概率论与数理统计习题及答案.docx

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概率论与数理统计习题及答案

习题二

3•设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：

（1）X的分布律；

（2）X的分布函数并作图；

P{X乞-},P{1:

:

：

X乞3},P{1乞X乞-},P{1:

:

：

X:

:

:

2}.

222

X

0

1

2

P

（2）当x<0时，F（x）=P

（X

［解］

故X的分布律为

当Owx<1时,

F（x）

22

=P（X

35

当iwx<2时,

F（x）

34

=P（X

35

（x）=P（X

当x>2时，F

故X的分布函数

⑶

4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.

［解］

设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.故X的分布律为

0

0.008—分布函数

5.

（1）设随机变量X的分布律为

0.096

0.384

0.512

k

P{X=k}=a-,k!

其中k=0,1,2，…，入>0为常数，试确定常数a.

（2）设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N,k=1,2,…，N,

试确定常数a.

［解］

（1）由分布律的性质知

a=e_

（2）由分布律的性质知

即

a=1.

6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为

（1）两人投中次数相等的概率；

0.6,0.7,今各投3次，求：

（2）甲比乙投中次数多的概率.

［解］分别令X、丫表示甲、乙投中次数，则X~b（3,0.6）,Y~b（3,0.7）

（1）P（X二Y）二P（X=0,Y=0）P（X=1,Y=1）P（X=2,Y=2）

二（0.4）3（0.3）3C3O.6（O.4）2C；O.7（O.3）2+

kk2-k

11.设P{X=k}=C2P（1—p）,k=0,1,2

p（x=0尸（锦）

故得

24

（^p）,

9

即

1

PH*

465

从而P（Y_1）=1-P（Y=0）=1-（1-p）40.80247

81

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b（2000,0.001）利用泊松近似计算,

得

e25

P（X=5）0.0018

5!

13.进行某种试验，成功的概率为

31

-，失败的概率为丄.以X表示试验首次成功所需试验的

44

次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

［解］X=1,2J||,kJ||

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险•在一年中每个人死亡的概率为

0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000

元赔偿金.求：

（1）保险公司亏本的概率；

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.

（1）在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.

设1年中死亡人数为X,则X~b（2500,0.002）,则所求概率为

由于n很大，p很小，入=np=5，故用泊松近似，有

⑵P（保险公司获利不少于10000）

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以匕

P（保险公司获利不少于20000）=P（30000-2000X一20000）=P（X乞5）

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

f（x）=Ae冈，8

求：

（1）A值；

（2）P{0

【解】

（1）由:

f（x）dx=1得

故A=丄.

2

11„1』

（2）p（0X：

：

1）=20edxrj—e）

x11

（3）当x<0时，F（x）edxex

22

X：

：

:

0

F（x）=

1亠

2

17.在区间］0,a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在］0,a］

中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.

【解】由题意知X~U［0,a］，密度函数为

故当x<0时F（X）=0

xxx1x

当0Wx

dp0aa

当x>a时，F（X）=1

即分布函数

18.设随机变量X在［2,5］上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率.

［解］X~U［2,5］，即

故所求概率为

1

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布£（丄）.某顾客在窗

5

口等待服务，若超过10分钟他就离开•他一个月要到银行5次，以丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出丫的分布律，并求P{Y>1}.

【解】依题意知X~E（^），即其密度函数为

5

该顾客未等到服务而离开的概率为

Y~b（5,e2）,即其分布律为

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走•第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40,

102）;第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50,42）.

（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？

（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？

［解］

（1）若走第一条路，X~N（40,102）,则

若走第二条路，X~N（50,42）,贝U

故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2）若X~N（40,102）,则若X~N（50,42）,则

故走第一条路乘上火车的把握大些.

21•设X~N（3,22）,

（1）求P{22},P{X>3};

（2）确定c使P{X>c}=P{X

［解］

（1）P（2乞5）=P口—岂口

I222丿

⑵c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.0$）,规定长度在10.05土0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.

flX-10.05

0.12）

I0.06

〉.

0.06?

