平面的基本性质上课学习上课学习教案.docx
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平面的基本性质教案
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平面的基本性质(3)
教学目标
、知识与能力:
(1)巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论.
(2)能使用公理和推论进行解题.
2、过程与方法:
(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;
(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。
3、情感态度与价值观:
培养学生认真观察的态度,慎密思考的习惯,提高学生的审美能力和空间想象的能力。
教学重点
平面的三条基本性质即三条推论.
教学难点
准确运用三条公理和推论解题.
教学过程
一、问题情境
问题1:
空间共点的三条直线能确定几个平面?
空间互相平行的三条直线呢?
问题2:
如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内?
二、温故知新
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面.
.
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
把以上各公理及推论进行对比:
公理或推论
图形语言
符号语言
作用
公理1
判定直线是否
在平面内
公理2
判定两个平面
是否相交
公理3
点A,B,c不共面点A,B,c确定一个平面
确定一个平面
推论1
点c与直线a
确定一个平面
确定一个平面
推论2
直线a与直线b确定一个平面
确定一个平面
推论3
直线a与直线b确定一个平面
确定一个平面
公理4
判断两线平行
三、数学运用
基础训练:
(1)已知:
;求证:
直线AD、BD、cD共面.
证明:
——公理3推论1
——公理1
同理可证,,
直线AD、BD、cD共面
【解题反思1】1。
逻辑要严谨
2.书写要规范
3.证明共面的步骤:
(1)确定平面——公理3及其3个推论
(2)证线“归”面(线在面内如:
)——公理1
(3)作出结论。
变式1、如果直线两两相交,那么这三条直线是否共面?
(口答)
变式2、已知空间不共面的四点,过其中任意三点可以确定一个平面,由这四个点能确定几个平面?
变式3、四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形吗?
(口答)
(2)已知直线满足:
;求证:
直线
证明:
——公理3推论3
——公理1
直线共面
提高训练:
已知,求证:
四条直线在同一平面内.
思路分析:
考虑由直线a,b确定一个平面,再证明直线c,l在此平面上,但十分困难。
因而可以开放思路,考虑确定两个平面,再证明两个平面重合,问题迎刃而解。
证明:
——公理3推论3
——公理3推论3
——公理1
因此,平面同时经过两条相交直线
所以平面重合。
——公理3推论2
直线共面
上面方法称为同一法
拓展训练:
如图,三棱锥A-BcD中,E、G分别是Bc、AB的中点,F在cD上,H在AD上,且有DF:
Fc=DH:
HA=2:
3;求证:
EF、GH、BD交于一点.[渗透空间问题平面化思想]
思路分析:
思路1:
开放思路,考虑三个平面,首先证明两条直线在一个面内,并且相交,然后证明交点在两个平面上,据公理2知它在两面唯一的交线——第三条直线上,因此证得三线共点。
证法1:
连接,
因E、G分别是Bc、AB的中点,故
因DF:
Fc=DH:
HA=2:
3,故
——公理4
共面,由上知,
相交,设交点为o,则平面,平面,
所以直线
所以EF、GH、BD交于一点。
思路2:
首先证明直线GH、BD交于一点P,直线EF、BD交于一点Q,然后证明两点P、Q重合,进而得出EF、GH、BD交于一点。
证法法2:
提示:
过点H作Ho,使得,交点为o,连接oF,证明,
延长GH,EF,使它们与直线BD分别交于点P、Q,由三角形相似可以得出oP=oQ.所以点P、Q重合。
链接生活:
在正方体木头中,试画出过其中三条棱的中点P、Q、R的平面截得木头的截面形状.
【解题反思2】1。
逻辑要严谨
2.书写要规范
3.方法要掌握
(1)证明共面的步骤:
)确定平面——公理3及其3个推论——公理3及3个推论
2)证线“归”面(线在面内如:
)——公理1
3)作出结论。
(2)证明共线的步骤:
①证所有点在第一个面内(如平面)——公理1
②证所有点在第二个面内(如平面)——公理1
③结论1:
所有点在两个平面的交线上
④结论2:
所有点共线——公理2
(3)证明共点的步骤:
)证交于一个点——公理3及3个推论
2)证此点在二个面内(如平面)——公理1
3)结论1:
此点在两个平面的交线上——————公理2
4)结论2:
三条线共点
四、回顾小结
本节主要复习了平面三个公理和三个推论,学会了如何使用公理及其推论解题.
五、课外作业
反馈练习
[1.2.1
平面的基本性质
(2)]
、经过同一直线上的3个点的平面(
)
A、有且只有1个
B、有且只有3个
c、有无数个
D、有0个
2、若空间三个平面两两相交,则它们的交线条数是(
)
A、1或2
B、2或3
c、1或3
D、1或2或3
3、与空间四点距离相等的平面共有(
)
A、3个或7个
B、4个或10个
c、4个或无数个
D、7个或无数个
4、四条平行直线最多可以确定(
)
A、三个平面
B、四个平面
c、五个平面
D、六个平面
5、四条线段首尾顺次相连,它们最多可确定的平面个数有
个.
6、给出以下四个命题:
①若空间四点不共面,则其中无三点共线;
②若直线l上有一点在平面外,则l在外;
③若直线、、中,与共面且与共面,则与共面;
④两两相交的三条直线共面.
其中所有正确的命题的序号是
.
7.点P在直线l上,而直线l在平面内,用符号表示为(
)
A.
B.
c.
D.
8.下列推理,错误的是(
)
A.
B.
c.
D.
9.下面是四个命题的叙述语(其中A、B表示点,表示直线,表示平面)
①
②
③
④
其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________.
0、已知A、B、c不在同一条直线上,求证:
直线AB、Bc、cA共面.
11、求证:
如果一条直线与两条平行线都相交,那么这三条直线在同一个平面内.
已知:
直线、、且,,;
求证:
直线、、共面.
12、在正方体ABcD-A1B1c1D1中,
①AA1与cc1能否确定一个平面?
为什么?
②点B、c1、D能否确定一个平面?
为什么?
③画出平面Acc1A1与平面Bc1D的交线,平面AcD1与平面BDc1的交线.
13、两两相交且不共点的四条直线共面.(注:
有两种情形,见图,试分别证之)