最新人教版高中数学选修21第二章《椭圆的简单几何性质》示范教案第1课时.docx

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最新人教版高中数学选修21第二章《椭圆的简单几何性质》示范教案第1课时

2.2.2　椭圆的简单几何性质

教材分析　　　　　

利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，本节在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，第1课时不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．

课时安排：

本节内容共需约3个课时．第一课时主要讲性质1～3；第二节讲性质4及应用；第三课时讲直线与椭圆的有关问题．

第1课时

教学设计

（一）

教学目标　　　　　

知识与技能

掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a，b，c的几何意义以及a，b，c的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．

过程与方法

利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．

情感、态度与价值观

通过自主探究、交流合作使学生亲身体验探究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．

重点难点　　　　　

教学重点：

从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．

教学难点：

椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的教学过程．学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点．

引入新课　　　　　

提出问题：

方程16x2＋25y2＝400表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？

活动设计：

情形1：

列表、描点、连线进行作图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；

情形2：

求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；

情形3：

方程变形，求出a，b，c，联想椭圆画法，利用绳子作图；

情形4：

只作第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其他象限内的图形．

辨析与研讨：

实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯．

设计意图：

（1）问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决体现了对二元二次方程的研究，为利用方程研究性质打下基础；

（2）课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特征：

范围、对称性、关键点；

（3）实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异和思维认识层次；

（4）辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探讨，得到统一的认识．

点评：

（1）能够抓住椭圆的几何特征、范围、对称性、关键点作图；

（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；

（3）本节课我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法．

教师板书：

椭圆的简单几何性质．

探求新知　　　　　

问题：

学生思考：

与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程

＋

＝1（a>b>0）有什么特点？

（1）椭圆方程是关于x，y的二元二次方程；

（2）方程的左边是平方和的形式，右边是常数1；

（3）方程中x2和y2的系数不相等．

设计意图：

类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备．

【问题1】自主探究：

结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围．

实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维．

学生活动过程：

情形1：

＋

＝1变形为

＝1－

≥0，x2≤a2|x|≤a－a≤x≤a.

这就得到了椭圆在标准方程下x的范围－a≤x≤a.

同理，我们也可以得到y的范围－b≤y≤b.

情形2：

可以把

＋

＝1看成sin2α＋cos2α＝1，利用三角函数的有界性来考虑

，

的范围．

点评：

你可能没有意识到，如果将a，b乘过去，就得到了

这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参数方程，有兴趣的同学下课后可以阅读有关内容．所以我们在研究问题的过程中，结果并不重要，重要的是放宽研究问题的思路，拓宽我们的思维角度．

谁还有其他的方法？

情形3：

椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以

≤1，同理可以得到y的范围．

情景4：

利用学习过函数的定义域、值域，这对研究椭圆的范围有何启示呢？

由

＋

＝1，则y＝±

，可通过求这个函数的定义域、值域得范围.

但y＝±

是函数吗？

学生（思考后）说不是.

教师提问：

怎么处理呢？

学生活动：

把y＝

和y＝－

分别看作是一个函数.

先求函数y＝

的定义域、值域．利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得－a≤x≤a,0≤y≤b，同样得y＝－

中－a≤x≤a,－b≤y≤0，于是得到范围．

教师总结：

只需求y＝

（0≤x≤a）的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围.通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内．有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在x轴上的椭圆的草图了．教师在黑板上示范作图（先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，再用光滑曲线连接，并注意对称性）．

设计意图：

（1）传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；

（2）通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现得异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；

（3）多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想．

结论：

由椭圆方程中x，y的范围得到椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形里．

【问题2】自主探究：

继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性．

实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：

－x代替x后方程不变，说明椭圆关于y轴对称；

－y代替y后方程不变，说明椭圆曲线关于x轴对称；

－x、－y代替x，y后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称．

问题设置：

从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？

辨析与研讨：

－x代替x后方程不变，就是用（－x，y）来代换方程中的（x，y），方程不变，（－x，y）和（x，y）关于y轴对称，两点坐标都满足方程，而（x，y）是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于y轴对称；其他同理．

相关概念：

在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

设计意图：

（1）抓住椭圆标准方程的特点不放松，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；

（2）在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；

（3）多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美．

【问题3】自主探究：

再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标．

实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：

在椭圆的标准方程中，令x＝0，得y＝±b，令y＝0，得x＝±a.

