完整版高等代数多项式习题解答.docx
《完整版高等代数多项式习题解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版高等代数多项式习题解答.docx（62页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整版高等代数多项式习题解答
第一章多项式习题解答
1.用g（x）除f（x），求商q（x）与余式r（x）.
1）f（x）x3
3x2
x1,g（x）3x2
2x
1
3x2
2x1
x3
3x2
x1
1x
7
x3
2
x2
1
x
3
9
3
3
7x2
4x
1
3
3
7x214x
7
3
9
9
26x
2
9
9
1
x
7
r（x）
26
x
2
q（x）
9
9
.
3
9
2）f（x）x4
2x5,g（x）x2
x2
x2
x2x4
0x3
0x2
2x5x2
x1
x4
x3
2x2
x3
2x2
2x
x3
x2
2x
x2
4x
5
x2
x
2
5x
7
q（x）x2
x1,r（x）
5x7.
2.m,p,q合适什么条件时，有
1）x2
mx1|x3
pxq
x2
mx1
x3
0x2
pxq
xm
x3
mx2
x
mx2
（p1）x
q
mx2
m2x
m
（m2
p
1）x（qm）
当且仅当m2
p10,q
m时
x2
mx
1|x3
pxq.
1
此题也可用待定系数法求解
.当x2
mx
1|x3
px
q时，用x2
mx
1去除
x3
pxq，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为
x
q.于是有
x3
px
q
（x
q）（x2
mx
1）
x3
（m
q）x2
（mq
1）x
q.
所以有m2
p
1
0,q
m.
2）x2
mx1|x4
px2
q
由带余除法可得
x4
px2
q（x2
mx1）（x2
mxp1m2）m（2pm2）x（q1pm2）
当且仅当r（x）
m（2
pm2）x（q
1
p
m2）
0时x2
mx
1|x4
px2
q.即
m（2pm2）0
，即
m0,
或
pm2
2,
q1pm2
0
q1p,
q1.
此题也可用待定系数法求解.当x2
mx
1|x4
px2
q时，用x2
mx
1去除
x4
px2
q，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为
x2
ax
q.于是
有
x4
px2
q
（x2
ax
q）（x2
mx
1）
x4
（m
a）x3
（ma
q
1）x2
（a
mq）x
q.
比较系数可得m
a
0,
ma
q
1
p,
a
mq
0.
消去a可得
m
0,
或
p
m2
2,
q1
q
1.
p,
3.求g（x）除f（x）的商q（x）与余式r（x）.
1）f（x）2x5
5x3
8x,g（x）x3;
解：
运用综合除法可得
32
0
5
0
8
0
6
18
39
117
327
2
6
13
39
109
327
商为q（x）
2x4
6x3
13x2
39x
109，余式为r（x）
327.
2
2）f（x）x3x2x,g（x）x12i.
解:
运用综合除法得:
1
2i1
1
1
0
1
2i
4
2i
9
8i
1
2i
5
2i
9
8i
商为x2
2ix
（5
2i）,余式为9
8i.
4.把f（x）表成x
x0的方幂和，即表示成
c0
c1（x
x0）
c2（xx0）2
的形
式.
1）f（x）
x5,x01；
2）f（x）x4
2x2
3,x0
2;
3）f（x）
x4
2ix3
（1
i）x2
3x
7
i,x0
1.
剖析：
假定f（x）
为n次多项式，令
f（x）
c0
c1（x
x0）
c2（x
x0）2
cn（x
x0）n
c0
（xx0）[c1
c2（xx0）
cn（xx0）n1]
c0即为x
x0
除f（x）所得的余式，商为q（x）
c1
c2（x
x0）
cn（xx0）n1.近似
可得c1为x
x0除商q（x）所得的余式，挨次持续即可求得睁开式的各项系数.
解：
1）解法一：
应用综合除法得.
11
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
2
3
4
11
2
3
4
5
1
3
6
11
3
6
10
1
4
11
4
10
1
15
3
f（x）x5
（x1）5
5（x1）4
10（x1）3
10（x1）2
5（x1）1.
解法二：
把x表示成（x1）1，而后用二项式睁开
x5[（x1）1]5（x1）55（x1）410（x1）310（x1）25（x1）1
2）仿上可得
21
0
2
0
3
2
4
4
8
21
2
2
4
11
2
8
20
21
4
10
24
2
12
21
6
22
2
1
8
f（x）1124（x
2）
22（x
2）2
8（x
2）3
（x
2）4.
