离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例.docx
《离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例
离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例
1TheFoundations:
LogicandProofs（逻辑与证明）
1.1PropositionalLogic（命题逻辑）
Propositions（命题）——declarativesentencethatiseithertrueorfalse,butnotboth.判断性语句，正确性唯一。
TruthTable（真值表）
Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，ifandonlyif）
TranslatingEnglishSentences
1.2PropositionalEquivalences（命题等价）
Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式）
LogicalEquivalences（逻辑等价）——Compoundpropositionsthathavethesametruthvaluesinallpossiblecasesarecalledlogicalequivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式）
LogicalEquivalences——Page24
Disjunctivenormalform（DNF，析取范式）
Conjunctivenormalform（CNF，合取范式）见Page27～29
1.3PredicatesandQuantifiers（谓词和量词）
Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词
Quantifiers——量词
ØUniversalQuantifier（全称量词）"
全部满足
ØExistentialQuantifier（存在量词）$
至少有一个
BindingVariables（变量绑定，量词作用域与重名的问题）
LogicalEquivalenceInvolvingQuantifiers
NegatingQuantifiedExpressions（量词否定表达：
否定全称=存在否定，否定存在=全程否定）
TranslatingfromEnglishintoLogicalExpressions（自然语句转化为逻辑表达）
UsingQuantifiersinSystemSpecifications
ExamplesfromLewisCarrol——全称量词与条件式（p->q）搭配，存在量词与合取式搭配。
1.4NestedQuantifiers（量词嵌套）Page5912、13
"x"yP（x,y）Û"y"xP（x,y）
$x$yP（x,y）Û$y$xP（x,y）
"x"yP（x,y）Þ$y"xP（x,y）
"y"xP（x,y）Þ$x"yP（x,y）
$x"yP（x,y）Þ"y$xP（x,y）
$y"xP（x,y）Þ"x$yP（x,y）
"x$yP（x,y）Þ$y$xP（x,y）
"y$xP（x,y）Þ$x$yP（x,y）
Prenexnormalform（PNF前束范式）：
所有量词变换到最前面，否定变换到后面。
1.5RulesofInference（推理规则）
ValidArgumentsinPropositionnalLogic（命题逻辑中的正确论点）
Premises（前提）——allbutthefinalpropositionintheargument
Conclusion（结论）
RulesofInferenceforPropositionnalLogic
Page66～67，证明方法及过程示范
Resolution（归结）:
（（p∨q）∧（┐p∨r））→（q∨r）合取，若两子句有互补文字，则可消去。
Fallacies（谬论）
RulesofInferenceforQuantifiedStatements
Universalinstantiation（全称量词实例化）
Universalgeneralization（全称量词一般化）
Existentialinstantiation（存在量词实例化）
Existentialgeneralization（存在量词一般化）Page70
以上四点，其实就是一般和特殊之间的转换。
名字是骗人的。
1.6IntroductiontoProofs
Directproof:
证明p->q
ProofbyContraposition:
对位证明，通过证明其逆反命题来证明原命题
VacuousandTrivialProofs
ProofbyContradiction:
反证法
1.7ProofMethodsandStrategy
2BasicStructures:
Sets,Functions,SequencesandSums（集合、函数、序列与和）
Cardinality集合的势，即其中元素的个数。
PowerSet:
thesetofallsubsetsofthesetS.原集合的所有子集组成的集合。
Cartesianproduct:
笛卡尔积、直积，A×B={（a,b）|a∈A∧b∈B}
Function
Onto:
满射
Injective=One-to-One：
单射
Bijection：
双射=单射加满射
3～7略
8Relations（关系）
8.1relationsandTheirProperties
Reflecxive自反：
if（a,a）∈Rforeveryelementa∈A都有环
Irreflexive反自反：
一个环也没有
Symmetric对称：
if（b,a）∈Rwhenever（a,b）∈R,foralla,b.有从a到b，必有从b到a。
Antisymmetric反对称：
除非a=b，有从a到b，必无从b到a。
Asymmetric不对称：
有从a到b，必无从b到a。
Transitive传递：
