抽屉原理设计与说课.docx
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抽屉原理设计与说课
“抽屉原理”设计思路
开发区西园小学乔海燕
2011.4.6
“抽屉原理”是六年级数学第十二册的一个新增的教学内容。
这教材通过直观例子，借助实际操作，在向学生介绍“抽屉原理”，使学生理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。
“抽屉原理”应用很广泛且灵活多变，可以解决一些看上去很复杂、觉得无从下手，却又是相当有趣的数学问题。
但对于小学生来说，理解和掌握“抽屉原理”存在着一定的难度。
所以，本节课根据学生的认知特点和规律，在设计时着眼于学生数学思维的发展，注重为为学生提供自主探索的空间，运用“创设情境---建立模型---解释应用”的教学模式，创设了一些活动，通过猜测、验证、观察、分析归纳等数学活动，引导学生自主探究，经历探究“抽屉原理”的过程，建立数学模型，初步了解了“抽屉原理”，并能够应用于实际，在此过程中学会科学地探究解决问题的方法，培养学生迁移类推的数学思想。
教学环节，分为三部分：
一、创设情景，初步感知
兴趣是最好的老师。
通常老师们都会以情景导入来开课。
但我们不能忽略情景导入的有效性。
本节课设计的“抢凳子”游戏，其实就是一个能真实反映“抽屉原理”本质的现象，不单单只起到导入新课的作用，更重要的是要为本节课的学习做好铺垫。
这节课最大的难点在于理解和准确描述“抽屉原理”。
“总有一个杯子里至少放两根小棒”，这句话将贯穿于整个课堂教学过程中，但这句话却很“拗口”，而且难以理解。
怎样让学生在理解的基础上自然而然地来运用它呢？
突破了这一点，后面的教学才能顺利地展开。
于是，我就通过“抢凳子”游戏，来帮助学生理解“总有”和“至少”这两个关键词，为后面的教学做好铺垫。
游戏结束,告诉学生,这个游戏蕴涵着有趣的数学原理叫做“抽屉原理”,明确本节课的教学目标和学生的学习任务。
对照《高效课堂22条》第7条中高效课堂的五项策略中的首项：
预习先行，先学后“交”，实现两个前置，学习前置和问题前置。
课前我尝试让学生进行了预习，这时又提出“看到这个课题，你想知道什么？
”让学生提出自己的疑问，带着问题来学习，也激发了学生探究的兴趣和学习积极性。
二、合作探究，建立模型
这一环节是本节的重点。
高效课堂的理念是自主、合作、探究，课堂的效益公式是：
1×？
=效益。
“1”即教师，并假定为“恒数”，那么学生即为“？
”，学生投入状态的“？
”，即收获正倍或负倍的效益。
如何体现高效课堂的这几个重要指标，体现学生的主体地位是我思考和设计的重点。
新课程标准明确：
学生是学习活动的主体，教师是学生学习的合作者，引导者。
这个环节的设计，我注重让学生经历知识产生、形成的过程。
化繁为简，用小棒和杯子来研究这个原理，明确学习目标。
从最简单的数据入手，采用列举法，让学生把3根小棒放入2个杯子里的情况都一一列举出来，初步感知抽屉原理，再通过把4根小棒放入3个杯子里的操作熟练列举法。
让学生动手摆一摆、想一想、组内议一议的过程，把抽象的说理用具体的实物演示出来，化抽象为具体，发现并描述、理解了最简单的“抽屉原理”。
教学中，为了让学生的小组探究活动有效、不盲目，我设计了几个问题来进行引导。
你是怎样放的？
有几种不同的方法？
你发现了什么？
让学生围绕这几个问题进行操作探究和汇报展示，为学生自主探究抽屉原理做好必要的引导，并提供给学生充分交流与展示的空间与时间，避免了小组活动的形式化。
接着，引导学生理解抽屉原理的一般化模型。
先让学生类推猜测6根小棒放入5个杯子里会有什么结果，然后提出如何验证，让学生借助直观操作发现，把小棒尽量多的“平均分”到各个杯子里，看每个杯子里能分到多少根小棒，剩下的小棒不管放到哪个杯子里，总有一个杯子比平均分得的小棒数多1根，还可以用有余数的除法来表示这一数学规律。
大量列举之后，再引导学生总结归纳这一类“抽屉问题”的一般规律，即“小棒数比杯子数多1时，总有一个杯子里至少有2根小棒”。
在此基础上，我又提问：
小棒数比杯子数多2或其它数会怎么样？
来继续开展探究活动，通过学生归纳总结的规律：