顶点概念：

椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．

顶点坐标：

A1（－a,0），A2（a,0），B1（0，b），B2（0，－b）．

相关概念：

线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．

在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a，b，c就有了明显的几何意义．

设置问题：

在椭圆标准方程的推导过程中令a2－c2＝b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？

学生探究：

c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，连结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即a2－c2＝b2.多媒体展示特征三角形．

设计意图：

（1）利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是a2－c2＝b2的几何意义，多媒体课件的展示体现了a，b，c的几何意义，从而得到a2－c2＝b2的本质．

运用新知　　　　　

活动设计：

阅读课本例4，你有什么认识？

活动成果：

（1）利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程化为标准方程，然后找出相应的a，b，c.

（2）利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：

①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边长，以原点为中心画矩形；

②由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；

③用曲线将四个顶点连成一个椭圆；

④画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．

设计意图：

（1）学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用；

（2）与开头相呼应，使学生认识到运用椭圆的简单几何性质能够简化作图过程．

反思与评价：

回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识：

（1）知识与技能：

椭圆的范围、对称性、顶点，初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的方法；

（2）过程与方法：

重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力；

（3）情感、态度与价值观：

善于观察，敢于创新，学会与人合作，感受到探究的乐趣，体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．

设计意图：

不会反思，就不会学习，通过反思，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次．

课堂小结　　　　　

（1）椭圆的范围、长轴长、短轴长．

（2）椭圆的对称性，对称轴、对称中心．

布置作业　　　　　

（1）反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；

（2）研究

＋

＝1（a>b>0）的范围、对称性、顶点；

（3）课后延伸：

同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中x2和y2的系数不相等”，因此当x2和y2的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？

设计意图：

课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业

（1）强调研究方法的重要性，作业

（2）是对学生学习效果的一种检验，作业（3）引导学生利用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心率；

1．课堂设计理念

授人以鱼不如授人以渔．通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位．

2.对教材的研究认识

利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，本节课不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．

3．课堂教学模式的设置

自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力．数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处．因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习．

4．课堂练习题的说明

如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础．为了不冲淡主题，课堂教学过程重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力．因此，在椭圆几何性质的其他课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用．

1．在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是（　　）

A．x2＝4y　　　B．x2＋2xy＋y＝0　　　C．x2－4y2＝5x　　　D．9x2＋y2＝4

答案：

D

2．设a，b，c分别表示同一椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，则a，b，c的大小关系是…

（　　）

A．a>b>c>0B．a>c>b>0

C．a>c>0，a>b>0D．c>a>0，c>b>0

答案：

C

（设计者：

靳祥利）

教学设计

（二）

教材分析　　　

教材分析：

椭圆的简单几何性质是本章的第二节第二课时，它是解析几何基本思想方法的具体体现；是用代数方法研究直线与圆的某些性质的平行发展，为即将研究双曲线、抛物线的几何性质奠定基础．

学情分析：

学生已经积累了函数方程、三角、不等式等相关知识，前面也学习了直线与圆这一章，初步掌握了解析几何的基本方法．本节课是在学完椭圆的定义和标准方程的基础上，利用标准方程的结构特征来探究椭圆的简单几何性质．

教学目标　　　　　

知识与技能

掌握椭圆的范围、对称性、顶点和轴等性质，掌握方程中a、b、c的几何意义以及相互关系，初步尝试利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质．

过程与方法

学生通过自主探究，经历知识产生发展的过程，体验数学发现和创造的历程，进一步培养学生观察、分析、联想、类比等逻辑推理能力以及数形结合的思想方法，提高学生的数学素养．

