合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cosα＝
.
③过河路径最短（v2>v1时）：
合速度不可能垂直于河岸，无法
垂直渡河．确定方法如下：
如图所示，以v2矢量末端为圆
心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：
cosα＝
，最短航程：
s短＝
＝
d.
（二）求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：
一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．
无论哪类都必须明确以下四点：
（1）解决这类问题的关键是：
正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是
船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，
一般情况下与船头指向不一致．
（2）运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流
方向和船头指向分解．
（3）渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
（4）求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法
则求极限的方法处理．
二、练习
1、一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.若船在静水中的速度为v2＝5m/s，则：
（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？
用多长时间？
位移是多少？
（2）欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？
用多长时间？
位移是多少？
解析
（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．
当船头垂直河岸时，如图所示．
合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5m/s.
t＝
＝
s＝36s
v＝
＝
m/s
x＝vt＝90
m
（2）欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直
河岸方向成某一夹角α，如图所示．
有v2sinα＝v1，
得α＝30°
所以当船头向上游偏30°时航程最短．
x′＝d＝180m.
t′＝
＝
s＝24
s
答案
（1）垂直河岸方向 36s 90
m
（2）向上游偏30° 24
s 180m
2、一条船要在最短时间内渡过宽为100m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是（ ）
A．船渡河的最短时间是25sB．船运动的轨迹可能是直线
C．船在河水中的加速度大小为0.4m/s2D．船在河水中的最大速度是5m/s答案 C
解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t＝
s＝20s，A错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B错误；船在最短时间内渡河t＝20s，则船运动到河的中央时所用时间为10s，水的流速在x＝0到x＝50m之间均匀增加，则a1＝
m/s2＝0.4m/s2，同理x＝50m到x＝100m之间a2＝
m/s2＝－0.4m/s2，则船在河水中的加速度大小为0.4m/s2，C正确；船在河水中的最大速度为v＝
m/s＝
m/s，D错误．
3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（ ）
A．船渡河的最短时间是60sB．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船航行的轨迹是一条直线D．船的最大速度是5m/s答案 BD
解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t＝
＝
s＝100s，A错，B对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v＝
m/s＝5m/s，C错，D对．
4、（2011·江苏·3）如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为（ ）
A．t甲C．t甲>t乙D．无法确定答案 C
解析 设两人在静水中游速为v0，水速为v，则
t甲＝
＋
＝
t乙＝
＝
<
故A、B、D错，C对．
5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H，河水流速为v0，划船速度均为v，出发时两船相距
H，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两船到达对岸的时间不同
B．v＝2v0
C．两船可能在未到达对岸前相遇
D．甲船也在A点靠岸
答案 BD
解析 渡河时间均为
，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由vcos60°＝v0得v＝2v0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为（vcos60°＋v0）
＝
H，刚好到达A点，综上所述，A、C错误，B、D正确．
6、一快艇要从岸边某处到达河中离岸100m远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则（ ）
A．快艇的运动轨迹可能是直线B．快艇的运动轨迹只能是曲线
C．最快到达浮标处通过的位移为100mD．最快到达浮标处所用时间为20s
解析 快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A错误，B正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100m，C错误；由题图甲可知快艇的加速度为a＝
＝0.5m/s2，最短位移
为x＝100m，对快艇由x＝
at2得：
t＝
＝
s＝20s，即最快到达浮标处所用时间为20s，D正确．
答案 BD
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