求至少数的方法到底是“商＋余数”还是“商＋１”，引发学生的思维步步深入，并通过讨论和说理活动，使学生经历了一个初步的“数学证明”的过程，在小组交流与全班交流的过程中，充分展示学生的思维过程，建立数学模型，培养了学生的推理能力和初步的逻辑能力，加深学生对知识的理解的同时，各项能力得到发展。
三、解释应用，回归生活
当研究结束，告诉学生我们所研究的这个规律就是“抽屉原理”，这个时候，学生对于课前提出的问题已找到了答案。
然后再出示其它简单、真实的生活情境，让学生用学过的知识来解释这些现象，有效的将学生的自主探究学习延伸到课外，体现了“数学来源于生活，又还原于生活”的理念。
四、课堂总结，注重方法回顾
你有什么收获？
我们是通过什么方法研究得到的？
不但对学习的只是进行梳理，还对这节课所开展的学习方法进行了回顾总结。
把学生的课内实践与课外实践紧密结合起来？
经过研讨，参与的教师明确了抽屉原理研究的是是物体数最多的一个抽屉里最少会有几个物体。
所以要想真正理解抽屉原理，首先要使学生明白的是：
把3个物体放进两个抽屉里，是放物体最多的抽屉里至少有2个物体。
“抽屉原理”教学设计
【教学内容】
《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第68页。
【教学目标】
1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
【教学重点】
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
【教学难点】
理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教具、学具准备】
每组都有相应数量的小棒和杯子。
【教学过程】
一、游戏引入。
师：
同学们，在上课之前，我们先做一起做个小游戏：
请5个同学上来，谁愿来？
（学生上来后）
师：
听清要求，这里准备了4把椅子，老师说开始以后，请你们5个都坐在椅子上，每个人必须都坐下，好吗？
（好）。
生第一次按要求坐。
师：
有一把椅子上坐了两个同学，对吧！
再坐几次，但每次的坐法都要跟前面的坐法不同。
不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学。
你们同意吗？
这其中蕴含着一个有趣的数学原理。
同学们想知道吗？
这节课我们就用小棒和杯子一起来研究这个原理。
【设计意图】从学生熟悉的“抢椅子”游戏开始，让学生初步体验不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象，激发了学生的学习兴趣，为后面开展教与学的活动做了铺垫。
二、自主操作，探究新知
（一）教学例1
1．出示题目：
有3根小棒，2个杯子，把3根小棒放进2个杯子里，怎么放？
有几种不同的放法？
师：
请同学们实际放放看，谁来展示一下你摆放的情况？
（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况（3，0） （2，1）
师：
还有其它不同的摆法吗？
观察这所有的摆法，想一想：
五个人坐四把椅子，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学。
那么，把3根小棒放进2个杯子里，不管怎么放......你有什么发现？
生：
3根小棒放进2个杯子里，不管怎么放总有一个杯子里放两根或两根以上的小棒。
生：
3根小棒放进2个杯子里，不管怎么放总有一个杯子里至少放两根小棒。
师：
是每个杯子里都有两根小棒吗？
谁再来说一说？
师：
说的真好！
说的既清楚又简洁。
老师把同学们的发现记录下来。
那么，依此推想下去，把4根小棒放进3个杯子里，又有什么结果呢？
同学们再摆一摆，看有什么发现？
要求边摆边把摆的情况记录下来。
师：
哪个小组愿意把你们摆的情况来展示一下？
（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）
那么，把4根小棒放进3个杯子里，不管怎么放......你有什么发现？
“总有”是什么意思？
“至少”是什么意思？
师：
刚才，同学们把各种摆放的情况一一列举出来，得到了这样的结论。
那么我们再想想：
把6根小棒放进5个杯子里，你感觉会有什么结果？
我的感觉也和大家的是一样的。
可是我们想的对不对呢？
那就需要我们通过实验去验证。
可是杯子和小棒越来越多了，我们还像刚才一样把所有的方法都一一列举出来吗？
