1819 章末综合测评3 不等式.docx
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1819章末综合测评3不等式
章末综合测评（三） 不等式
（满分：
150分 时间：
120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设，a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）
A．ac>bd B．a－c>b－d
C．a＋c>b＋dD．>
C [因为a>b，c>d.所以a＋c>b＋d.]
2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是（ ）
【导学号：
12232370】
A．A≤BB．A≥B
C．ABD．A>B
B [∵A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2）＝＋b2≥0，∴A≥B.]
3．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是（ ）
A．（－3,4）B．（－3，－4）
C．（0，－3）D．（－3,2）
A [将各点代入方程式，有3×（－3）＋2×4＋5>0；
3×（－3）＋2×（－4）＋5<0；
3×0＋2×（－3）＋5<0；3×（－3）＋2×2＋5＝0；3×0＋2×0＋5>0.
所以（－3,4）与（0,0）在直线同一侧．]
4．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是（ ）
【导学号：
12232371】
A．A≥BB．A>B
C．AB [由题知，A＝＋>2，B＝－x2＋4x－2＝－（x－2）2＋2≤2，所以A>B.]
5．已知0A．a3>b3B．<
C．ab>1D．lg（b－a）<0
D [因为0所以0所以lg（b－a）<0.]
6．已知函数y＝x－4＋（x>－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于（ ）
【导学号：
12232372】
A．－3B．2
C．3D．8
C [y＝x＋1＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，>0.
所以y≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立，
所以a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.]
7．如果log3m＋log3n≥4，那么m＋n的最小值为（ ）
A．4B．4
C．9D．18
D [∵log3m＋log3n＝log3mn≥4，
∴mn≥34，又由已知条件隐含着m>0，n>0.
故m＋n≥2≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时取到最小值．
所以m＋n的最小值为18.]
8．在R上定义运算☆：
a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆（x－2）<0的实数x的取值范围为（ ）
【导学号：
12232373】
A．（0,2）
B．（－2,1）
C．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
D．（－1,2）
B [根据定义得，x☆（x－2）＝x（x－2）＋2x＋（x－2）＝x2＋x－2<0，解得－29．已知正实数a，b满足4a＋b＝30，当＋取最小值时，实数对（a，b）是（ ）
A．（5,10）B．（6,6）
C．（10,5）D．（7,2）
A [＋＝··30
＝（4a＋b）
＝
≥＝.
当且仅当
即时取等号．]
10.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：
10万元）与营运年数x（x∈N＋）为二次函数的关系（如图1所示），则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大（ ）
【导学号：
12232374】
图1
A．3B．4
C．5D．6
C [求得函数式为y＝－（x－6）2＋11，
则营运的年平均利润＝＝12－≤12－2＝2，此时x＝，解得x＝5.]
11．对任意a∈[－1,1]，函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是（ ）
A．13
C．12
B [设g（a）＝（x－2）a＋（x2－4x＋4），
g（a）>0恒成立且a∈[－1,1]⇔
⇔⇔x<1或x>3.]
12．已知实数m，n满足不等式组那么关于x的方程x2－（3m＋2n）x＋6mn＝0的两根之和的最大值和最小值分别是（ ）
【导学号：
12232375】
A．7，－4B．8，－8
C．4，－7D．6，－6
A [画出不等式组表示的平面区域如图．
可知当m＝1，n＝2时，两根之和t＝3m＋2n取得最大值7，当m＝0，n＝－2时，两根之和t＝3m＋2n取得最小值－4.]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13．函数y＝的最大值是________．
[当x＋2＝0时y＝0，当x＋2>0时，2x＋5>0，
y＝＝
≤＝＝，
综上所述y的最大值为.]
14．已知a>0，b>0且a≠b，则＋与a＋b的大小关系是________.
【导学号：
12232376】
＋>a＋b [－（a＋b）＝－b＋－a＝＋
＝（a2－b2）＝（a2－b2）＝
因为a>0，b>0，a≠b所以（a－b）2>0，a＋b>0，ab>0.所以＋－（a＋b）>0.所以＋>a＋b.]
15．已知实数x，y满足不等式组目标函数z＝y－ax（a∈R）．若取最大值时的唯一最优解是（1,3），则实数a的取值范围是________．
（1，＋∞） [不等式组的可行域如图阴影部分所示．
由z＝y－ax得y＝ax＋z，当直线y＝ax＋z的斜率大于1时，目标函数在点（1,3）处取得最大值．]
16．已知函数f（x）＝，则满足不等式f（1－x2）>f（2x）的x的取值范围是________．
【导学号：
12232377】
（－1，－1） [由函数f（x）的图象（如图所示），可知满足f（1－x2）>f（2x）分两种情况：
①⇒0≤x<－1；
②⇒－1综上，可知－1三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝x2＋，解不等式f（x）－f（x－1）>2x－1.
[解] 由题意可得
x2＋－（x－1）2－>2x－1，
化简得<0，
即x（x－1）<0，
解得0所以原不等式的解集为{x|018．（本小题满分12分）已知f（x）＝x2－x＋1.
【导学号：
12232378】
（1）当a＝时，解不等式f（x）≤0；
（2）若a>0，解关于x的不等式f（x）≤0.
[解]
（1）当a＝时，有不等式f（x）＝x2－x＋1≤0，
∴（x－2）≤0，∴≤x≤2，
即所求不等式的解集为.
（2）∵f（x）＝（x－a）≤0，a>0，
且方程（x－a）＝0的两根为x1＝a，x2＝，
∴当>a，即0当1时，不等式的解集为；
当＝a，即a＝1时，不等式的解集为{1}．
19．（本小题满分12分）某镇计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？
最大种植面积是多少？
[解] 设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，蔬菜的种植面积为Sm2，则ab＝800.
所以S＝（a－4）（b－2）＝ab－4b－2a＋8＝808－2（a＋2b）≤808－4＝648，
当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时等号成立，则S最大值＝648.
答：
当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.
20．（本小题满分12分）一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
【导学号：
12232379】
[解] 设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
即
画出可行域如图阴影部分所示
而利润P＝（3×400－240）x＋（5×100－80）y
＝960x＋420y（目标函数），
可联立得交点B（1.5,0.5）．
故当x＝1.5，y＝0.5时，
P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．
21．（本小题满分12分）若不等式（1－a）x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}．
（1）解不等式2x2＋（2－a）x－a＞0；
（2）b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
[解]
（1）由题意知，1－a＜0，且－3和1是方程（1－a）x2－4x＋6＝0的两根．
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋（2－a）x－a＞0即为
2x2－x－3＞0，解得x＜－1或x＞，
∴所求不等式的解集为.
（2）ax2＋bx＋3≥0即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2－2x－8，g（x）＝2x2－4x－16,
【导学号：
12232380】
（1）求不等式g（x）<0的解集；
（2）若对一切x>2，均有f（x）≥（m＋2）x－m－15成立，求实数m的取值范围．
[解]
（1）g（x）＝2x2－4x－16<0，
∴（2x＋4）（x－4）<0，
∴－2∴不等式g（x）<0的解集为{x|－2（2）∵f（x）＝x2－2x－8.
当x>2时，f（x）≥（m＋2）x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥（m＋2）x－m－15，
即x2－4x＋7≥m（x－1）．
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
而＝（x－1）＋－2≥2－2＝2（当且仅当x＝3时等号成立），
∴实数m的取值范围是（－∞，2]．
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