高三数学复习第6章 数列62 等差数列等比数列一.docx

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高三数学复习第6章数列62等差数列等比数列一

2011年高三数学复习（第6章数列）：

6.2等差数列、等比数列

（一）

2011年高三数学复习（第6章数列）：

6.2等差数列、等比数列

（一）

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

1．（4分）如果五个角依次成等差数列，最小的角为25°，最大的角为105°，则该等差数列的公差为（　　）

A．

16°

B．

15°

C．

20°

D．

13°20′

2．（4分）已知等差数列{an}的通项为an=90﹣2n，则这个数列共有正数项（　　）

A．

44项

B．

45项

C．

90项

D．

无穷多项

3．（4分）若在a、b两数（a≠b）之间插入三个数，使它们成等差数列，其公差为d1；若在a、b两数之间插入四个数，使它们也成等差数列，其公差为d2，则

的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（4分）已知数列cosθ、cosθ•sinθ，cosθ•sin2θ，…是等比数列，则θ的取值范围是（　　）

A．

θ∈R且θ≠kπ（k∈Z）

B．

θ∈R且θ≠kπ+

（k∈Z）

C．

θ∈R且θ≠

（k∈Z）

D．

θ∈

5．（4分）在等比数列{an}中，已知a2=5，a4=10，则公比q的值为（　　）

A．

B．

C．

﹣

D．

6．（4分）下列说法中不正确的是（　　）

A．

在等比数列中，所有奇数项或者所有偶数项一定同号

B．

常数列一定是等比数列

C．

首项为正，公比大于1的等比数列一定是递增数列

D．

首项为负，公比大于1的等比数列一定是递减数列

7．（4分）在等差数列{an}中，已知a3=5，a7=﹣7，则a10的值为（　　）

A．

2

B．

5

C．

﹣19

D．

﹣16

8．（4分）如果数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{a3k﹣1}（k∈N*）（　　）

A．

仍是公差为d的等差数列

B．

是公差为3d的等差数列

C．

是等差数列，但公差无法确定

D．

不一定是等差数列

9．（4分）如果一个数列的通项公式是an=kn+b，其中k，b为实常数，则下列说法中正确的是（　　）

A．

数列{an}一定不是等差数列

B．

数列{an}是公差为k的等差数列

C．

数列{an}是公差为b的等差数列

D．

数列{an}不一定是等差数列

10．（4分）如果一个数列的通项公式是an=k•qn（k，q为不等于零的常数）则下列说法中正确的是（　　）

A．

数列{an}是首项为k，公比为q的等比数列

B．

数列{an}是首项为kq，公比为q的等比数列

C．

数列{an}是首项为kq，公比为q﹣1的等比数列

D．

数列{an}不一定是等比数列

11．（4分）若在两个正数a，b中间插入两个数，使它们成等比数列，则公比为q1；若在a，b中间插入三个数，使它们成等比数列，则公比为q2，那么q1与q2的关系是（　　）

A．

q13=q24

B．

q12=q23

C．

q1=

D．

q2=

12．（4分）（2003•天津）等差数列{an}中，已知

，a2+a5=4，an=33，则n为（　　）

A．

48

B．

49

C．

50

D．

51

二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）

13．（5分）在等差列{an}中，已知a1+a3+a5=9，a3•a42=27，则a10=　_________　．

14．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的三边成等差数列，则sinA+sinB=　_________　．

15．（5分）在等比数列{an}中，已知a1、a2，a4成等差数列，则公比q=　_________　．

三、解答题（共9小题，满分0分）

16．在等差数列{an}中，已知a4=70，a21=﹣100．

（1）求首项a1和公差d，并写出通项公式．

（2）{an}中有多少项属于区间[﹣18，18]？

17．已知{an}是等比数列

（1）若m+n=l+k，则am•an与alak有何关系？

（2）若

、an有何关系？

（3）若an＞0，a6a8+2a6a10+a8a10=36，求a7+a9的值．

18．有四个数a1、a2、a3、a4，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且a1+a4，a2+a3是方程x2﹣21x+108=0的两根，a1+a4＞a2+a3，求这四个数．