我们能不能想出一种简便的方法，直接就能证明这个结论是对的还是不对的呢？
我们来试试看。
小组内讨论交流。
谁来说说，你们小组想出什么办法来了？
学生思考——组内交流——汇报
师：
哪一组同学能把你们的想法汇报一下？
组1生：
我们发现如果每个杯子里放1根小棒，最多放3根，剩下的1根不管放进哪一个杯子里，总有一个杯子里至少有2根小棒。
师：
你能结合操作给大家演示一遍吗？
（学生操作演示）
师：
同学们自己说说看，同位之间边演示边说一说好吗？
师：
这种分法，实际就是先怎么分的？
生众：
平均分
师：
为什么要先平均分呢？
（组织学生讨论）
生1：
要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2枝”，先平均分,余下1枝，不管放在那个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。
生2：
这样分，只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了？
用算式怎么表示呢？
剩余的“1”怎么办呢？
（放到任意一个杯子里）
师：
同学们真不简单！
这么快就找到这样一种方法来证明这个结论。
我们一起再来看一看这样分的过程。
电脑演示。
强调：
不管怎么分，总有一个杯子里至少有两根小棒。
师：
那么，运用这种方法来判断，7根小棒放进6个杯子里会怎么样？
理由是什么？
谁想再说说？
能说说为什么吗？
10根小棒放进9个杯子里呢？
100根小棒放进99个杯子里会有什么结果呢？
师：
这么大的数字同学们这么快就得出了结论，你是不是发现了其中的规律了呢？
同桌先说说，再回答。
如果小棒的个数比杯子的个数多1，不管怎么放，总有一个杯子里至少有两根小棒。
【设计意图】关注“抽屉原理”的最基本原理，物体个数必须要多于抽屉个数，化繁为简，此处确实有必要提领出来进行教学。
在学生自主探索的基础上，注意引导学生得出一般性的结论：
只要放的铅笔数盒数多1，总有一个盒里至少放进2支。
扎实有效的教学活动，可以让学生学的有兴趣，发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
（二）教学例2
刚才我们研究的都是小棒的个数比杯子的个数多1，那小棒的个数比杯子的个数多2、多3、多4的情况下，有会出现怎样的结果呢？
来，试试吧！
1、出示：
把5根小棒放进3个杯子里会怎样？
先讨论，再摆摆看。
22．学生汇报展示。
把5根小棒放进3个杯子里，不管怎么放，总有一个杯子里至少有两根小棒。
7根小棒放进4个杯子里呢？
为什么呢？
9根小棒放进4个杯子里呢？
15根小棒放进4个杯子里呢？
会有什么样的结果呢？
讨论讨论。
同学们，我们研究到这儿了，看看有什么规律？
把你的想法先说给别的同学听。
生：
小棒的个数÷杯子的个数所得的商+余数，就得到总有一个杯子里至少有多少根小棒
生：
小棒的个数÷杯子的个数所得的“商+1”，就得到总有一个杯子里至少有多少根小棒
你同意谁的意见呢？
能说出理由吗？
同学们，知道吗？
我们今天所研究的这个原理就是数学中有名的“抽屉原理”。
我们所用的小棒就看作被分的物体，杯子就看作抽屉。
有关抽屉原理，我们一起来了解一下。
（电脑出示）
【设计意图】在这一环节的教学中，抓住假设法最核心的思路就是用“有余数除法”形式表示出来，使学生学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。
特别是对“某个抽屉至少有书的本数”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”，教师适时挑出针对性问题进行交流、讨论，使学生从本质上理解了“抽屉原理”。
三、灵活应用，解决问题
运用今天我们所研究的抽屉原理，你能解决有关的数学问题吗？
1、出示：
8只鸽子飞回3个鸽笼，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么？
根据抽屉原理，8÷3=2……2商2+1
2、15个苹果放进4个盘子里，会怎样？
3、游戏：
玩扑克牌
4、32个同学中，至少有两个同学是同一天的生日。
对吗？
四、回顾总结，畅谈收获
今天你都学到了什么？
有哪些收获与大家分享？
1.学生复习“平均分”
2.游戏理解“总有”“至少”两个词的意思，能说
