数式规律型问题.docx
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数式规律型问题
数式规律型问题(总7页)
数式规律型问题
【经典母题】
观察下列各式:
52=25;
152=225;
252=625;
352=1225;
…
你能口算末位数是5的两位数的平方吗请用完全平方公式说明理由.
解:
把末位数是5的自然数表示成10a+5的一般形式,其中a为自然数,
则(10a+5)2=100a2+100a+25=100a(a+1)+25,
因此在计算末位数是5的自然数的平方时,只要把100a与a+1相乘,并在积的后面加上25即可得到结果.
【思想方法】 模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛,是热点考题之一.
【中考变形】
1.小明在做数学题时,发现下面有趣的结果:
3-2=1;
8+7-6-5=4;
15+14+13-12-11-10=9;
24+23+22+21-20-19-18-17=16;
…
根据以上规律可知第10行左起第1个数是( C )
A.100B.121C.120D.82
【解析】根据规律可知第10行等式的右边是102=100,等式左边有20个数加减.∵这20个数是120+119+118+…+111-110-109-108-…-102-101,∴左起第1个数是120.
2.[2016·邵阳]如图Z3-1,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规律,最后一个三角形中y与n之间的关系是( B )
图Z3-1
A.y=2n+1B.y=2n+n
C.y=2n+1+nD.y=2n+n+1
【解析】∵观察可知:
左边三角形的数字规律为1,2,…,n,右边三角形的数字规律为21,22…,2n,下边三角形的数字规律为1+2,2+22,…,n+2n,∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y=2n+n.
3.[2018·中考预测]根据图Z3-2中箭头的指向规律,从2017到2018再到2019,箭头的方向是下列选项中的( D )
图Z3-2
【解析】由图可知,每4个数为一个循环组依次循环,
2017÷4=504……1,
∴2017是第505个循环组的第2个数,
∴从2017到2018再到2019,箭头的方向是
.
故选D.
4.挑游戏棒是一种好玩的游戏,游戏规则:
当一根棒条没有被其他棒条压着时,就可以把它往上拿走.如图Z3-3中,按照这一规则,第1次应拿走⑨号棒,第2次应拿走⑤号棒,…则第6次应拿走
( D )
A.②号棒B.⑦号棒
C.⑧号棒D.⑩号棒
【解析】仔细观察图形,第1次应拿走⑨号棒,第2次应拿走⑤号棒,第3次应拿走⑥号棒,第4次应拿走②号棒,第5次应拿走⑧号棒,第6次应拿走⑩号棒.
5.[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3-4):
图Z3-4
按照这种规律摆下去,第n个图形用的棋子个数为( D )
A.3nB.6n
C.3n+6+3
【解析】∵第1个图需棋子3+3=6;第2个图需棋子3×2+3=9;第3个图需棋子3×3+3=12;…∴第n个图需棋子(3n+3)个.
6.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,其中1是第1个三角形数,3是第2个三角形数,6是第3个三角形数,…以此类推,那么第9个三角形数是__45__,2016是第__63__个三角形数.
【解析】根据所给的数据发现:
第n个三角形数是1+2+3+…+n,则第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;由1+2+3+4+…+n=
2016,得
=2016,解得n=63(负数舍去).
7.操场上站成一排的100名学生进行报数游戏,规则是:
每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如:
第1位同学报
,第2位同学报
,第3位同学报
,…这样得到的100个数的积为__101__.
【解析】∵第1位同学报的数为
+1=
,第2位同学报的数为
+1=
,第3位同学报的数为
+1=
,…
∴第100位同学报的数为
+1=
,
∴这样得到的100个数的积=
×
×
×…×
=101.
8.[2017·潍坊]如图Z3-5,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…按照此规律,第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n+3__.
图Z3-5
【解析】∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成,∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3;∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成,∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3;∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成,∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3,…∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3.
9.观察下列等式:
第一个等式:
a1=
=
-1;
第二个等式:
a2=
=
-
;
第三个等式:
a3=
=2-
;
第四个等式:
a4=
=
-2;
…
按上述规律,回答以下问题:
(1)用含n的代数式表示第n个等式:
an=
=
-
;
(2)a1+a2+a3+…+an=__
-1__
【解析】a1+a2+a3+…+an=(
-1)+(
-
)+(2-
)+(
-2)+…+(
-
)=
-1.
10.[2016·山西]如图Z3-6是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形组成,其中部分小正方形涂有阴影,依此规律,第n个图案中有__4n+1__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示).
图Z3-6
【解析】由图可知,涂有阴影的小正方形有5+4(n-1)=4n+1(个).
11.如图Z3-7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…则第n个图案中有__5n+1__根小棒.
图Z3-7
【解析】∵第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有6+5×1=11根小棒,第3个图案中有6+5×2=16根小棒,…∴第n个图案中有6+5(n-1)=5n+1根小棒.
12.《庄子·天下篇》中写道:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:
一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图Z3-8所示.
由图易得
+
+
+…+
=__1-
__.
图Z3-8
13.[2016·安徽]
(1)观察图Z3-9中的图形与等式的关系,并填空:
图Z3-9
【解析】1+3+5+7=16=42,观察,发现规律:
1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…∴1+3+5+…+(2n-1)=n2.
(2)观察图Z3-10,根据
(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含有n的代数式填空:
图Z3-10
1+3+5+…+(2n-1)+__2n+1__+(2n-1)+…+5+3+1=__2n2+2n+1__.
【解析】观察图形发现:
图中黑球可分为三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1=1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.
【中考预测】
一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐,现把若干张这样的餐桌按如图Z3-11方式进行拼接.
(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来,四周分别可坐多少人
(2)若用餐的人数有90人,则这样的餐桌需要多少张
图Z3-11
解:
(1)把4张餐桌拼起来能坐4×4+2=18(人);
把8张餐桌拼起来能坐4×8+2=34(人);
(2)设这样的餐桌需要x张,由题意,得4x+2=90,
解得x=22.
答:
这样的餐桌需要22张.