第2章数学建模方法论_精品文档.doc

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第2章数学建模方法论

不同的实际问题，建模的模式千差万别，各不相同，这与问题的性质、建模的目的以及建模者自身的数学基础知识和专长有关。

然而，还是有一些普遍适用的思想方法与思维方式，本章将从方法论的角度介绍建模时通常会采用的一般方法。

2.1概论



数学建模首先在学习形式上与别的数学课程有很大的差别，它不像许多人想像的那样单靠一个人、一支笔、一张纸就可以解决问题，它经常表现为一种集体性质的活动，三、五个人甚至于更多的人组成一个团队，通过个人的智慧和与别人的合作来解决一个甚至一类实际问题。

因此，培养良好的交流、合作和表达能力非常重要。

对于个人来讲，在整个建模过程中，应该自始至终坚持做好记录，独自思考时随时记下好的想法。

再次，在进行集体讨论时借助于文字进行交流，并记下讨论要点；工作中记下方法、计划、进程和结果，以辅助我们高效地进行交流以及作为论文写作的原始资料。

另外，思考时养成记录的习惯可以帮助我们整理思路，并经常可以激发我们产生出新的、创造性的思想。

其次，数学建模在思考方法和思维方式上与学习其他数学课程有很大差别。

这表现在数学建模过程是一种创新过程，它需要相当高程度的观察力、想像力以及一些灵感和顿悟。

数学建模讲求创新，而我们同学最缺乏的就是创新思维，创新思维是创新能力的核心与灵魂，创新思维主要有类比思维、归纳思维、逆向思维、发散思维、猜测思维等等。

下面介绍几种常用的思维方法。

2.1.1发散性思维方法

发散性思维是创新思维的重要组成部分，是发明创造的一个有力的武器。

遇到问题（特别是难题）时最好不要有一点想法就一条路走下去，应把自己的思路尽量打开，去寻求更佳的方案。

这里介绍两种方法：

一种是借助于一系列问题来展开思路；另一种是借助于下意识的联想来展开思路。

第一种方法我们称之为提问题法。

当你想到什么主意或者面临什么难题时，通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案。

一些常用的问题如下:

（1）这个问题和什么问题相类似?

（2）假如变动问题的某些条件将会怎样?

（3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样?

（4）重新组合又会怎样?

对问题已有初步的想法或解决方案时，为进一步打开思路还可提出以下问题:

（5）我们还可以做些什么工作?

（6）还有没有需要进一步完善的内容?

（7）可否换一种数学工具来解决此问题?

另一种方法我们称之为关键词联想法。

即抓住问题或方案的关键词，然后不受任何约束地浮想联翩，并把联想到的内容记在卡片上，再在这些卡片的激发下产生新的想法，进一步想出新的主意。

经过这样一个过程后，把积攒的卡片相互搭配，形成解决问题的初步思路与步骤。

例1．A、B两个加油站位于同一公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同一种汽油，彼此竞争激烈。

一天，A站推出降价销售，以吸引顾客，造成B站的顾客被拉走。

B站决定也降价销售以拉回顾客。

请你站在B加油站的立场上为其提供决策支持。

不论是A加油站还是B加油站，不管他们采用什么手段，其主要目的还是为获得更多的利润。

影响利润的主要因素有销售量和价格。

对于B加油站来讲，其决策需要考虑销售量和成本价格，而销售量又取决于销售价格，销售价格的确定需要考虑A站的销售价格，B站确定的新的销售价格以及其他加油站的销售价格。

