初中平面几何之中点.docx

1、初中平面几何之中点初中平面几何之中点初中中点问题主要可以分为：三角形中的中点、圆中的中点、四边形中的中点以及综合运用。一、中点在三角形中的性质及其运用1.普通三角形的中线1.1中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形例1、如图所示，D为BC边的中点。作AE垂直BC，发现AE同时作为ABD和ADC的高，而这两个三角形的底边BD和DC又相等，即等底同高，根据三角形面积公式可得：1.2三条中线三角形三条中线的交点叫做重心六个小三角形的面积相等由中线等分面积可得：，代入化简可得重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2：1。2、等腰三角形底边上的中点根据等腰三角形的轴对称性，则有：等腰三角形的顶角平分

2、线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称等腰三角形三线合一。1、如图1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MNAC于点N，则MN等于（ ）A B C D3.直角三角形斜边上的中点性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例3、如图在ABC中，ACB=90,CDAB于点D，CE是斜边AB上的中线，已知BC=5,CE=6.5, 求CD的长变式练习1、如图，在ABC中，A=90,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断OMN的形状，并说明理由.4、三角形的中位线中位线定理：三角形的中位线平行且相等于第三边的一半例4、已知，如图，ABC的

3、中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点。 求证：四边形EFDG为平行四边形。5、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）6、倍长中线（将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法）例6、如图，ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：ABAD变式训练：如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：DEF为等腰直角三角形。二、中点在圆中的性质及其运用1.弦、弧的中点垂径定

4、理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧逆定理 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧逆定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦例5、如图，CE 为O 的直径，E为劣弧AB的中点，AB=8cm， DO=2cm，则求EC的三、中点在四边形中的性质及其运用1. 中点四边形定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形例7、求证任意四边形的中点四边形都是平行四边形平行四边形的中点四边形是 ；矩形的中点四边形是 ；菱形的中点四边形是 ；正方形的中点四边形是 ；梯形的中点四边形是 ；直角梯形的中点四边形是 ；等腰梯形的中点四边形是 。以此类推： 平行四边形的中点四边形是

5、平行四边形；矩形的中点四边形是菱形； 菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形； 梯形的中点四边形是平行四边形；直角梯形的中点四边形是平行四边形；等腰梯形的中点四边形是菱形。小结：（1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系；（2）只要原四边形的两条对角线相等，就能使中点四边形是菱形；（3）只要原四边形的两条对角线垂直，就能使中点四边形是矩形；（4）只要原四边形的对角线垂直且相等，就能使中点四边形是正方形 四、中点的综合运用1.1重心定理与三线合一的结合运用例8、已知ABC中，AB=AC,中线AD与BE相交于点G，AD=18，GE=5，求BC1.2 三线合一与斜边上中线的结合运

6、用例9. 如图，在ABC中，点D在AC边上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点， 求证：2EF=AB1.3 中位线与三线合一的结合运用例10、已知ABC中，D是AB上一点，AD=AC， AECD，垂足为E，F 是BC的中点，试说明BD=2EF。1.4 中位线与斜边上中线的结合运用例11. 如图:ABC中，AHBC于H, D、E、F分别是AB、AC和BC的中点。求证：DFEDHE总结1有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）2、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；3、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；4、三角形中遇到

7、两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；5、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；6、倍长中线7、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”8、中点在四边形中的性质拓展提高1、如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段DF的中点，连结PGPC。若ABCBEF60，探究PG与PC的位置关系及PG /PC的值2、如图所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若 CFAD且交AD的延长线于F， 求证：MF(ACAB)。3、如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，MEAD且交 AC的延长线于E，CD2CE， 求证：ACB2B。4、如图所示，已知梯形ABCD，ADBC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE，求证：SABE=S四边形ABCD。延长BE交AD延长线于F,因为AD/BC,点E是CD的中点所以很容易证明BECFED,BE=EF（即E为BF中点）所以SBEC=SFED所以S四边形ABCD=SAFB在三角形AFB中E为BF中点,所以SABE=1/2SAFB所以SABE=1/2S四边形ABCD