课问题分析word版.docx

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课问题分析word版

课问题分析

摘要：

本题要求我们对多约束条件的典型组合进行分析，求解，并作最优化处理。

基jj：

此种原l大I，我们先对符个兀素问的冲突做预处理，进行约束条件的规划，再

通过matlab软件将教室、教师、课程和时间问的约束条件统一化，构成R-T-C

表（详见附表），冉将各个元素进行优先级的计算，从而根据排课的优化模型，

求出最优解。

经过对所给的表格，数据的深入分析，我们可以得知，教师明显缺少，比如

课程学时要求有160个课时，然而教师能上的课时仅有116个课时，所以开始排

课时，不考虑教师，向教师中安排课程。

由于I—J类课程最好不要放在一起，『一J

时根据老师的需求和教室的升放时问进行分配，经过．与我们实际的课表的排课情

况的分析，比如隔一天排ITi-课，课程类别不I叫的课程不在l司-时问上课，我们

可以大致的排出一个按教室上课的表，即R-T-C表。

通过对R-T-C表的分析，发

现有很多课没老师上和老师没课上的情况，我们就对其进行相应的，合理的调整。

最后发现还是老师要外聘。

将外聘14名老师去上相应没人上的科日，具体情况

见附表。

最后，我们得到了．。

张相对优化的，以教室为准的课表（详见附表），从而

解决问题（l）昀要求。

对于我们课表的安排，发现再没对晚自习有其他条件约

束是不会对所排的课表有所影响。

关键词：

排课问题组合规划多目标函数数据量化优先级

一、问题重述

对于有课程40门，教师共有25名，教室18问的条件下合理的安排课程表，

而课程、教师、教室的具体属性及要求详见附表（表1，表2，表3）

对于课表德编排，题日有如下规则：

每周以5灭为单位进行编排；每灭最多

只能编排8节课（上午4节，一卜．午4节），特殊情况‘卜可以编排10节课（晚上2

节），每门课程以2节课为单位进行编排，I耐类课程尽可能不安排在l司-时问。

要求所要解决的问题：

1．请你结合实际情况建点数学模型，通过编程计算，给出较为合理的课表编排

方案，分析你所给出的方案的合理性。

2．如果小准晚上排课，排课结果是否有所变化，如何变化？

3．对教师聘川，教室配置给出合理化建议。

一、问题分析

随着现代教学的改革及各项教育T程的实施，新的教育体制对课表的编排提

出了更高的要求。

但现实生活中，排课问题屡屡皆是，小学如此，中学如此，大

学更是如此，不仅科日多样，而且教窜、老师多变，这使得排课问题往往是很令

人费解的。

经过分析，排课问题就是的多资源组合问题，问题的求解就是找出各

个元素问的对应关系。

进而将各个元素问的联系进一步确定，转化成一个可以量

度其大小的值，从而确定优先级，而我们又将如何确定各元素问的关系，F1标函

数的确定？

根据已有知识可以知道，本题主要分析的是建立一个排课的优化模型。

而它

是一个在课程类别、教师编c-、教师及时问．卜的一个四维空问模型，在各种约束

条件‘卜．的组合规划问题，其实质就是解决符I大|素问的冲突问题。

在模型建立后，

我们有根据什么参量得到排课的最优解。

三、基本假设

模型假设：

I、学校的教师和教窜资源及学生班结构在一个学期内不会有的变动

2、所有的教宰都在lpl一个校Ix-，且1～2节课的教室到3～4节．课的教室的路程

不超过lOmin

3、存‘‘学期内，任课教师身体都非常健康，小存在闪病…事缺课的情况

4、各种教学资源（课桌、多媒体、机房电脑）存．‘学期内都刁i合发牛故障，影

响．卜课

5、在．卜课期'J，老师、学生都不迟到，不影响．卜课质量

6、当有3个课时时，我们当做2个课时处理，及3节连堂上

符号说明：

┏━━━━━┳━━━━━━━━━━━━━━━━┓

┃Rn┃教室编号n=l，2，3…．18┃

┣━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━━━┫

┃Cn┃课程类别n=l，2，3…．40┃

