：

假设c>1，由函数f（x）=cx的函数图象知，当n趋于无穷大时，cn-1趋于无穷

大

∴cn-1<

1

1-a

不能对n∈N*恒成立，导致矛盾。

∴c≤1。

∴0

方法二：

假设c>1，∵cn-1<

1

，∴logcn-1

1-acc1-a

即n-1

1

c1-a

（n∈N*）

恒成立（＊）

∵a,c为常数，∴（＊）式对n∈N*不能恒成立，导致矛盾，∴c≤1

∴0

22解：

（1）由题意得：

⎧c=2

⎪

⎪=4

⎪

⎪⎩a2=b2+c2

⎪⎧a2=8

∴⎨⎪b2=4

2

∴椭圆C的方程为x+y=

84

（2）方法一：

由

（1）知F1（-2,0）是椭圆C的左焦点，离心率e=2

设l为椭圆的左准线。

则l:

x=-4

作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1，l与x轴交于点H（如图）

∵点A在椭圆上

∴AF=AA

11

=2（FH+AFcosθ）

211

=+AF1

cosθ

∴AF=2

同理BF1=

22

∴AB=

AF1+BF1=

+

2-cos

=

2+cosθ

2-cos2θ。

q

方法二：

当θ≠π时，记k=tanθ，则AB:

y=k（x+2）2

将其代入方程

x2+2y2=8

得（1+2k2）x2+8k2x+8（k2-1）=0

设A（x1,y1）,B（x2,y2），则x1,x2是此二次方程的两个根.

8k2

∴x1+x2=-1+2k2,x1x2=

8（k2-1）

1+2k2.

AB===

=（1+k

-2

）[（1+2k2）-

32（k2-1）

1+2k2]=

1+2k2

................

（1）

∵k2=tan2θ,代入

（1）式得

AB=

42

2-cos2θ

........................

（2）

当θ=π时，AB=2

2

仍满足

（2）式。

∴AB

42

2-cos2θ

（3）设直线AB的倾斜角为θ，由于DE⊥AB,由

（2）可得

AB=

42

2-cos2θ

，DE

42

2-sin2θ

AB+DE=

42+42=

122

=122

2-cos2θ2-sin2θ

2+sin2θcos2θ

2+1sin22θ

4

当θ=

π或θ=3π时，AB+DE取得最小值

443