19．（2003•天津）已知数列{an}满足a1=1，an=3n﹣1+an﹣1（n≥2）．

（Ⅰ）求a2，a3；

（Ⅱ）证明

．

20．例1．已知等差数列{an}的第p项为r，第q项为S，（P≠q，r≠s）；等差数列{bn}的第r项为p，第s项为q，试问这两个数列的公差有何关系？

证明你的结论．

21．若数列{an}的前n项之和为Sn，且满足lg（Sn+1）=n，求证：

数列{an}是等比数列．

22．例3：

已知数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的自然数n，均有

an成立，试证明数列{an}为等差数列．

23．例4．已知数列{an}中，a1=3，对于nN，以an，an+1为系数的一元二次方程anx2﹣2an+1x+1=0

都有根α、β且满足（α﹣1）（β﹣1）=2．

（1）求证数列

是等比数列．

（2）求数列{an}的通项公式．

24．已知a、b、c是成等比数列的三个正数，且公比不等于1，试比较a+c与2b，a2+c2与2b2、a3+c3与2b3，…的大小，由此得出什么一般性结论？

并证明之．

2011年高三数学复习（第6章数列）：

6.2等差数列、等比数列

（一）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

1．（4分）如果五个角依次成等差数列，最小的角为25°，最大的角为105°，则该等差数列的公差为（　　）

A．

16°

B．

15°

C．

20°

D．

13°20′

考点：

等差数列的性质．5157146

专题：

计算题．

分析：

根据等差数列的性质可知，最大角与最小角的差为公差的

，所以根据已知的最大和最小的角即可求出公差的值．

解答：

解：

由题意可知：

等差数列的等差d=

=20°．

故选C

点评：

此题考查学生掌握等差数列的性质，是一道基础题．

2．（4分）已知等差数列{an}的通项为an=90﹣2n，则这个数列共有正数项（　　）

A．

44项

B．

45项

C．

90项

D．

无穷多项

考点：

等差数列；等差数列的性质．5157146

专题：

计算题．

分析：

本题给出数列的通项公式，要求数列的正数项，问题转化为解关于n的不等式，得到解集后注意数列的n的取值，求两部分的交集，得到结果．

解答：

解：

由题意知等差数列{an}的通项为an=90﹣2n大于零，可以得到数列的正项个数，

∵90﹣2n＞0，

∴n＜45，

∵n∈N+，

∴这个数列共有正数项44项，

故选A．

点评：

本题考查等差数列，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．

3．（4分）若在a、b两数（a≠b）之间插入三个数，使它们成等差数列，其公差为d1；若在a、b两数之间插入四个数，使它们也成等差数列，其公差为d2，则

的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

等差数列的性质．5157146

专题：

计算题．

分析：

由题意知a+4d1=b，a+5d2=b，由此化简计算可知

的值．

解答：

解：

由题意知a+4d1=b，a+5d2=b，

∴4d1=b﹣a，5d2=b﹣a，

∴

．即

．

故选B．

点评：

本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．

4．（4分）已知数列cosθ、cosθ•sinθ，cosθ•sin2θ，…是等比数列，则θ的取值范围是（　　）

A．

θ∈R且θ≠kπ（k∈Z）

B．

θ∈R且θ≠kπ+

（k∈Z）

C．

θ∈R且θ≠

（k∈Z）

D．

θ∈

考点：

等比数列的性质．5157146

专题：

计算题．

分析：

根据等比数列各项不为0且公比不为0，可知sinθ≠0，cosθ≠0，进而可求得θ的取值范围

解答：

解：

由题意知：

sinθ≠0，cosθ≠0，

故θ≠2kπ且θ≠2kπ+

（k∈Z）

∴θ的取值范围是θ∈R且θ≠

（k∈Z）

故选C

点评：

本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．