【解】P（|X-10.05|0.12）=P

23.—工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160,2）,若要求P{120vX<200}>0.8,允许2最大不超过多少？

［解］卩（120执乞200）界120一1653^200一160

ICTCTCT

40

31.25

1.29

24.设随机变量X分布函数为

（1）

（2）

得八二1

1

求常数A,B;

求P{Xw2},P{X>3};

（3）

求分布密度f（x）.

（limF（x）=1

［解］

（1）由①

凹+F（x）=凹_F（x）［B

当0Wx<1时F（x）二「f（t）dt-

x

当1wx<2时F（x）tf（t）dt

故其分布函数

-21

（2）由1=［二f（x）dx=0bxdx订pdxX

得b=1

即X的密度函数为

当x<0时F（X）=0

X

即

1_G（z：

.）=0.01

即

0.09

故

z：

2.33

（2）由P（Xzj=0.003得

即

^（z.h0.997

查表得

z：

.=2.75

由P（X-z./2）=0.0015得

即门（z：

./2）=0.9985

查表得Z-./2=2.96

28.设随机变量X的分布律为

X

12

?

1

0

1

3

Pk

1/5

1/6

1/5

1/15

11/30

求y=x2的分布律.

【解】丫可取的值为0,1,4,9

故丫的分布律为

Y

0

1

4

9

Pk

1/5

7/30

1/5

11/30

1

29•设P{X=k}=（—）k,k=1,2,…，令

2

求随机变量X的函数丫的分布律.

【解】P（Y=1）=P（X=2）P（X=4）HIP（X=2k）川30•设X~N（0,1）.

（1）求Y=eX的概率密度；

（2）求Y=2X2+1的概率密度；

（3）求丫=|X|的概率密度.

【解】

（1）当yw0时，FY（y）二P（丫乞y）=0

当y>0时，FY（y）二P（丫乞y）二P（ey）二P（X乞Iny）

2

（2）P（Y=2X1-1^1

当yw1时FY（y）=P（丫乞y）=0

2

当y>1时FY（y）二P（Y

（3）P（Y_0）=1

当yw0时FY（y）二P（Y辽y）=0

当y>0时FY（y）二P（|X忙y）二P（-y^X乞y）

-J

故fY（y）厂Fy（y）=fx（y）fx（-y）

dy

32.设随机变量X的密度函数为

试求Y=sinX的密度函数.

【解】P（0Y<1^1

当yw0时，Fy（y）=P（Y乞y）=0

当0

当尸1时，FyW）=1

故丫的密度函数为

33•设随机变量X的分布函数如下：

试填上

（1）,

（2）,（3）项•

【解】由limF（x）=1知②填1。

x^C

由右连续性limF（x^F（xg^1知X。

=0，故①为0。

X—

从而③亦为0。

即

34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律•

1

【解】设Ai=｛第i枚骰子出现6点｝。

（i=1,2）,P（Ai）=.且A1与A相互独立。

再设C=｛每

6

次抛掷出现6点｝。

则

11

故抛掷次数X服从参数为一的几何分布。

36

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?

【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则

X~b（n,0.1）

即（0.9疋0.

得n》22

即随机数字序列至少要有22个数字。

36.已知

gLo）：

：

0

故当

39.

设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（入），每个顾客购买某种物品的概率为p,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.

设购买某种物品的人数为Y,在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b（m,p），即由全概率公式有

此题说明：

进入商店的人数服从参数为入的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从

泊松分布，但参数改变为入p.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布证明：

Y=1:

e2X在区间（0,1）上服从均匀分布【证］X的密度函数为

由于P（X>0）=1，故Ovlre'^vl，即卩P（0<丫<1）=1

当yw0时，Fy（y）=0

当y》1时，Fy（y）=1

当0

即丫的密度函数为即丫〜U（0，1）

41.设随机变量X的密度函数为

1

—,0兰x兰1,

3

2

f（x）=」一，3乞x兰6,

9

0,其他.

（2000研考）

若k使得P{X>k}=2/3，求k的取值范围.