情感、态度与价值观

通过学生自主探究、合作交流，使学生亲自体验研究知识的过程，从中体味成功的喜悦，由此激发学生积极主动的学习精神和探索勇气，培养学生的团队意识；通过计算、画图以及多媒体展示，使学生体会椭圆标准方程结构的和谐美和曲线的对称美，培养学生严谨的科学态度．

重点难点　　　　　

教学重点：

掌握椭圆的范围、对称性、顶点和轴的概念及其应用．

教学难点：

椭圆几何性质的形成过程，特别要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维层次的展现和思维能力的提高．

教法学法　　　　　

教学活动采用“问题探究式”的教学模式，把学生需要掌握的知识转化成问题，引导学生分组讨论．将学生分成8个学习小组，展开竞争，最后评选出2个优秀小组．利用自制教具以及幻灯片、几何画板等多媒体手段，激发学习兴趣，提高课堂效率．学生则采用自主探究、合作交流的“研讨式”学习方式去体验知识的形成过程，参与问题的发现、解决过程，从而达到掌握知识、提高能力的目的．

环节

问题设计

设计意图

师生活动

导入新课创设情境

2007年10月24日18时05分左右，嫦娥一号探测器从西昌卫星发射中心由长征三号甲运载火箭成功发射．“嫦娥一号”卫星发射后首先将被送入一个椭圆形地球同步轨道，这一轨道离地面最近距离为200公里，最远为5.1万公里．经过8次变轨后，于11月7日正式进入环月圆形轨道飞行，开始传回探测数据．

通过同学们熟悉的例子导入新课，情景交融，激发学生的爱国热情和强烈的求知欲

学生讨论，明确地球与椭圆形轨道的位置关系.

合作交流

自主探究

问题一：

已知圆的方程为x2＋y2＝1，写出圆上任意一点（x，y）的坐标的取值范围；求出圆与坐标轴的交点坐标；并说出圆的对称性．

分析：

－1≤x≤1，－1≤y≤1

圆关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称．

圆与坐标轴的交点有4个，（－1,0）、（1,0）、（0，－1）、（0,1）．

目的是抛砖引玉，复习圆的相关性质和研究方法，为类比探究椭圆的性质做准备．

学生画图、观察、计算，相互交流，得出结论．

问题二：

分组探讨椭圆

＋

＝1（a>b>0）上任意一点P（x，y）的坐标的取值范围．

引导学生掌握不等式法、换元法、判别式法等重要的代数方法，渗透解析几何的基本方法．

先让学生利用自制教具画椭圆，感受椭圆的范围，然后去推证．给学生充分的时间、空间去分组探讨，教师巡回指导点拨，参与其中．然后逐一展示各小组的学解．

分析：

首先展示椭圆的形成过程，直观感受椭圆的范围，然后再严格推证．

学解展示一：

＝1－

≥0，∴y2≤b2，即－b≤y≤b同理－a≤x≤a.

利用“实数的平方为非负数”获得不等式，这是基本方法

学解展示二：

（

）2＋（

）2＝1，∴（

）2≤1，（

）2≤1

∴x2≤a2，y2≤b2，即－a≤x≤a，－b≤y≤b

注意观察、变形，根据“两实数的平方和等于1，它们都不大于1”获得范围，简洁明快．

学解展示三：

∵（

）2＋（

）2＝1，令

＝sinα，

＝cosα，∴x＝asinα，y＝bcosα.∴－a≤x≤a，－b≤y≤b.

采取三角换元．利用正、余弦函数的有界性获得x、y的取值范围．

学解展示四：

由

＋

＝1得b2x2＋a2y2－a2b2＝0，

∵关于x的方程有解，∴Δ＝0－4b2（a2y2－a2b2）≥0，a2y2－a2b2≤0，即－b≤y≤b.