┣━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━━━┫

┃Tn┃教师编号n=1,2，3…．．25┃

┣━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━━━┫

┃YqI”┃外聘教师编弓’n=l，2，3…．．14┃

┣━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━━━┫

┃P（TRC）┃T老师在R教窜．卜C课┃

┣━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━━━┫

┃Xl┃f1、J+门J段效率┃

┣━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━━━┫

┃X2┃教窜利用率┃

┣━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━━━┫

┃X3┃教师满意度┃

┣━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━━━┫

┃D┃优化级的量度值┃

┣━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━━━┫

┃Wl┃权衡时mJ段效率参数┃

┣━━━━━╋━━━━━━━━━━━━━━━━┫

┃W2┃权衡教窄利用率参数┃

┗━━━━━┻━━━━━━━━━━━━━━━━┛

相关名词解释：

时问段效率：

经上网查询及对相关资料的查阅，我们得~II-天内听课效率最高的

是上午8～10，下午1～3，故我们定义上午1～2的听课效率为3，

其余见附表。

教窜利用率：

为充分利用教宰资源，我们定义：

教室利用率=

四、问题的分析及模型的建立

上课总人数

—————————————————————-

教窜最大容纳量’

问题分析

（1）

从数学角度，卜讲，本题主要分析建立一个排课模型，而它是一个在课程类别、教

师编号、教师及时问上的一个四维空问模型，在符种约束条什‘卜的组合规划问题，

其实质就是解决符l大I素问的冲突问题。

在此为了简化处理，先从课程类别、教率

编号入手，建立一个关于C-R的关系表，冉采用化零为整的思路建点我们的日

标函数——优化模型，最后，我们根据各|大l素对排课模型的优先度，求解出排课

模型的最优解。

在对问题初始化分析时，我们发现课程类别、教窜编号、教师、上课时问存在这

么一个对关系：

1）1-1的对应关系

2）l-n的对应关系

3）n-n的对应关系

进而，我们再对它们之问的属性分析，根据它们问的联系求出一种相对合理的排

课方案，最后，对方案的合理性进行分析。

模型的建立

经过分析，我们需将所有课程尽量含理的安排在一个星期内。

首先我们将一

个足期划分为五天，记作l、2、3、4、5，将一火分为四个部分，记作l、2、3、

4，进而，我们将得到一个5×4的矩阵。

其巾，j=l、2、3、4、5分别表示星期

一、星期二、星期■、星期四、星期五；i=l、2、3、4分别表示1～2节课、3～

4节课、5～6节课、7～8节课。

即有：

∑∑∑P（TRC）

我们记作P（TRC）是一个T×R×C维的数列矩阵，表示T老师在R教室上C

课，

我们定义P（TRC）=l时，臣U老师、教室、课程■杵都相互符合足记作l

而P（TRC）=0时，即老师、教室、课程三者‘中有．‘项刁i符合记作0

规定：

A（TR）表示T老师到R教室上了‘’次课是，即2个节

B（TR）表示T老师到R教室，卜总课时

约束条件：

1）每一个时问段都不能多jj：

-个老师在一个教室上课，此时麻满足的条件是：

25

∑PcTRC）≤lneN（N=l、2、3---25）

，-l

2）每位老师在每一‘天才i能l列时对I列．‘个班上上两次课，

∑P（TRC）

，=l

3）某位老师在某一fnJ教室上课时，安排的课就该在这问教室排完，此时应满足

的条件是：

54

2x∑∑P（TRC）=2xA（TR）xB（TR）

J=lf-l

?