21

【解］由P（X>k）=—知P（X

33

若k<0,P（X

k1k1

若0wk<1,P（X

%333

1

当k=1时P（X

3

0,xc—1,

0.4,—1兰xcl,

F（x）=

0.8,1兰xc3,

1,x_3.

求X的概率分布.（1991研考）

【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为

X

?

1

1

3

P

0.4

0.4

0.2

43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27,求

A在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则

X~b（3,p）

由p（X>1）=翌知P（X=0）=（1:

p）3=—

2727

故p=^

3

44.若随机变量X在（1,6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？

［解］

45•若随机变量X~N（2，/），且P｛2

P｛X<0｝=.

~2—2X—24—2

【解】0.3二P（2：

：

X:

:

4）=P（——：

：

：

:

——）

acra

故>（-）=0.8

a

因此P（X:

：

0>p车二2:

：

：

-^2=）.：

」2）

ffffff

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率

0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n（n》2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求

（1）全部能出厂的概率a；

（2）其中恰好有两台不能出厂的概率3；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率0.

【解】设A=｛需进一步调试｝，B=｛仪器能出厂｝，则

A=｛能直接出厂｝，AB=｛经调试后能出厂｝

由题意知B=AUAB，且

令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，贝UX~6（n,0.94）,

故

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为

72分，96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，异）

24

故：

：

」

（一）=0.977

f60-72X-7284-72

P（60EX空84）=P

I121212

48•在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,

0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））•试求：

（1）该电子元件损坏的概率a；

⑵该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率B

【解】设A1=｛电压不超过200V｝,A2=｛电压在200~240V｝,

A3=｛电压超过240V｝,B=｛元件损坏｝。

由X~N（220,252）知

由全概率公式有

由贝叶斯公式有

49.设随机变量X在区间（1,2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fy（y）.

［解］fX（x）=〔，霍：

2

x'丿10,其他

因为P（1

当e2

当“e4时，Fy（y）=P（Y乞y）=1

广2

0,y兰e

1,

24

e:

:

y:

:

e

r4

当y>1时，FY（y）=P（Y^y）=P（eXEy）=p（xIny）

y_e

求丫=1：

3x的密度函数fY（y）.

【解】R（y）=P（Y乞y）=P（1-3灭乞y）=P（X_（1-y）3）

52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为淀的泊松分布.

（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993

研考）

［解］

（1）当t<0时，FT（t）=P（T乞t）=0

当t>0时，事件｛T>t｝与｛N（t）=0｝等价，有

"JU0

0,t:

:

0

即间隔时间T服从参数为入的指数分布。

e'6九

（2）Q=P仃16|T8）=P仃16）/P（T8）=—

e*

53.设随机变量X的绝对值不大于1，P｛X=：

1｝=1/8，P｛X=1｝=1/4.在事件｛:

1

1,1｝内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的

分布函数F（x）=P｛X

［解】显然当x<：

1时F（x）=0;而x>1时F（x）=1

115

由题知P（—1：

：

X：

：

1）=1_一

848

x+1

当:

1

：

：

X：

：

1）二

此时F（x）=P（XEx）

1当x=：

1时，F（x）二P（X—x）二P（X=-1）=6故X的分布函数

22

54•设随机变量X服从正态分N（卩i,e）,Y服从正态分布N（卩2,<2）,且P{|X-yi|<1}>P{|Y-u2|<1}，试比较<与<的大小.（2006研考）

解：

依题意XN（0,1），YN（0,1），贝V

i.2

因为

P{X—已ci}>P{Y—卩2|<1}，即

所以有

11

，即匚1:

:

:

C2.

X01X1

当1

xdx2dx01

当x>2时F（x）=1

故其分布函数为

27•求标准正态分布的上:

-分位点，

（1）：

=0.01，求z.；

（2）：

=0.003，求乙.,z：

./2.

【解］

（1）P（Xz：

.）=0.01

2

a=时X落入区间（1,3）的概率最大。

•In3

11k2211

若3

l03百9933

若k>6则P（X

2故只有当1wkw3时满足P（X>k）=2.

3

42•设随机变量X的分布函数为