概率论与数理统计习题及答案.docx

1、概率论与数理统计习题及答案习题二3设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样，以 X表示取 出的次品个数，求：(1)X的分布律；(2)X的分布函数并作图；P X 乞-, P1 :： X 乞 3, P1乞 X 乞-, P1 :： X : 2.2 2 2X012P(2)当 x0 时，F (x) =P(X x) =0解故X的分布律为当Owx1时,F (x)22=P (X x) =P(X=0)= 2235当iw x2时,F (x)34=P (X x) =P(X=0)+P(X=1)=3435(x) =P (X2时，F故X的分布函数4.射手向目标独立地进行了 3次射击

2、，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的 分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.解设X表示击中目标的次数.则X=0, 1, 2, 3. 故X的分布律为00.008 分布函数5. ( 1)设随机变量X的分布律为0.0960.3840.512kPX=k= a -, k!其中k=0, 1, 2，入 0为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N, k=1, 2,，N,试确定常数a.解(1)由分布律的性质知a =e_(2)由分布律的性质知即a =1.6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为(1)两人投中次数相等的概率；0.6,0.7,今各投3次，求：(2)甲

3、比乙投中次数多的概率.解分别令X、丫表示甲、乙投中次数，则 Xb(3, 0.6) ,Yb(3,0.7)(1) P(X 二Y)二 P(X =0,Y =0) P(X =1,Y =1) P(X =2,Y =2)二(0.4)3(0.3)3 C3O.6(O.4)2C；O.7(O.3)2 +k k 2 -k11.设 PX=k= C2P(1p) , k=0,1,2p(x= 0尸(锦)故得2 4(p ),9即1PH*4 65从而 P(Y _1) =1 - P(Y =0) =1-(1- p)4 0.802478112.某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这2000册书 中

4、恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001)利用泊松近似计算,得e 25P(X =5) 0.00185!13.进行某种试验，成功的概率为31-，失败的概率为丄.以X表示试验首次成功所需试验的44次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.解 X =1,2J|,kJ|14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险 在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的

5、概率. 【解】以“年”为单位来考虑.(1)在1月1日，保险公司总收入为 2500X 12=30000元.设1年中死亡人数为X,则Xb(2500,0.002),则所求概率为由于n很大，p很小，入=np=5，故用泊松近似，有P(保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以匕P (保险公司获利不少于 20000) = P(30000 -2000X 一20000) =P(X 乞5)即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量 X的密度函数为f(x)= Ae 冈， 8 x+ g,求：(1) A 值；(2) P0X1; (3) F(x).【解】(1)

6、由:f(x)dx=1得故 A =丄.21 1 1 (2)p(0 X ：1) =2 0e dxrje )x 1 1(3)当 x0 时，F(x) edx ex2 2X ：: 0F(x)=1亠217. 在区间0, a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0, a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X的分布函数.【解】 由题意知X U 0,a，密度函数为故当x0时F (X)=0x x x 1 x当 0Wxa 时，F (X)=1即分布函数18. 设随机变量X在2, 5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.解 XU2,5，即故所求概率为11

7、9. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X (以分钟计)服从指数分布(丄).某顾客在窗5口等待服务，若超过10分钟他就离开他一个月要到银行5次，以丫表示一个月内他 未等到服务而离开窗口的次数，试写出 丫的分布律，并求PY 1.【解】依题意知X E()，即其密度函数为5该顾客未等到服务而离开的概率为Yb(5,e 2),即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走 第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X服从N (40,102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X服从N ( 50 , 42).(1)若动身时离火车开车只有 1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开

8、车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？解 (1)若走第一条路，XN (40, 102),则若走第二条路，XN (50, 42),贝U故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若 XN (40, 102),则 若 XN (50, 42),则故走第一条路乘上火车的把握大些.21设 XN ( 3, 22),(1) 求 P2X老 , P 4X 2, PX 3;(2)确定 c使 PXc= PXc.解 (1) P(2 乞5)=P 口 岂口I 2 2 2 丿c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm) XN (10.05,0.0$),规定长度在10.05土 0.12内为合格 品,求一螺栓为不合格品的概

9、率.flX -10.050.12)I 0.06.0.06?【解】P(|X -10.05| 0.12) = P23.工厂生产的电子管寿命 X(小时)服从正态分布N( 160, 2),若要求P120 v X0.8,允许2最大不超过多少？解卩(120执乞200)界120一1653 200 一160ICT CT CT4031.251.2924.设随机变量X分布函数为(1)(2)得八二11求常数A, B;求 PX w 2, PX 3;(3)求分布密度f (x).(lim F(x)=1解 (1)由 凹+F(x)=凹 _F(x) B当 0Wx1 时 F(x)二f(t)dt -x当 1w x2 时 F(x)t