a到b，b到c，则有a到c。
CombiningRelations（复合关系）：
S·R（空心圆圈）
分配率：
并集满足等价，交集满足包含
（1）Fo（GÈH）=FoGÈFoH
（2）Fo（GÇH）ÍFoGÇFoH
（3）（GÈH）oF=（GoF）È（HoF）
（4）（GÇH）oFÍGoFÇHoF
Rn+1=RnoR
TherelationRonasetAistransitiveifandonlyifRn属于Rforn=1,2,3……
8.2n-aryRelationsandTheirApplications
8.3RepresentingRelations（表示关系）
ØRepresentingRelationsUsingMatrices——Zero-OneMatrix
Reflexive自反：
主对角线上的数都为1。
Symmetric对称：
以主对角线为轴对称。
ØRepresentingRelationsUsingDigraphs（有向图）
8.4ClosuresofRelations（关系的闭包）
闭包是指在原关系的基础上添加最少的有序对，构成满足一种特性的新的关系。
自反闭包、对称闭包和传递闭包。
Reflexiveclosure（自反闭包）：
在所有元素上加环。
Symmetricclosure（对称闭包）：
对于所有的（a,b），添加（b,a）。
TransitiveClosure（传递闭包）：
⊙：
先合取再析取
M（R*）=M（R）∨（M（R）∧M（R））∨（M（R）∧M（R）∧M（R））……直到第n项
*Warshall’sAlgorithm沃舍尔算法
8.5EquivalenceRelations
ArelationonasetAiscalledanequivalencerelationifitisreflexive,symmetric,andtransitive.
等价=自反+对称+传递
A的全域关系和恒等关系都是等价关系，空关系不具自反性。
²全域关系：
全部有序偶。
²恒等关系：
对称且反对称，有且只能有环。
Equivalent等价量
EquivalenceClasses等价类
集合中具有等价关系的一个子集。
集合中与一个元素具有等价关系的全部元素构成的子集。
Partitions分割
²非空、无交集、其并集为全集。
²LetRbeanequivalencerelationonasetS.ThentheequivalenceclassesofRformapartitionofS.Conversely,givenapartition{Ai|i∈I}ofthesetS,thereisanequivalencerelationRthathasthesetsAi,i∈I,asitsequivalenceclasses.
8.6PartialOrderings偏序关系
ArelationRonasetSiscalledapartialorderingorpartialorderifitisreflexive,antisymmetric,andtransitive.AsetStogetherwithapartialorderingRiscalledapartiallyorderedset,orposet,andisdenotedby（S,R）.
自反+反对称+传递
Comparable可比：
Theelementsaandbofaposet（S,*）arecalledcomparableifeithera*borb*a.
Totallyorderedorlinearlyordered（全序或线序）：
没两个元素都是可比的。
这样的集合又称作链（chain）
LexicographicOrder（字典序）Page569
Well-ordered（良序）：
Achain（A,R）iswell-ordered良序iffeverynonemptysubsetofAhasaleastelement.
HasseDiagrams（哈斯图）
ToconstructaHassediagram:
1）Constructadigraphrepresentationoftheposet（A,R）sothatallarcspointup（excepttheloops）.（所有的弧指向上）
2）Eliminateallloops（删除环）
3）Eliminateallarcsthatareredundantbecauseoftransitivity（删除由于传递而多余的弧）
4）Eliminatethearrowsattheendsofarcssinceeverythingpointsup.（删除箭头）
MaximalandMinimalElements
GreatandLeastElement（唯一）
UpperandLowerBounds
LeastUpperandGreatestLowerBound（唯一）Page572~574
Lattices格
对于一个偏序集A，若其中任意两个元素a、b，都有最大下界和最小上界，则称这样的偏序集为格。
TopologicalSorting拓扑排序
Notonlyonepossibleorder.可能有多种排序方式。
9Graphs（图论）
9.1GraphsandGraphModels
Type
Edges
MultipleEdgesAllowed
LoopsAllowed
Simplegraph简单图
Undirected
No
No
Multigraph多重图
Undirected
Yes
No
Pseudograph伪图
Undirected
Yes
Yes
Simpledirectedgraph简单有向图
Directed
No
No
Directedmultigraph多重有向图
Directed
Yes
Yes
Mixedgraph混合图
Both
Yes
Yes
简单图+多重边——>重图，重图+环——>伪图
GraphModels
Page592～595
9.2GraphTerminologyandSpecialTypesofGraphs（图论术语和特殊图）
AdjacentandIncident（连接和关联）：
一条边相连的两点为连接，该边与这两点关联。
这两点称作端点（endpoints）.