。

1一位老师连续丙灭对Il-个班．卜两次课以，卜的次数越少、课程安排在听课效率

商的时问段次数越多和老师．与老师之问的冲突（满意度）次数越少，此时定义：

251840

Q=∑∑∑P（TRC）

，_lr=lt=l

剐时有满足以上的约束条件，Q将取到最优值，即此时安排的课表最优化

排课的预处理

I）ITrl-教师在l司-时问内不能安排两门课

I叫-教宰在llli-时问内不能安排两门课

lal-时fnJ内安排的课时总数不能大于教窜的课时总数

所提供的教宰属性安排课程的所需教宰J禹性一致

2）优化级的计算：

考虑到课表的安排是为了按时保量的完成教学仃务，而其影响…索有众多，

这里我们主要考虑一下三种：

l）时问段效率

2）教室利用率

3）教师满意度

所以我们对课表的安排原则将依据优先级的大小进行排课。

先对以上三个洲素进行量化处理可得到：

时问段效率：

┏━━━━━━━┳━━━━━━━┳━━━━━━━┳━━━━━━━┓

┃上午1～2┃上午3～4┃下午1～2┃下午3～4┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━╋━━━━━━━╋━━━━━━━┫

┃3┃O┃2┃l┃

┗━━━━━━━┻━━━━━━━┻━━━━━━━┻━━━━━━━┛

教室利川率：

0.6一0.4一0．

21

教师满意度：

┏━━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━━┓

┃很满意┃满意┃一般┃不满意┃

┣━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━┫

┃3┃2┃l┃O┃

┗━━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━━┛

我们定义优先级的函数表达工℃为：

D=Wi×Xl+×X2+Wi×X3

其中W,W2W：

；表示相应参数，可根据实际情况进行调整的

通过上式，我们可以很容易得知上课的时问段效率、教窜利用率、教师满意度越

大，D值就越大即优先级越大，就优先排课：

反之，D值越小，优先级就越小，

就丰H对后排课。

通过模型得到的T-R-C表（见附表），再根据优先级的排课，我们可得到一个相

对优化的课表：

R3教室一周内课程安排

┏━━━━━┳━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓

┃┃┃

┃┣━━━━━┳━━━━┳━━━━━┳━━━━┳━━━━┫

┃┃星期一┃星期二┃星期一i┃星期四┃星期^┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃上午1-2┃┃┃┃┃C12-T9┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃上午3-／1┃C18-T24┃┃C18-T24┃┃┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃下午1-2┃┃C6-T6┃┃┃┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃下午3-4┃┃┃┃┃┃

┗━━━━━┻━━━━━┻━━━━┻━━━━━┻━━━━┻━━━━┛

这里就不一一罗列，其余详见附表。

模型的评价与改进

优点：

到了一种排课的方法，即将课程表按课时数撤分，再按没门课程的优先顺序

依次放入课表中。

在考虑其他l大I素（某课程只能安排在川定的某时问段上课，教

师只在同定时问段安排课程）的情况下，本模犁便于进一步发展、完善（只需改

变最优解的参数加相应限制就可解决）。

比起H前最相对合理的遗产法简单易懂

很多。

缺点：

有很多待改进之处，该算法的优先级只是根据经验常识米进行优先级安排课

程，具有一定的非科学性，如果能根据一定的科学知识，对课程的优先级进行科

学的评定，科学的地算出其优先级系数，再确定其优先级，会具有更好的合理性。

再解题过程中限制条件多，数据量大，过程柑对较繁琐。

模型推广

本模型有编程优化的模块，但排课表是人为l大l素较多，也是为了满足课程的

安排过程中更人性化。

I大|此本模型适用于巾小规模的排课，其主要限制pl素足程

序完善度不高，如要进行推J’_，则必须增加程序的模块，使其更完善，相信改进

完善后，即可史科学的实现大规模大排

参考文献：

【I】数学建模（上册），成都电子机械高等专科学校，二零一零年三月

[2]数学建模资料——最优化，漠7卧jdl'2010,7

[3]回溯法——阶叫几矧i。

．b：

1idu．c。

111／、话Ⅵ7／，b㈦1毋鼻=北l（）12010.7

[4]贪婪法——逝叫／balke．㈣Liu．c。

n1／vicw/12'297.litinl?

