初中平面几何之中点.docx

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初中平面几何之中点

初中平面几何之中点

初中中点问题主要可以分为：

三角形中的中点、圆中的中点、四边形中的中点以及综合运用。

一、中点在三角形中的性质及其运用

1.普通三角形的中线

1.1中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

例1、如图所示，D为BC边的中点。

作AE垂直BC，发现AE同时作为△ABD和△ADC的高，而这两个三角形的底边BD和DC又相等，即等底同高，根据三角形面积公式可得：

1.2三条中线

三角形三条中线的交点叫做重心

六个小三角形的面积相等

由中线等分面积可得：

，

代入化简可得

重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2：

1。

2、等腰三角形底边上的中点

根据等腰三角形的轴对称性，则有：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称等腰三角形三线合一。

1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（  ）

A．

  B．

  C．

   D．

3.直角三角形斜边上的中点

性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例3、如图在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，CE是斜边AB上的中线，已知BC=5,CE=6.5,

求CD的长

变式练习1、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。

且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.

4、三角形的中位线

中位线定理：

三角形的中位线平行且相等于第三边的一半

例4、

已知，如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点。

 求证：

四边形EFDG为平行四边形。

5、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）

6、倍长中线（将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法）

例6、如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。

求证：

AB⊥AD

变式训练：

如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，

求证：

△DEF为等腰直角三角形。

二、中点在圆中的性质及其运用

1.弦、弧的中点

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧

逆定理1：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

逆定理2：

平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

例5、如图，CE为⊙O的直径，E为劣弧AB的中点，AB=8cm，DO=2cm，则求EC的

三、中点在四边形中的性质及其运用

1.中点四边形

定义：

顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形

例7、

求证任意四边形的中点四边形都是平行四边形

平行四边形的中点四边形是     ；

矩形的中点四边形是         ；

菱形的中点四边形是         ；

正方形的中点四边形是        ；

梯形的中点四边形是         ；

直角梯形的中点四边形是      ；

等腰梯形的中点四边形是       。

以此类推：

 平行四边形的中点四边形是平行四边形；

矩形的中点四边形是菱形；   

菱形的中点四边形是矩形；

正方形的中点四边形是正方形；

梯形的中点四边形是平行四边形；

直角梯形的中点四边形是平行四边形；

等腰梯形的中点四边形是菱形。

小结：

（1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系；

（2）只要原四边形的两条对角线相等，就能使中点四边形是菱形；

（3）只要原四边形的两条对角线垂直，就能使中点四边形是矩形；

（4）只要原四边形的对角线垂直且相等，就能使中点四边形是正方形

四、中点的综合运用

1.1重心定理与三线合一的结合运用

例8、已知△ABC中，AB=AC,中线AD与BE相交于点G，AD=18，GE=5，求BC

1.2三线合一与斜边上中线的结合运用

例9.如图，在△ABC中，点D在AC边上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点，

求证：

2EF=AB

1.3中位线与三线合一的结合运用

例10、已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC的中点，试说明BD=2EF。

1.4中位线与斜边上中线的结合运用

例11.如图:

△ABC中，AH⊥BC于H,D、E、F分别是AB、AC和BC的中点。

求证：

△DFE≌DHE

总结

1有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）

2、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；

3、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；

4、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；

5、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；

6、倍长中线

7、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”

8、中点在四边形中的性质

拓展提高

1、如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC。

若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值

2、

如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F， 求证：

MF＝

（AC－AB）。

3、

如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，求证：

∠ACB＝2∠B。

4、如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE、BE，

求证：

S△ABE=

S四边形ABCD。

延长BE交AD延长线于F,

因为AD//BC,点E是CD的中点

所以很容易证明△BEC≌△FED,BE=EF（即E为BF中点）

所以S△BEC=S△FED

所以S四边形ABCD=S△AFB

在三角形AFB中E为BF中点,

所以S△ABE=1/2S△AFB

所以S△ABE=1/2S四边形ABCD