Degree:
度，与一个点相关联的边数，deg（v）.
IsolatedVertex:
孤立点，dev（v）=0.
PendantVertex:
悬挂点，dev（v）=1.
TheHandshakingTheorem（握手定理）
LetG=（V，E）beanundirectedgraphwitheedges.Then2e=∑deg（v）.
度数是边数的两倍。
Anundirectedgraphhasanevennumberofverticesofodddegree.奇数度顶点有偶数个。
In-degree（入度）:
deg-（v）,thenumberofedgeswithvastheirterminalvertex（终点）.
Out-degree（出度）:
deg+（v）,thenumberofedgeswithvastheirinitialvertex（起点）.
LetG=（V,E）beagraphwithdirectededges.Then∑deg-（v）=∑deg+（v）=|E|.
SomeSpecialSimpleGraphs
CompleteGraphs（全图）istheSimplegraphthatcontainsexactlyoneedgebetweeneachpairofdistinctvertices.Kn顶点数：
n，边数：
n（n+1）/2.
Cycles（圈图）,Cn顶点数n，边数n.
Wheels（轮图）,Wn顶点数n+1,边数2n.
Cube（方图），Qn顶点数2n,边数2n-1*n
BipartiteGraphs（偶图，二分图）
可通过着色法判断，有边相连的两点颜色不同，总共只有两种颜色。
CompleteBipartiteGraphs（完全二分图）
NewGraphsfromOld——Subgraph（子图）
Ø生成子图SpanningSubgraph:
与原图顶点相同，边是真子集。
Ø导出子图：
顶点是原图顶点的子集，而边为与它们相连的原图的所有边。
Theunionofthesimplegraphs:
所有简单图的边与顶点的并集所得到的简单图。
9.3RepresentingGraphsandGraphIsomorphism（图的表示与同构）
AdjacencyListsandMatrices（邻接表与邻接矩阵）Page612点与点的关系
对于有向图的邻接矩阵，行数字相加为该点出度，列数字相加为该点入度，所有数字相加为度数的一半，即边数。
IncidenceMatrices（关联矩阵）点与边的关系。
IsomorphismofGraphs（图的同构）
必要条件：
1，相同顶点数
2，相同的边数
3，对应顶点的度数相同
4，子图相同
5，路径相同
使用矩阵判断两图是否同构：
Ø邻接矩阵：
任意交换行列，调整至两矩阵相同，即为同构。
Ø关联矩阵：
行与对应列同时做相同变动，调整至两矩阵相同，为同构。
9.4Connectivity连通
Paths（路径）——有向图路径和无向图路径
Circuit（回路），Traverse（遍历）
简单路径：
每条边只出现一次。
初级路径：
每个点只出现一次。
ConnectednessinUndirectedGraphs（无向图的连通）
Anundirectedgraphiscalledconnectedifthereisapathbetweeneverypairofdistinctverticesofthegraph.
Connectedcomponent连通分支:
MaximalconnectedsubgraphofG.
