学年八年级数学上册期末考点大串讲专题17 因式分解知识点串讲解析版.docx

学年八年级数学上册期末考点大串讲专题17 因式分解知识点串讲解析版.docx

《学年八年级数学上册期末考点大串讲专题17 因式分解知识点串讲解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年八年级数学上册期末考点大串讲专题17 因式分解知识点串讲解析版.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

学年八年级数学上册期末考点大串讲专题17因式分解知识点串讲解析版

专题17因式分解

知识网络

重难突破

知识点一因式分解（难点）

因式分解的定义：

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

【因式分解的定义注意事项】

1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

2.因式分解必须是恒等变形；

3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

因式分解的常用方法：

⏹提公因式法

【提公因式法的注意事项】

1）定系数：

公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。

2）定字母：

字母取多项式各项中都含有的相同的字母。

3）定指数：

相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。

4）查结果：

最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。

典例1（2018·廊坊市期末）分解因式：

－x=__________．

【答案】x（x+1）（x－1）

【解析】解：

原式

典例2（2018·海南中考模拟）分解因式：

9abc-3ac2=__________．

【答案】3ac（3b﹣c）

【解析】详解：

原式=3ac（3b﹣c）．

故答案为：

3ac（3b﹣c）．

典例3（2018·恩施市期末）（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×________.

【答案】（a-b+x-y）

【解析】运用公因式的概念，把多项式（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2运用提取公因式法因式分解（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×（a-b+x-y）.

故答案为：

（a-b+x-y）.

典例4（2019·济南市期末）若x＋y＝1，xy＝-7，则x2y＋xy2＝_____________．

【答案】﹣7

【解析】∵x+y=1，xy=﹣7，

∴x2y+xy2=xy（x+y）=-7×1=-7.

典例5（2016·泊头市期末）若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．

【答案】12

【解析】原式=2（m2+2mn+n2）-6，

=2（m+n）2-6，

=2×9-6，

=12．

典例6（2018·海淀区期中）若

，则

__________．

【答案】4

【解析】

（a-1）2+（b-3）2=0,a=1,b=3,所以a+b=4.

故答案为4.

典例7（2019·云南中考模拟）在实数范围内因式分解：

2x3+8x2+8x＝_____

【答案】2x（x+2）2

【详解】解：

原式＝2x（x2+4x+4）＝2x（x+2）2，

故答案为：

2x（x+2）2

典例8（2019·安顺市期末）若

那么

=________.

【答案】0

【详解】∵a2+a+1=0，

∴a2001+a2000+a1999=a1999（a2+a+1）=0．

故答案为：

0．

典例9（2018·山东中考模拟）分解因式：

x2-2x+（x-2）=___________。

【答案】（x+1）（x-2）

【解析】详解：

x2-2x+（x-2）=x（x-2）+（x+2）=（x+1）（x-2）

故答案为：

（x+1）（x-2）

典例10（2018·沛县期末）已知

则

=_______．

【答案】15

【详解】∵m+n=5，mn=3，∴m2n+mn2=mn（m+n）=3×5=15．

故答案为：

15．

⏹公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

1平方差公式：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）

②完全平方公式：

a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2

a2－2ab＋b2＝（a－b）2

典例1（2018·四川中考真题）分解因式：

2a3b﹣4a2b2+2ab3=_____．

【答案】2ab（a﹣b）2．

【解析】分析：

先提取公因式2ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

详解：

2a3b-4a2b2+2ab3，

=2ab（a2-2ab+b2），

=2ab（a-b）2．

典例2（2018·广东中考模拟）分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．

【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2．

【解析】解：

令x+y=a，xy=b，

则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）

=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）

=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b

=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1

=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1

=（b﹣a+1）2；

即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．

故答案为：

（y﹣1）2（x﹣1）2．

典例3（2018·海门市期中）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：

______．

【答案】

．

【详解】解：

由面积可得：

．

故答案为：

．

典例4（2019·内蒙古中考模拟）分解因式：

a2﹣1+b2﹣2ab＝_____．

【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．

【详解】解：

a2﹣1+b2﹣2ab

＝（a2+b2﹣2ab）﹣1

＝（a﹣b）2﹣1

＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．

故答案为：

（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．

典例5（2018·湖南中考真题）因式分解：

＝___.