5．（4分）在等比数列{an}中，已知a2=5，a4=10，则公比q的值为（　　）

A．

B．

C．

﹣

D．

考点：

等比数列．5157146

分析：

由等比数列的通项公式求解．

解答：

解：

∵数列{an}是等比数列

∴a4=a2•q2

∴q=

故选A

点评：

本题主要考查等比数列的通项公式．

6．（4分）下列说法中不正确的是（　　）

A．

在等比数列中，所有奇数项或者所有偶数项一定同号

B．

常数列一定是等比数列

C．

首项为正，公比大于1的等比数列一定是递增数列

D．

首项为负，公比大于1的等比数列一定是递减数列

考点：

等比数列的性质．5157146

分析：

常数列的项可以是0，等比数列中不能有0，故B不正确．利用数列的性质判断A，利用数学常识能够判断C、D．

解答：

解：

在等比数列中，当公比q＞0时，所有各项同号．当公比q＜0时，所有各项异号．由此知A正确；

因为等比数列中不能有0，而常数列的项可以是0，故B不正确；

由数学常识可知首项为正，公比大于1的等比数列会越来越大；首项为负，公比大于1的等比数列会越来越小，故选项C和D都正确．

故选B．

点评：

本题考查等比数列的性质和应用，难度并不大，解题时要注意考虑全面，避免不必要的错误．

7．（4分）在等差数列{an}中，已知a3=5，a7=﹣7，则a10的值为（　　）

A．

2

B．

5

C．

﹣19

D．

﹣16

考点：

等差数列的性质．5157146

专题：

计算题．

分析：

先根据a3=5，a7=﹣7求得公差d，进而根据a10=a7+3d求得答案．

解答：

解：

a7﹣a3=4d=﹣12

∴d=﹣3

∴a10=a7+3d=﹣16

故选D

点评：

本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对数列的基本知识的掌握．

8．（4分）如果数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{a3k﹣1}（k∈N*）（　　）

A．

仍是公差为d的等差数列

B．

是公差为3d的等差数列

C．

是等差数列，但公差无法确定

D．

不一定是等差数列

考点：

等差数列的性质．5157146

分析：

根据等差数列的定义，只要求出a3k﹣1﹣a3（k﹣1）﹣1，即可作出判断．

解答：

解：

∵数列{an}是公差为d的等差数列，

∴a3k﹣1﹣a3（k﹣1）﹣1=a1+（3k﹣2）d﹣a1﹣[3（k﹣1）﹣2]d=3d，

故数列{a3k﹣1}是公差为3d的等差数列．

故选B．

点评：

本题考查了等差数列的定义，是高考的必考内容．

9．（4分）如果一个数列的通项公式是an=kn+b，其中k，b为实常数，则下列说法中正确的是（　　）

A．

数列{an}一定不是等差数列

B．

数列{an}是公差为k的等差数列

C．

数列{an}是公差为b的等差数列

D．

数列{an}不一定是等差数列

考点：

等差关系的确定．5157146

分析：

由等差数列的通项公式知数列的通项公式是an=kn+b的数列是等差数列，本题考查的是等差数列的意义．若题目再问首项是什么，则要变形得到．

解答：

解：

∵一个数列的通项公式是an=kn+b，

∴数列是公差为k的等差数列．

故选B

点评：

理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题．

10．（4分）如果一个数列的通项公式是an=k•qn（k，q为不等于零的常数）则下列说法中正确的是（　　）

A．

数列{an}是首项为k，公比为q的等比数列

B．

数列{an}是首项为kq，公比为q的等比数列

C．

数列{an}是首项为kq，公比为q﹣1的等比数列

D．

数列{an}不一定是等比数列

考点：

等比数列的通项公式；等比数列的性质．5157146

分析：

用定义法来判断一数列是否为等比数列．

解答：

解：

∵an=k•qn∴a1=kq

又∵

由等比数列定义知：

数列{an}是首项为kq，公比为q的等比数列

故选B

点评：

本题主要考查判断一个数列的方法．

11．（4分）若在两个正数a，b中间插入两个数，使它们成等比数列，则公比为q1；若在a，b中间插入三个数，使它们成等比数列，则公比为q2，那么q1与q2的关系是（　　）