10、f(t)dt故其分布函数- 2 1(2)由 1 =二f (x)dx = 0bxdx 订 pdx X得 b=1即X的密度函数为当 x0 时，FY(y)二 P(丫 乞 y)二 P(ey)二 P(X 乞 In y)2(2) P(Y =2X 1-11当 yw 1 时 FY(y) =P(丫 乞 y) =02当 y1 时 FY(y)二 P(Y 0 时 FY(y)二 P(|X 忙 y)二 P(-y X 乞 y)-J故 fY(y)厂Fy(y) =fx(y) fx(-y)dy32.设随机变量X的密度函数为试求Y=sinX的密度函数.【解】P(0 Y 11当 yw0 时，Fy(y) =P(Y 乞 y) =0当 0

11、y0) =1，故 Ovlrevl，即卩 P (0丫1) =1当 yw 0 时，Fy (y) =0当 y1 时，Fy (y) =1当 0y k=2/3，求k的取值范围.2 1【解由 P (Xk)=知 P (Xk)=-33若 k0,P(Xk)=0k 1 k 1若 0w k 1,P(Xk)= dx 二% 3 3 31当 k=1 时 P (X 1）=翌知 P （X=0） = （1 :p） 3= 27 27故p=344. 若随机变量X在（1, 6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 解45若随机变量 XN （2， /），且 P2X4=0.3，则P X（-）=0. 8a因此 P（

12、X :： 0 p车二2 :：-2 =）.：2 ）ff ff ff46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7可以直接出厂；以概率 0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n（n2）台仪器（假设各台仪器的 生产过程相互独立）.求（1） 全部能出厂的概率 a ；（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率 3 ；（3） 其中至少有两台不能出厂的概率 0 .【解】设A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则A=能直接出厂，AB=经调试后能出厂由题意知B=A U AB，且令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，贝U X6 （n, 0.94）,故47.某地抽

13、样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在 60分至84分之间的 概率.【解】设X为考生的外语成绩，则XN （72，异）24故 ：（一）=0.977f60-72 X -72 84-72P(60 EX 空84) =PI 12 12 1248在电源电压不超过 200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为 0.1,0.001和0.2 (假设电源电压 X服从正态分布 N(220，252) 试求：(1)该电子元件损坏的概率 a ； 该电子元件损坏时，电源电压在 200240V的概率

14、B【解】设A1=电压不超过200V , A2=电压在200240V,A3=电压超过240V , B=元件损坏。由 XN (220, 252)知由全概率公式有由贝叶斯公式有49.设随机变量X在区间(1, 2) 上服从均匀分布，试求随机变量 Y=e2X的概率密度fy(y).解 fX(x)=，霍：2x丿10,其他因为 P (1X2) =1,故 P (e2Ye4) =1 当 yw e2 时 Fy (y) =P(Y y)=0.当 e2y1 时，FY(y) =P(Y y) =P(eX Ey) =p(x In y)y _ e求丫=1 ：3 x的密度函数fY(y).【解】 R(y) =P(Y 乞 y) =P(

15、1-3灭乞 y) =P(X _(1-y)3)52.假设一大型设备在任何长为 t的时间内发生故障的次数 N (t)服从参数为 淀的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔 T的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.(1993研考)解 ( 1)当 t 0时，事件Tt与N(t)=0等价，有JU 00, t : 0即间隔时间T服从参数为入的指数分布。e6九(2) Q =P 仃 16|T 8)=P 仃 16)/P(T 8)=e *53.设随机变量X的绝对值不大于1，PX=：1=1/8，PX=1=1/4.在事件 :1X1出现的条 件下，X在 ：1, 1内任一

16、子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比， 试求X的分布函数F (x) =PXx. (1997研考)解】显然当x 1时F (x) =11 1 5由题知 P(1 ： X ：1) =1 _一8 4 8x + 1当:1x1 时，P(X 乞 x| -1 ： X ：1)二此时 F(x) =P(X Ex)1 当 x= ：1 时，F(x)二 P(X x)二 P(X = -1) =6 故X的分布函数2 254设随机变量 X服从正态分 N （卩i,e）,Y服从正态分布 N（卩2, 2 ）,且P|X-y i|P|Y-u 2|1，试 比较 与 PY卩2| 1，即所以有1 1，即匚 1 : C2 .X 0 1 X 1当 1 x 2 时 F (x) =1故其分布函数为27求标准正态分布的上:-分位点，(1) ： =0.01，求 z.；(2) ： =0.003，求乙.,z：./2.【解(1) P(X z：.)=0.012a = 时X落入区间(1, 3)的概率最大。 In 31 1 k 2 2 1 1若 3kw6,则 P (X6 则 P (Xk) =2.342设随机变量X的分布函数为