这些要素之间的关系如下：

销售量

价格

社会价格

A站价格

B站价格

成本价格

2.1.2从整体上把握问题的方法

利用上面拓展思路的思维方法，我们对问题和问题的解决有了一些初步的认识后，可能还是不知从何处入手解决问题，往往陷于问题的某个局部而不能自拔。

这就要求我们必须努力把握住问题的全貌，而把握住问题的全貌的一个非常有效的途径便是研究问题的结构。

层次结构是一种最常见的结构。

许多问题都可以分解为若干个子问题，每个子问题又可以进一步分解，如此类推。

我们把各个部分用线段连接起来，便构成了一个具有层次结构的网状图。

我们还可以在图上进一步分析，并标示出问题的特点和难点部分，这样我们就能对问题的整体框架一目了然。

例2．某公司现有2个工厂，4个仓库，工厂单一生产某种产品，工厂和仓库均可向所辖的50个客户供货。

由于经营需要，公司拟对仓库作适当变更，变更的内容是指：

可对1号库扩容；可在已选定的地址上新建一个仓库；可关闭2号库或3号库。

公司不主张仓库的个数超过4个。

由于向客户供货的运费和仓库改建的费用均由公司负担，故需建模为公司选择方案。

若有可能，应将所建模型推广为适应于雷斯蒂更一般情形下的方案选择。

显然，公司的目标是使总费用最小。

那么费用是怎么构成的呢？

如下图：

总费用

运输费用

仓库改建费用

工厂到仓库

工厂到客户

仓库到客户

1号库的扩建费用

5号库的新建费用

2、3号库节约费用

C55

C6C

………

………………

总费用结构图为：

C6

C55

其中：

另外再介绍一种简单而有效的把握问题整体的方法一一分解问题法，即将问题分解为“三要素”的三个部分，即分为：

初态、目标态和过程。

初态：

觉察到的现在状态。

目标态：

觉察到的希望目标。

过程：

能在初态和目标态之间发生作用的行动。

“初态”可以理解为我们目前“有什么”，比如条件、数据等；“目标态”则往往是我们希望达到的、或想要得到什么或希望避免什么等等；“过程”则可以理解为我们要“做什么”。

例3．以例2说明。

初态：

现有工厂和仓库以及运输费用和仓库改建费用。

目标态：

扩容、新建或关闭。

过程：

建立判断的优化管理方案及相应算法。

大家熟知的数学题目模式往往是从“已知”到“求（证）”，所以目前的教学很大程度上是致力于教会学生们在给定条件下“怎样做”以达到目标，换言之，在事先己设定好初态和目标态的情况下，教会你采用何种过程来达到目标。

可是我们在解决实际问题时，通常要尽很大的努力才能分析出问题的初态和目标态。

需要避免的是，在清晰地描述出问题的初态和目标态之前，不要急于去形成并运用一个过程，即过早地进入解决问题的阶段。

这样做的后果是：

由于条件不清、目标不明，好比盲人摸象似的，工作很可能事倍功半。

2.1.3小组群体思维的方法

前面已经说过，数学建模经常表现为一种集体性质的活动，它经常需要不同部门或不同专长的人们相互合作，各自发挥自己的特长，正如俗话所说“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”。

在建模活动中，经常会发生这样的事：

两个合作者（尤其是青年学生）激烈地争论了很久，双方都不让步；又或者在没有搞清楚对方想法的情况下，盲目地争论否认对方的想法，在争论很久以后才发现双方的论点竟然是完全一致的。

为了高效率地合作，提高交流能力，减少无谓的争辩，在建模时有必要制定一些交流、讨论的原则。

首先，良好的合作必须建立在相互平等、相互尊重和充分交流的基础上。

要真正做到这一点，就必须注意一些“交流忌语”：

（1）武断的评价。

轻易使用“这绝对不行”、“这根本行不通”这类语句，不仅会刺伤同伴的自尊心，往往还会束缚自己思路。

（2）回避责任。

遇到问题的第一反应便是“怎么办呢?

”，这是只能依靠别人时所使用的语句。

而“我想这样做，你看怎么样?

”这种自己也承担一部分责任的态度是很必要的。

如若不然，对问题的观察和分析、对工作的适应能力就会变得越来越迟钝。

（3）无可奈何。

“没办法!

”，说这话只是为了回避问题，不仅使自己的能力不能充分发挥出来，而且还会压抑人们对问题的深入观察、思考和实际行动的能力。

（4）对交流失去信心。

“很难听懂他说的什么”、“他简直无动于衷!

”，这也反映出一种对待问题的消极态度。

面对问题应采取积极的态度去分析、去解决。

这里应该从说、听两个方面去检查原因：

表达者是否清楚地表达了自己的意思?