A．

q13=q24

B．

q12=q23

C．

q1=

D．

q2=

考点：

等比关系的确定；数列的应用．5157146

专题：

计算题．

分析：

根据a，b中分别求得（q1）3和（q2）4，进而可得答案．

解答：

解：

（q1）3=

，（q2）4=

∴q13=q24故选A

点评：

本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的通项公式，属基础题．

12．（4分）（2003•天津）等差数列{an}中，已知

，a2+a5=4，an=33，则n为（　　）

A．

48

B．

49

C．

50

D．

51

考点：

等差数列．5157146

专题：

计算题；方程思想．

分析：

先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程即可．

解答：

解：

设{an}的公差为d，

∵

，a2+a5=4，

∴

+d+

+4d=4，即

+5d=4，

解得d=

．

∴an=

+

（n﹣1）=

，

令an=33，

即

=33，

解得n=50．

故选C．

点评：

本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．

二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）

13．（5分）在等差列{an}中，已知a1+a3+a5=9，a3•a42=27，则a10=　﹣39或30　．

考点：

等差数列的通项公式．5157146

专题：

计算题．

分析：

根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3，又a1+a3+a5=9，即可求出a3的值，把a3的值代入a3•a42=27中即可求出a4的值，根据a4的值，即可求出首项和公差，根据首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出a10的值．

解答：

解：

由a1+a3+a5=3a3=9，解得a3=3，

则a3•a42=3a42=27，解得a4=﹣3，或a4=3，

所以公差d=﹣3﹣3=﹣6，首项a1=15；公差d=0，首项a1=3，

则a10=15﹣6（10﹣2）=﹣39；a10=30．

故答案为：

﹣39或30

点评：

此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道综合题．

14．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的三边成等差数列，则sinA+sinB=　

　．

考点：

等差数列的性质．5157146

专题：

计算题．

分析：

根据等差中项的性质可知2b=a+c，利用正弦定理把边转化成角的正弦，根据A+B=90°化简整理得cosB=2sinB﹣1，进而根据sin2B+cos2B=1求得sinB，进而根据sinA=cosB求得sinA，答案可得．

解答：

解：

依题意可知2b=a+c，由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC=sinA+1=cosB+1

cosB=2sinB﹣1

∵sin2B+cos2B=1

∴（2sinB﹣1）2+sin2B=1，解得sinB=

或0（舍去）

∴sinA=cosB=

=

∴sinA+sinB=

+

=

故答案为

点评：

本题主要考查了等差数列的性质和正弦定理的应用．涉及了同角三角函数的基本关系，综合考查了学生对所学知识的应用．

15．（5分）在等比数列{an}中，已知a1、a2，a4成等差数列，则公比q=　1或=±

　．

考点：

等差数列的性质；等比数列的性质．5157146

分析：

由a1、a2，a4成等差数列直接求解．

解答：

解：

∵a1、a2，a4成等差数列

∴2a1×q=a1+a1•q3

∴q=1，q=±

，

故答案是1或=±

．

点评：

本题主要考查等比数列的通项公式．

三、解答题（共9小题，满分0分）

16．在等差数列{an}中，已知a4=70，a21=﹣100．

（1）求首项a1和公差d，并写出通项公式．

（2）{an}中有多少项属于区间[﹣18，18]？

考点：

等差数列的通项公式．5157146

专题：

计算题．

分析：

（1）设出首项a1和公差d，因为a4=70，a21=﹣100．代入即可求出首项a1和公差d，利用等差数列的通项公式得到即可；

（2）利用数列的通项属于[﹣18，18]，得到关于n的不等式，求出解集中的正整数解即可．

解答：

解：

（1）设此等差数列的首项a1和公差d，由a4=70，a21=﹣100得：

a1+3d=70，a1+20d=﹣100

所以a1=100，d=﹣10，所以an=a1+（n﹣1）d=﹣10n+110；

（2）由题意知：

an∈[﹣18，18]即﹣18≤﹣10n+110≤18，解得9.2≤n≤12.8

因为n取正整数，所以n=10，11，12，所以{an}中有3项属于区间[﹣18，18]．

点评：

考查学生会求等差数列的通项公式的能力，高考对本章的考查比较全面，等差数列的考查每年都不会遗漏．解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力．