【答案】

【解析】详解：

a2（a-b）-4（a-b）

=（a-b）（a2-4）

=（a-b）（a-2）（a+2），

故答案为：

（a-b）（a-2）（a+2）．

典例6（2015·福建中考模拟）已知：

，且

则

．

【答案】14

【解析】试题分析：

因为

，所以

，所以

，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又

，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以

2+4+8=14．

典例7（2019·蓬莱市期中）若m﹣2n=﹣1,则代数式m2﹣4n2+4n=____________．

【答案】1

【详解】解：

故答案为：

1．

典例8（2018·吉林中考真题）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=________．

【答案】4

【详解】解：

a2b+ab2=ab（a+b）=1×4=4．

故答案为：

4.

典例9（2018·大庆市期末）多项式18xn+1-24xn的公因式是_______.

【答案】6xn

【解析】运用公因式的概念，找出系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是xn，可得公因式为6xn．

故答案为：

6xn.

典例10（2018·北京中考模拟）分解因式：

_____________．

【答案】

【详解】解：

=

=x（y﹣3）（y+3）．

故答案为：

x（y﹣3）（y+3）．

⏹十字相乘

【十字相乘的注意事项】

1）用来解决两者之间的比例问题。

2）得出的比例关系是基数的比例关系。

3）总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。

典例1（2018·山东中考真题）分解因式：

2x3﹣6x2+4x=__________．

【答案】2x（x﹣1）（x﹣2）．

【解析】分析：

首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．

详解：

2x3﹣6x2+4x

=2x（x2﹣3x+2）

=2x（x﹣1）（x﹣2）．

故答案为：

2x（x﹣1）（x﹣2）．

典例2（2018·四川中考模拟）分解因式：

ax2+2ax﹣3a=__________________________．

【答案】a（x+3）（x﹣1）

【解析】详解：

ax2+2ax-3a=a（x2+2x-3）=a（x+3）（x-1）．

故答案为：

a（x+3）（x-1）

典例3（2018·西城区期末）分解因式：

=_____________________．

【答案】

【详解】因为-6×2=-12，-6+2=-4，

所以x2-4x-12=（x-6）（x+2）．

故答案是：

.

典例4（2018·山东中考模拟）分解因式：

x2+4x﹣12＝______．

【答案】：

．

【详解】

.

故答案为：

.

典例5（2018·江苏中考模拟）分解因式：

______．

【答案】

【解析】详解：

x²-4x+3=（x-1）（x-3）．

故答案为：

（x-1）（x-3）．

巩固训练

一、选择题（共10小题）

1．（2018·南阳市期末）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（）

A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定

【答案】C

【解析】a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．

∵a，b，c是三角形的三边．

∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．

∴a2-2ab+b2-c2＜0．

故选C．

2．（2019·衡水市期末）已知

（）.

A.3B.-3C.5D.-5

【答案】A

【详解】∵m2-m-1=0，

∴m2-m=1，

∴m4-m3-m+2=m2（m2-m）-m+2=m2-m+2=1+2=3，

故选A．

【名师点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐次降低m的次数.

3．（2018·安庆市期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）

A．1B．4C．11D．12

【答案】C

【解析】详解：

∵（x＋p）（x＋q）=x2＋（p+q）x+pq=x2＋mx－12

∴p+q=m，pq=-12.

∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12

∴m=-11或11或4或-4或1或-1.

∴m的最大值为11.

故选：

C.

4．（2019·菏泽市期中）已知

可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（）

A.1、3B.3、5C.6、8D.7、9

【答案】D

【解析】248－1=（224+1）（224－1）=（224+1）（212+1）（212－1）=（224+1）（212+1）（26+1）（26－1）=（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23－1）,23+1=9,23－1=7,所以这两个数是7、9.

故选D.