3、2说的真好！
说的既清楚又简洁。
老师把同学们的发现记录下来。
那么，依此推想下去，把4根小棒放进3个杯子里，又有什么结果呢？
4、3
我们用一一列举的方法得到了这样的结论，想一想，感觉……
6、5讨论、验证，平均分
9、8
100、99
5、3那么，运用这种方法来判断
7、4
9、4
师：
同学们真不简单！
这么快就找到这样一种方法来证明这个结论。
我们一起再来看一看这样分的过程。
选课想法：
作为研讨课，我觉得教学内容不重要，重要的是我们设计教学时的理念和教学时所采用的教学方法。
风险：
抽屉原理指的是在某些数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。
在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。
这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。
本节课把4个苹果放进3个盘子中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉原理”，即把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m>n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
关于这类问题的“证明”主要涉及的方法是“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。
教材不仅是涉及到最简单的“抽屉原理”：
把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
还涉及了了“抽屉原理”更为一般的形式：
教材的例2涉及的就是，把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
如果问题所讨论的对象有无限多个，“抽屉原理”还有另一种表述：
把无限多个物体任意分放进n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了无限多个物体。
抽屉原理是很难的，其中原理也是难理解，本节课所要解决的问题是：
1．使学生初步了解抽屉原理
2．通过动手操作、画图、推理等活动初步让学生经历“数学证明”的过程。
3．在学习中能发现一定的规律，培养学生的“模型”思想。
把4只苹果放进3个盘子中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉问题”。
学生在操作实物的过程中可以发现一个现象：
不管怎么放，总有一个盘子里至少放进2只苹果，从而产生疑问，激起寻求答案的欲望。
在这里，“4只苹果”就是“4个要分放的物体”，“3个盘子”就是“3个盘子”，这个问题用“盘子问题”的语言来描述就是：
把4个物体放进3个盘子，总有一个盘子至少有2个物体。
为了解释这一现象，本课呈现了两种思考方法。
第一种方法是用操作的方法进行枚举。
通过直观地摆苹果，发现把4只苹果分配到3个盘子中一共只有四种情况（在这里，只考虑存在性问题，即把4只苹果不管放进哪个盘子，都视为同一种情况）。
在每一种情况中，都一定有一个盘子中至少有2只苹果。
通过罗列实验的所有结果，就可以解释前面提出的疑问。
实际上，从数的分解的角度来说，这种方法相当于把4分解成三个数，共有四种情况，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。
第二种方法采用的是“反证法”或“假设法”的思路，即假设先在每个盘子中放1只苹果，3个盘子里就放了3只苹果。
还剩下1只，放入任意一个盘子，那么这个盘子中就有2只苹果了。
这种方法比第一种方法更为抽象，更具一般性。
例如，如果要回答“为什么把（n＋1）只苹果放进n个盘子，总有一个盘子里至少放进2只苹果”的问题，用枚举的方法就很难解释，但用“假设法”来说明就很容易了。
教学时应有意识地让学生理解“抽屉问题”的“一般化模型”。
教学时，在学生自主探索的基础上，可以引导他们对教材上提供的两种方法进行比较，思考一下枚举的方法有什么优越性和局限性，假设的方法有什么优点，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。