3）由于
i1
2i
1i
3
7i
i
1
1
4i
i1
i
i
4
7
5i
i
0
1
i1
0
i
5
i
1
i1
i
1
i
i
1
2i
f（x）
x4
2ix3
（1
i）x2
3x
7
i
（7
5i）
5（x
i）（1
i）（x
i）2
2i（xi）3
（xi）4.
5.求f（x）与g（x）的最大公因式
1）f（x）x4
x3
3x2
4x1,g（x）x3
x2
x1
解法一：
利用因式分解
f（x）x4
x3
3x2
4x1（x1）（x3
3x1）,
4
g（x）x3
x2
x1（x1）2（x1）.
所以最大公因式为x
1.
解法二：
运用展转相除法得
q2（x）
1
x
1x3
x2
x1x4
x3
3x2
4x1
xq1（x）
2
4x3
3x2
1x
x4
x3
x2
x
1
2
3
2
r1（x）
2x2
3x
1
8
x
4
q3（x）
2
x
x
1
2x2
2x
3
3
2
2
1x2
3x
1
x
1
2
4
4
x
1
3
3
r2（x）
x
0
4
4
所以最大公因式为x
1.
2）f（x）x4
4x31,g（x）x3
3x21.
解：
运用展转相除法得（注意缺项系数补零）
3
2
4
3
2
x
4x0x
0x1x1q1（x）
q2（x）
1
x
10
x
3x
0x
1
3
9
3
12
2
x
x4
3x3
0x2
x
x
x
3
3
x
3
0x
2
x
1
10x2
2x1
x3
3x2
0x1
3
3
r1（x）
3x2
x
2
10x2
10x
20
27
x
441
3
9
9
3x2
33x
16
256
r2（x）
16
x
11
16
9
9
49
x
2
16
49x
539
16
256
r3（x）
27
256
（f（x）,g（x））
1.
3）f（x）x410x2
1,g（x）x4
42x3
6x2
42x1.
g（x）
f（x）42（x
3
22x2
x）
f（x）r（x），
1
f（x）
（x3
2
2x2
x）（x
2
2）
（x2
2
2x
1）
4
1
r1（x）（x
22）r2（x）,
2
4
1r1（x）x3
22x2
xx（x2
22x1）
r2（x）x,
2
所以
（
f
（
x
）,
g
（
））
x
2
2
2
x
1.
x
5
6.求u（x）,v（x）使u（x）f（x）
v（x）g（x）
（f（x）,g（x））:
1）f（x）x4
2x3
x2
4x2,g（x）x4
x3
x2
2x2;
解：
运用展转相除法得：
q2（x）x
1x4
x3
x2
2x
2x4
2x3
x2
4x
21
q1（x）
x4
2x2
x4
x3
x2
2x2
x3
x2
2x
r1（x）
x3
2x
x
q3（x）
x3
2x
x3
2x
r2（x）
x2
2
0
所以（f（x）,g（x））
r2（x）
x2
2.且有
f（x）g（x）q1（x）r1（x），g（x）r1（x）q2（x）r2（x）,r1（x）
r2（x）q3（x）.
于是r2（x）g（x）
r1（x）q2（x）
g（x）[f（x）
g（x）q1（x）]q2（x）
q2（x）f（x）[1q1（x）q2（x）]g（x）.
u（x）
q2（x）
x1,v（x）1q1（x）q2（x）x2.
2）f（x）
4x4
2x3
16x2
5x
9,g（x）
2x3
x2
5x
4;
解：
运用展转相除法得：
q2（x）
1x
12x3
x2
5x44x4
2x316x2
5x9
2xq1（x）
3
32x3
x2
3x
4x4
2x310x2
8x
2x2
2x4
r1（x）
6x2
3x96x9q3（x）
2x2
x
3
6x2
6x
r2（x）
x1
9x
9
9x
9
0
所以（f（x）,g（x））
r2（x）
x
1.且有
f（x）
g（x）q1（x）r1（x），g（x）r1（x）q2（x）r2（x）,r1（x）
r2（x）q3（x）.
于是r2（x）g（x）r1（x）q2（x）
g（x）[f（x）
g（x）q1（x）]q2（x）
q2（x）f（x）[1
q1（x）q2（x）]g（x）
升级会员 