5．（2018·莱芜区期末）已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】D

【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac

＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac

＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）

当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2

＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2

＝3．

故选D．

【名师点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．

6．（2018·永春县期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（）

A．15B．30C．60D．78

【答案】D

【详解】解：

根据题意得：

a+b＝5，ab＝6，

则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．

故选：

D．

【名师点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．

7．（2018·德州市期中）下列分解因式正确的是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【详解】A.

，故A选项错误；

B.

，故B选项错误；

C.

，故C选项正确；

D.

=（x-2）2，故D选项错误，

故选C.

【名师点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：

先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．

8．（2019·延边市期中）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），则a、b的值分别是（）

A．a=2，b=3B．a=-2，b=-3

C．a=-2，b=3D．a=2，b=-3

【答案】B

【解析】详解：

（x+1）（x-3）

=x2-3x+x-3

=x2-2x-3

所以a=2，b=-3，

故选B．

9．（2017·莱芜市期中）若关于

的多项式

含有因式

，则实数

的值为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】设x2－px－6=（x－3）（x+a）=x2+（a－3）x－3a，3a=6，a=2，所以p=-（a－3）=1.

故选D.

10．（2018·二道区期末）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（　　）

A．a（4﹣a2）B．a（2﹣a）（2+a）C．a（a﹣2）（a+2）D．a（2﹣a）2

【答案】B

【详解】4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．

故选：

B．

【名师点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

二、填空题（共5小题）

11．（2019·松原市期末）分解因式

___________

【答案】

【详解】原式＝2x（y2＋2y＋1）＝2x（y＋1）2，

故答案为：

2x（y＋1）2

【名师点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12．（2018·和平区期末）分解因式：

x3y﹣2x2y+xy=______．

【答案】xy（x﹣1）2

【解析】详解：

原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2．

故答案为：

xy（x-1）2

13．（2019·铜仁市期末）因式分解：

（x+2）x﹣x﹣2=_____．

【答案】（x+2）（x﹣1）

【解析】【详解】（x+2）x﹣x﹣2

=（x+2）x-（x+2）

=（x+2）（x﹣1），

故答案为：

（x+2）（x﹣1）．

【名师点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

14．（2019·眉山市期末）因式分解：

3x3﹣12x=_____．

【答案】3x（x+2）（x﹣2）

【详解】3x3﹣12x

=3x（x2﹣4）

=3x（x+2）（x﹣2），

故答案为：

3x（x+2）（x﹣2）．

【名师点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

15．（2019·蓬莱市期末）已知△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2＋b2-6a-4b＋13=0，则c为______

【答案】2或3或4

【详解】∵a2+b2-6a-4b+13=0，∴（a-3）2+（b-2）2=0，

∴a-3=0，b-2=0，

解得a=3，b=2，

∵1＜c＜5，且c为整数，

∴c=2、3、4，

故答案为：

2或3或4．

【名师点睛】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、三角形三边关系，根据非负数的性质求得a、b的值，再利用三角形的三边关系确定c的值是解决此类题目的基本思路.

三、解答题（共4小题）

16．（2018·南京市期中）把下列各式因式分解：

（1）

（2）

【答案】

；

．

【详解】

（1）

；

（2）

=

=

．

17．（2018·青岛市期末）分解因式

（1）20a3-30a2

（2）25（x+y）2-9（x-y）2

【答案】

（1）10a2（2a﹣3）

（2）4（4x+y）（x+4y）

【解析】详解：

（1）解：

20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）

（2）解：

25（x+y）2﹣9（x﹣y）2

=[5（x+y）+3（x﹣y）][5（x+y）﹣3（x﹣y）]

=（8x+2y）（2x+8y）；

=4（4x+y）（x+4y）.

18．（2019·恩施市期末）已知多项式2x

-x

+m有一个因式（2x+1）,求m的值.

【答案】

【详解】由题意可知

2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+m）

=2x3+（2a+1）x2+（2m+a）x+m

所以2a+1=-1即a=-1

又2m+a=0

所以m=

19．（2018·无锡市期末）把下列各式因式分解：

；

；

．

【答案】

（1）

，

（2）

，（3）

【详解】解：

；

；

．

．

【名师点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键.