同理得－a≤x≤a

利用一元二次方程有解的条件求出x、y的范围，即判别式法．此法是函数方程的思想，观点较高．

对学生的方法给予充分肯定，并加以点评，提炼思想方法．

师生互动揭示规律

结论：

椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形框里．

教师用几何画板展示结论，学生动手画图.

问题三：

椭圆

＋

＝1（a>b>0）关于x轴、y轴、原点都对称吗？

为什么？

掌握探究曲线轴对称、中心对称的一般方法．并明确“椭圆的中心”的概念．

教师用几何画板展示对称性，要求学生利用对称性动手画椭圆，提高画图能力．

分析：

在椭圆方程中，以－y代替y，方程不改变，椭圆关于x轴对称．以－x代替x，方程不改变，椭圆关于y轴对称．

以－x代替x，以－y代替y，方程也不改变，椭圆关于原点对称．

结论：

椭圆关于x轴、y轴都是轴对称的，关于原点中心对称．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

问题四：

求出椭圆

＋

＝1（a>b>0）与对称轴的交点坐标

明确顶点和轴的相关概念．特别要注意长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的区别．

学生动手解方程，训练运算能力．

结论：

A1（－a,0），A2（a,0），B1（0，－b），B2（0，b）．椭圆与它的对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点．线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．

问题五：

已知椭圆的长轴是A1A2，短轴是B1B2，怎样确定焦点的位置？

分析：

∵点B1在椭圆上，∴|B1F1|＋|B1F2|＝2a.又|B1F1|＝|B1F2|，∴|B1F1|＝|B1F2|＝a.

以B1为圆心，以|OA1|为半径作圆与线段A1A2的交点就是椭圆的两焦点F1、F2.

明确特征三角形以及a、b、c之间的关系．

学生讨论，尺规作图．

变练演编

题组一：

1.求

＋

＝1的长轴长、短轴长、顶点和焦点坐标，并画出它的草图．

深化提高

变式：

将方程改为25x2＋16y2＝400呢？

2.分别写出符合条件的椭圆的标准方程．

（1）焦点在x轴上，并且过点P（3，－2

）．

（2）a＋c＝10，a－c＝4.

1.化成标准方程，准确写出a、b、c.

2.注意焦点在x轴上和y轴上两种情形，培养学生分类讨论的意识．

三名学生到黑板板演，其他同学在练习本上做，然后教师点评，加以规范总结．

题组二：

已知“嫦娥一号”发射后，首先在以地球地心为一焦点的椭圆形轨道上飞行，若远地点距离地心为m，近地点距离地心为n，试建立适当的坐标系，写出此椭圆形轨道的方程．

增强学生的应用意识，回应开始的情境问题．

学生独立完成.

反思小结提炼观点

1.完成“椭圆的简单几何性质”的表格．

2.换元法、判别式法以及分类讨论、数形结合等思想方法

3.用函数方程思想理解：

方程

＋

＝1是否有解就是范围问题；解的个数就是对称性问题；特殊解就是顶点问题．

4.解析几何的基本方法：

用代数方法研究几何问题，充分体现数与形的结合与统一.

引导学生主动建构，形成知识体系，归纳解题方法，体会数学思想．

师生共同完成

布置作业

课本习题2.2A组3、5

（1）

（2）

分层次教学，引导学生利用“几何画板”探求点的轨迹

教学评价　　　　　

本节课坚持“以人为本，主动发展”的教学理念，采用“问题——探究——交流——反思”的课堂活动模式，通过直观感悟、画图操作、代数推理、上台板演等形式，从几何问题出发，用代数方法研究曲线的性质，最终又回到几何问题中去，充分体现了数与形的结合，初步掌握利用方程结构特征研究曲线几何性质的方法，渗透了数学思想方法，突出了教学重点，突破了难点，教学目标基本完成．整节课力主把更多的时间、机会留给学生，把探索的机会让给学生；把体会成功后的快乐送给学生，让学生在操作中探索，在探索中领悟，在领悟中理解，以体会数学之美，探究之趣．

（设计者：

牛传勇，本教学设计获山东省优秀课评选二等奖．）