学生在解决了“4只苹果放进3个盘子”的问题以后，可以让学生继续思考：
把5只苹果放进4个盘子，总有一个盘子里至少放进2只苹果，为什么？
如果把6只苹果放进5个盘子，结果是否一样呢？
把7只苹果放进6个盘子呢？
把10只苹果放进9个盘子呢？
把100只苹果放进99个盘子呢？
引导学生得出一般性的结论：
只要放的苹果数比盘子的数量多1，总有一个盘子里至少放进2只苹果。
接着，可以继续提问：
如果要放的苹果数比盘子的数量多2，多3，多4呢？
引导学生发现：
只要苹果数比盘子的数量多，这个结论都是成立的。
通过这样的教学过程，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
教学时应鼓励学生用多样化的方法解决问题，自行总结“抽屉原理”。
例如，在解决“5个苹果放2个盘子”的问题时，由于数据较小，学生用动手操作或分解数的方法仍有其直观、简单的特点，这也是学生最容易想到的方法。
但由于枚举的方法毕竟受到数据大小的限制，随着书的本数的增多，教师应该进行适当的引导。
假设法最核心的思路就是把书尽量多地“平均分”给各个盘子，看每个盘子能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个盘子，总有一个盘子比平均分得的本数多1本。
这个核心思路是用“有余数除法”这一数学形式表示出来的，需要学生借助直观，逐步理解并掌握。
当学生利用有余数除法解决了本例中的三个具体问题后，教师应引导学生总结归纳这一类“盘子问题”的一般规律，要把某一数量（奇数）的苹果放进2个盘子，只要用这个数除以2，总有一个盘子至少放进数量比商多1的书。
例如，要把40个苹果放进9个盘子，40÷9=4……4，因此，总有一个盘子至少放进5个苹果。
如果进一步一般化的话，就是：
要把a个物体放进n个盘子，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一个盘子至少可以放（b＋1）个物体。
这一结论与前文提到的“把多于kn个物体任意分放进n个空盘子（k是正整数），那么一定有一个盘子中放进了至少（k＋1）个物体”意思是完全一致的。
通过这节课的教学使我也认识到：
在教学时应放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，只要是合理的，都应给予鼓励。
只有这样才有助于培养学生具体情况具体分析的数学思维；只有这样才鼓励学生用多样化的方法解决问题。
探究知识的过程是学生在兴趣的引导下，积极地动脑思考、探究获得的。
同时也少不了老师的恰到好处的引导。
首先让学生理解“总有”和“至少”的含义。
这对学生将自己发现描述得简练准确有重要意义。
之后，通过多次实践与发现，引导学生总结一般规律。
以及应用知识中的找准“物体数”与“抽屉数”。
这些都是必不可少的引导，教师适当的引导使学生能茅塞顿开。
当然这引导是有时机的，是在学生独立思考后，能够迸射智慧火花的时候。
教学永远是一门遗憾的艺术。
回顾整节课我觉得在学生体验数学知识的产生过程中，老师处理得还是有点粗，特别是在学生叙述的过程中，学生用比较凌乱的语言的进行描述，教师指导不够，因为数学语言精简性直接影响着学生对新知识的理解与掌握，也就是没有很好地强化理解“总有”“至少”的含义。
（教后反思：
这个环节我认为是最精彩的环节，也是我课后调查学生印象最深的环节。
我无法还原当时学生们思维活跃的气氛和当时学生们表述的具体的语言，这里和教学设计完全不一样，第一个学生的回答是我没有预料的，所以我及时的调整思路，让学生们举例验证到底是商+1还是商+余数，这个有争议的问题，学生们在进一步的探究中找到了答案，这样下一个环节就和这个环节进行了有机的结合。
把问题抛给学生，发挥小组的力量，寻求解决问题的办法，孩子们得出结论时的快乐要远远大于老师老师告诉的快乐）
，只要把机会给学生们，学生们会在辨析质疑中找到解决问题的办法，理也会越辩越明。
学生出现理解性的错误问题还是处在老师这里，没有对这个问题进行预见，但是我想想，这样让学生进行出现问题在进行辩论学生的印象更深一些，课下我曾经调查学生这节课你印象最深的地方是哪里，有20几个同学提到这里）
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