17．已知{an}是等比数列

（1）若m+n=l+k，则am•an与alak有何关系？

（2）若

、an有何关系？

（3）若an＞0，a6a8+2a6a10+a8a10=36，求a7+a9的值．

考点：

等比数列的性质．5157146

专题：

计算题．

分析：

（1）利用等比数列的性质可知，等比数列的项数若m+n=l+k，am•an=alak，

（2）根据等比数列中项数成等差数列，则数列依然成等比数列的性质求得答案．

（3）利用等比中项的性质化简整理求得结果．

解答：

解：

（1）根据等比数列的等比中项性质可知若m+n=l+k，am•an=alak，

（2）若

，即m，l和n成等差数列，则am，al和an成等比数列．

（3）a6a8+2a6a10+a8a10=a27+2a9a7+a29=（a7+a9）2=36

且an＞0，

∴a7+a9=6

点评：

本题主要考查了等比数列的性质．等比数列公式多且与不等式、幂函数、对数函数等知识综合考查，故应注意多积累．

18．有四个数a1、a2、a3、a4，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且a1+a4，a2+a3是方程x2﹣21x+108=0的两根，a1+a4＞a2+a3，求这四个数．

考点：

等差数列的性质；等比数列的性质．5157146

专题：

计算题．

分析：

首先通过解方程求出a1+a4，a2+a3的值，再结合等差数列和等比数列的性质得到2a2=a1+a3，a32=a2a4，消元解方程即可．

解答：

解：

∵a1+a4，a2+a3是方程x2﹣21x+108=0的两根，a1+a4＞a2+a3，

∴解得a1+a4=12，a2+a3=9，

又∵2a2=a1+a3，a32=a2a4，

∴a3=9﹣a2，a1=3a2﹣9，a4=21﹣3a2；

∴（9﹣a2）=a2（21﹣3a2），

解得a2=3或a2=

，

当a2=3时，a1=0，a3=6，a4=12；

a2=

时，a1=

，a3=

，a4=

．

满足a1+a4＞a2+a3；

∴四数分别为0，3，6，12．或

．

点评：

本题主要考查等差数列和等比数列的性质与方程的综合应用问题，对学生的运算能力要求较高．

19．（2003•天津）已知数列{an}满足a1=1，an=3n﹣1+an﹣1（n≥2）．

（Ⅰ）求a2，a3；

（Ⅱ）证明

．

考点：

数列递推式；数列的概念及简单表示法．5157146

专题：

计算题；证明题．

分析：

（Ⅰ）由a1=1，an=3n﹣1+an﹣1（n≥2），当n=2时可求a2，n=3时求得a3（Ⅱ）利用递推式构造an﹣an﹣1=3n﹣1，然后通过累加可求出an

解答：

解：

（I）∵a1=1，

∴a2=3+1=4，

∴a3=32+4=13；

（II）证明：

由已知an﹣an﹣1=3n﹣1，n≥2

故an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1

=

．n≥2

当n=1时，也满足上式．

所以

．

点评：

本题是个基础题，主要考查由递推式求数列的项和累加法求数列的通项．注意验证n=1．．

20．例1．已知等差数列{an}的第p项为r，第q项为S，（P≠q，r≠s）；等差数列{bn}的第r项为p，第s项为q，试问这两个数列的公差有何关系？

证明你的结论．

考点：

等差数列的性质．5157146

专题：

计算题．

分析：

结合已知条件，利用等差数列的通项公式，分别表示出这两个数列的公差，从而求解．

解答：

解：

设{an}的首项为a，公差为m，{bn}的首项为b，公差为n．

则依题意有a+（p﹣1）m=r，a+（q﹣1）m=s，

两式相减得：

（p﹣q）m=r﹣s，

∵P≠q，r≠s，

∴m=

；

同理有b