最好把自己的想法写出来，这样使对方有充分的时间去思考并理解你的思想，同时你在书写的时候还能更好地整理你的思路。

作为倾听的一方应积极反馈，“你对哪一部分还不理解?

”或“我是这样理解的，你看对不对？

”。

交流中还必须注意学会倾听，首先让对方把话说完，稍加思考后再发表自己的看法。

倾听的时候，努力去把握对方讲话的要点，最好做一下笔记，并用反馈的方式确认是否真正理解了对方的思路。

另外，正确的身体姿态也会增强交流的效果，如目光正视对方、理解时面带微笑地点点头以鼓励对方继续下去。

相反的，如果听的一方左顾右盼，或毫无表情，则会严重影响讲话者的情绪。

事实上，正确的肢体语言可强化交流效果，反之，错误的肢体语言很可能造成对方的反感，致使交流失败。

一位名叫阿莱斯库·奥兹庞的美国人提出了一种集体思考法方法，这种方法是采取召开会议的形式，让大家畅所欲言地出主意、想办法。

作为一条原则，就是对别人的意见不予批评，让大家自由地思考、不受约束地提出各自的方案，或借助于别人的想法进一步制定出更好的方案。

总之，在一个开放的环境中，大家应充分交流、相互启发、积极吸取别人的长处.

2.2建模方法论

在第一章中我们介绍了数学建模的一般步骤和流程，其中最为重要的五个步骤为：

问题的分析、模型假设、建立模型、模型求解以及对模型的分析、检验、修改与推广。

当我们面临新的建模问题时，由这五个步骤构成的流程是非常具有指导意义的。

下面我们结合实例对上述流程的各个步骤作具体说明。

2.2.1问题分析（模型准备）

进行数学建模和做很多数学“应用题”具有非常显著的差别，首先，“应用题”通常有不多不少恰到好处的条件和数据，内容和方法也基本限制在该节或该章。

而数学建模问题经常是由各领域的应用者提出的，因而既不可能明确提出该用什么方法，也不会给出恰到好处的条件（可能有多余的条件，也可能缺少必要的条件和数据）。

更经常出现的情形是：

问题本身就是含糊不清的。

问题含糊不清的产生原因很可能是来自不向领域的人们相互间的交流发生障碍，也可能是提出问题的人只是感觉到需要解决某些方面的问题，但他还不能清楚地描述这个问题，当然，也可能存在你对问题是否能准确理解的情形.所以，数学建模的第一步便是对问题的分析。

为此，要充分了解问题的实际背景，明确建立模型的目的，尽可能弄清楚对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据。

要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出（这时是不怕多的，只怕一个也列不出）。

至此，我们便有了一个很好的开端，因而可以初步确定用哪一类模型。

只有情况明确了才能保证方法对，这一步一定不能忽视。

如果不经过这一步，过早地着手解决问题，往往会陷入一些意想不到的陷阱，或者偏离方向。

我们看一下的例子。

例4．（方桌问题）日常生活中经常碰到这样的事情：

把方桌置于地面上时，常常是只有三只脚着地而放不稳，通常需要调整几次方可将方桌放稳，试用数学语言对此问题给以表述，并用数学工具给予说明：

方桌能否在地面上放稳?

若能，请给予证明并给出做法，否则说明理由。

我们来看看这个似乎与数学毫无关系的实际问题怎样一步步转化为数学问题，并用数学工具给以证明的。

问题分析：

所谓方桌能否在地面放稳是指方桌的四个脚能否同时着地，而四个桌脚是否同时着地是指四个桌脚与地面的距离是否同时为零。

于是我们可以转而研究四个桌脚与地面的距离是否同时等于零。

这个距离显然是变化的，于是可视为函数，那么作为函数，它随哪个量的改变而改变？

构造这个距离函数成为主要建模目的。

为了构造函数和设定相关参数，让我们实际操作一下，从中搜集信息，弄清其特征（这也是建模中常用的策略）。

要想四个桌脚同时着地，通常有两种方法，其一是将方桌搬离原地，换个位置试验，另一个做法是在原地进行旋转试验。

前法需要研究的