初中数学平面几何的概念.docx

初中数学平面几何的概念.docx

《初中数学平面几何的概念.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学平面几何的概念.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初中数学平面几何的概念

 初中平面几何概念

1过两点有且只有一条直线

      2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7平行公理  经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

　9同位角相等，两直线平行

10内错角相等，两直线平行

11同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补

15定理  三角形两边的和大于第三边

16推论  三角形两边的差小于第三边

17三角形内角和定理  三角形三个内角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理  有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理  有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24推论  有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理  有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理  有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

　27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

      几何语言：

      ∵PE⊥OA，PF⊥OB      PE＝PF

      ∴点P在∠AOB的角平分线上（角平分线判定定理）

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

      几何语言：

      ∵OC是∠AOB的角平分线（或者∠AOC＝∠BOC）

      PE⊥OA，PF⊥OB      点P在OC上

      ∴PE＝PF（角平分线性质定理）

　30等腰三角形的性质定理  等腰三角形的两个底角相等

      几何语言：

      ∵AB＝AC

      ∴∠B＝∠C（等边对等角）

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

      几何语言：

（1）∵AB＝AC，BD＝DC

          ∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

（2）∵AB＝AC，∠1＝∠2

          ∴AD⊥BC，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

      （3）∵AB＝AC，AD⊥BC

          ∴∠1＝∠2，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

      几何语言：

  ∵AB＝AC＝BC

   ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°）

34等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

      几何语言：

      ∵∠B＝∠C

      ∴AB＝AC（等角对等边）　

 35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

      几何语言：

      ∵∠A＝∠B＝∠C

      ∴AB＝AC＝BC（三个角都相等的三角形是等边三角形）

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

      几何语言：

      ∵AB＝AC，∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）

      ∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

      几何语言：

      ∵∠C＝90°，∠B＝30°

      ∴BC＝AB或者AB＝2BC

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理  线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

      几何语言：

      ∵MN⊥AB于C，AB＝BC，（MN垂直平分AB）        点P为MN上任一点

      ∴PA＝PB（线段垂直平分线性质）

40逆定理  和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

      几何语言：

      ∵PA＝PB

      ∴点P在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线判定）

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理  如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理  直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

47勾股定理的逆定理  如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形

48定理  四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理  n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论  任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1  平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2  平行四边形的对边相等

54推论  夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3  平行四边形的对角线互相平分

      几何语言：

      ∵四边形ABCD是平行四边形

      ∴AD∥BC，AB∥CD（平行四边形的对角相等）

      ∠A＝∠C，∠B＝∠D（平行四边形的对边相等）

      AO＝CO，BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分）

 56平行四边形判定定理1  两组对边分别平行的四边形是平行四边形

      几何语言：

      ∵AD∥BC，AB∥CD

      ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

 57平行四边形判定定理2  两组对角分别相等的四边形是平行四边形

      几何语言：

 ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

 58平行四边形判定定理3  两组对边分别相等的四边形是平行四边形

      几何语言：

  ∵AD＝BC，AB＝CD

  ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

 59平行四边形判定定理4  对角线互相平分的四边形是平行四边形

      几何语言：

   ∵AO＝CO，BO＝DO

    ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

  60平行四边形判定定理5  一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

      几何语言：

∵AD∥BC，AD＝BC

∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）  

  61矩形性质定理1  矩形的四个角都是直角

62矩形性质定理2  矩形的对角线相等

      几何语言：

      ∵四边形ABCD是矩形

      ∴AC＝BD（矩形的对角线相等）

      ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°（矩形的四个角都是直角）

 63推论  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

      几何语言：

      ∵△ABC为直角三角形，AO＝OC

      ∴BO＝AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

  64矩形判定定理1  有三个角是直角的四边形是矩形

      几何语言：

      ∵∠A＝∠B＝∠C＝90°

      ∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）

  65判定定理2  对角线相等的平行四边形是矩形

      几何语言：

      ∵AC＝BD

      ∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）

  66菱形性质定理1  菱形的四条边都相等

  67菱形性质定理2  菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

      几何语言：

      ∵四边形ABCD是菱形

      ∴AB＝BC＝CD＝AD（菱形的四条边都相等）

      AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）

68菱形判定定理1  四边都相等的四边形是菱形

      几何语言：

      ∵AB＝BC＝CD＝AD

      ∴四边形ABCD是菱形（四边都相等的四边形是菱形）

 69菱形判定定理2  对角线互相垂直的平行四边形是菱形

      几何语言：

      ∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO

      ∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

70菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

71正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

72正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

73中心对称和中心对称图形定理1  关于中心对称的两个图形是全等的

74中心对称和中心对称图形定理2  关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

75中心对称和中心对称图形逆定理  如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

76等腰梯形性质定理  等腰梯形在同一底上的两个角相等

      几何语言：

      ∵四边形ABCD是等腰梯形

      ∴∠A＝∠B，∠C＝∠D（等腰梯形在同一底上的两个角相等）

 77等腰梯形判定定理  在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

      几何语言：

∵∠A＝∠B，∠C＝∠D

∴四边形ABCD是等腰梯形（在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）

78等腰梯形的两条对角线相等

79对角线相等的梯形是等腰梯形

80平行线等分线段定理  如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

81推论1  经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

82推论2  经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

83三角形中位线定理  三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半

      几何语言：

      ∵EF是三角形的中位线

      ∴EF＝AB（三角形中位线定理）

 84梯形中位线定理  梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半

L=（a+b）÷2  S=L×h

      几何语言：

      ∵EF是梯形的中位线

      ∴EF＝（AB＋CD）（梯形中位线定理）

85比例的基本性质  如果a:

b=c:

d,那么ad=bc。

如果ad=bc,那么a:

b=c:

d

　　86平行线分线段成比例定理  三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

      87推论  平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88定理  如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90定理  平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1  两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2  两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94判定定理3  三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95定理  如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96性质定理1  相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97性质定理2  相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3  相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109定理  不在同一直线上的三个点确定一个圆

110垂直于弦的直径

      垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

      几何语言：

      ∵OC⊥AB，OC过圆心（垂径定理）

111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

              几何语言：

   ∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）

   ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧    

              几何语言：

∵AC＝BC，OC过圆心（弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧）

  ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

    112    圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

　113定理  在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

114推论  在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

115推论2  半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

116推论3  如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

117①直线L和⊙O相交  d﹤r

　　  ②直线L和⊙O相切  d=r

　　  ③直线L和⊙O相离  d﹥r

118如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

119①两圆外离  d﹥R+r

②两圆外切  d=R+r

③两圆相交  R-r﹤d﹤R+r（R﹥r）

④两圆内切  d=R-r（R﹥r）    

⑤两圆内含d﹤R-r（R﹥r）

120定理  相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