tu=0102010.7

[5]-天的最有听课效率时问段——mD√／zⅢda（、．ba¨u．corn2010.7

附表：

表l：

教师属性：

┏━━━━━┳━━━━━━┳━━━━━┳━━━━━━━━━┳━━━━━━┳━━━━━━━━┓

┃┃能胜任课┃岗最大┃┃上课时┃尽可能不同入┃

┃教师编号┃┃┃对教窜类别要求┃┃┃

┃┃程类别┃课时数┃┃问要求┃上课的教师┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃TOI┃I，8┃4┃多媒体教室或机房┃上午┃T4┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T02┃I┃4┃普通教室┃下午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T03┃l┃6┃普通教室┃卜．1j┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T04┃2┃4┃多媒体教室┃上午┃Tl┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T05┃2┃4┃普通教‘誊┃下1：

┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T06┃2┃6┃普通敦‘毫┃无┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T07┃3┃4┃普通教窜┃上午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T08┃3，8┃3┃普通教窜或机房┃卜午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T09┃3┃4┃普通教室┃上午┃TII,T18┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃Tl0┃3┃6┃多媒体教窜┃上午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃Tll┃4┃8┃普通教室┃下午┃T9,┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T12┃4┃4┃普通教室┃无┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T13┃4┃6┃多媒体教率┃下午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T14┃5┃'┃普通教‘拳┃卜-午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T15┃5，8┃3┃普通教窜或机房┃卜午┃T23┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T16┃5┃4┃普通教窄┃上午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T17┃6┃4┃普通敦宰┃下午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T18┃6┃6┃普通教窜┃无┃T9┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T19┃6┃4┃多媒体教室┃下午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T20┃7┃4┃普通教室┃上午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T21┃7┃6┃普通教窜┃下午┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T22┃7┃6┃多媒体教窜┃}：

个┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T23┃3，8┃4┃普通教窜或机房┃无┃T15┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T24┃4，8┃6┃普通教室或机房┃卜．个┃┃

┣━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━┫

┃T25┃6，8┃4┃普通教窜或机房┃下午┃┃

┗━━━━━┻━━━━━━┻━━━━━┻━━━━━━━━━┻━━━━━━┻━━━━━━━━┛

表2：

课程属性及要求：

┏━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━━┳━━━━━━━━┳━━━━━━┓

┃┃┃┃对教窜座位┃对教窜┃┃

┃课程编号┃课程类别┃周课时数┃┃┃时问要求┃

┃┃┃┃最大要求数┃类别要求┃┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃COI┃l┃4┃50┃多媒体教窜┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C02┃l┃4┃30┃普通敦窜┃下午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C03┃l┃6┃40┃普通教室┃下午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C04┃l┃4┃25┃多媒体教审┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃005┃l┃3┃60┃普通教窜┃下午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C06┃2┃4┃100┃普通教窜┃弋’r．┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃007┃2┃4┃50┃多媒体教窜┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C08┃2┃2┃30┃普通教窜┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C09┃2┃4┃40┃普通教宰┃下午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃ClO┃2┃3┃25┃多媒体教宰┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃CII┃3┃6┃60┃普通教室┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C12┃3┃4┃80┃普通教室┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C13┃3┃6┃50┃多媒体教。

拳┃下1：

┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C14┃3┃'┃30┃普通教‘拳┃下午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C15┃3┃3┃40┃普通教窜┃卜．午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C16┃4┃4┃25┃多媒体教窜┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C17┃4┃4┃60┃普通教宰┃下午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C18┃4┃6┃90┃普通教宰┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C19┃4┃4┃50┃多媒体教窄┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C20┃4┃2┃50┃普通教室┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃021┃5┃4┃30┃普通教率┃卜午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃022┃5┃4┃40┃多媒体教率┃下午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C23┃5┃3┃25┃普通教率┃上午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C24┃5┃6┃60┃普通教率┃卜午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C25┃5┃4┃100┃多媒体教窜┃立≮┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃026┃6┃3┃50┃多媒体敦宰┃下午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C27┃6┃4┃30┃普通教室┃下午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃C28┃6┃4┃40┃普通教室┃下午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━━┫

┃029┃6┃4┃50┃多媒体教窜┃卜午┃

┣━━━━━╋━━━━━╋━━━━