Cutvertices（割点）/cutedge（割边、或bridge桥）：
扔掉它们就会产生更多连通分支的东西。
ConnectednessinDirectedGraphs
Stronglyconnected强连通——路径a到b和b到a同时存在。
Weaklyconnected弱连通——两点之间有线存在（underlyingundirectedgraph看作无向图路径即可）。
强连通一定是弱连通。
CountingPathsbetweenVertices
使用该图的邻接矩阵A，长度为n，就计算An。
对应行乘以对应列。
The（i,j）thentryofAr+1equals:
bi1a1j+bi2a2j+bi3a3j+…+binanj.
9.5EulerandHamiltonPaths
ØEulerPathsandCircuits:
欧拉路径、回路，周游原图的每一条边。
ØHamiltonPathsandCircuits:
哈密顿路径、回路，周游每个顶点。
²一个连通重图具有欧拉回路，当且仅当它的每个顶点都是偶数度。
²一个连通重图具有欧拉路径（称为半欧拉图），当且仅当它有且只有两个奇度数顶点。
对于一个有向图而言：
欧拉回路的条件：
1，每个顶点都有偶数度。
2，出度等于入度。
欧拉路径的条件：
1，仅有两个顶点有奇数度。
2，对于偶度数顶点，出度等于入度。
3，对于奇数度顶点，出度和等于入度和。
HamiltonPathsandCircuits
充分条件：
Ore’sTheorem:
IfGisasimplegraphwithnverticeswithn≥3suchthatdeg（u）+deg（v）≥nforeverypairofnonadjacentverticesuandvinG,thenGhasaHamiltoncircuit.任意两顶点度数之和不小于总的顶点数。
Dirac’sTheorem:
IfGisasimplegraphwithnverticeswithn≥3suchthatthedegreeofeveryvertexisatleastn/2,thenGhasaHamiltoncircuit.每一点的度数都不小于总顶点数的一半。
必要条件：
IfGisaHamiltoniangraph,thenforeverynonemptypropersetSofverticesofG,K（G-S）≤|S|.删去任意顶点后的连通分支数不大于删去的顶点数。
9.6Shortest-PathProblems
Weightedgraphs（带权图）——边带权和顶点带权。
AShortest-PathAlgorithm
TheTravelingSalesmanProblem
9.7PlanarGraphs
定义：
可以画在一个平面内，而没有任意两条边交叉的图。
最小非平面图：
删去一条边可以变成平面图的非平面图。
最大平面图：
任意加一条边都会变成非平面图的平面图。
Euler’sFormula平面图欧拉公式
Region=edge-vertice+2（connectedplanarsimplegraph平面连通简单图）
所有面的度数之和等于边数的两倍。
区域度数计算：
围成该区域的边数，悬挂边记作两度。
Corollary1:
IfGisaconnectedplanarsimplegraphwitheedgesandvvertices,wherev≥3,thene≤3v-6.
Corollary2:
IfGisaconnectedplanarsimplegraph,thenGhasavertexofdegreenotexceedingfive.
Kuratowski’sTheorem（库拉图斯基/苦辣兔斯基定理）
Elementarysubdivision（初等分割）&Homeomorphic（同胚）
增加新的点只能是有两度的点，删点也只能删两度的点。
‘K’Theorem:
AgraphisnonplanarifandonlyifitcontainsasubgraphhomoeomorphictoK3,3orK5.
9.8GraphColoring
DualGraph——对偶图：
指原图中的每个封闭区域对应一个点，每条边对应一条边（连接两顶点，与原来的边相交）而形成的新图。
环对应悬挂边。
同构的图，对偶图不一定同构。
ChromaticNumber（色数）：
为一个图上色所需的最少颜色数。
TheFourColorTheorem:
Thechromaticnumberofaplanargraphisnogreaterthanfour.
10Trees（树）
10.1IntroductiontoTrees
Definition:
atreeisaconnectedundirectedgraphwithnosimplecircuits.
Anundirectedgraphisatreeifandonlyifthereisauniquesimplepathbetweenanytwoofitsvertices.（任意两点之间只有一条通路）
Aroote
升级会员 