初高中数学衔接二次函数.docx
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初高中数学衔接二次函数
第三讲一元二次方程与二次函数
知识清单
1、二次方程
（1）一般形式是：
ax2+bx+c=0（a≠0）
（2）二次方根（实数根）的求法
根的个数
两个
一个
无
判别式△
方法
常用：
①求根公式
②十字因式分解法
③配方法（常用）
（3）公式记忆
①△=
②求根公式
③根与系数（韦达定理）
2、二次函数的概念、图象和性质
（a>0）
二次函数图像
注意
①（0，c）
②对称轴：
③顶点（）
判别式
二次不等式口诀：
二次函数的形式：
①一般式：
②顶点式：
③两根式：
问题一：
二次方程根的求法
例1：
用适当的方法解方程：
（1）2（x+2）2-8=0
（2）x（x-3）=x
（3）
x2=6x-
（4）（x+3）2+3（x+3）-4=0
点评：
写出每个分解的方法
变式1：
判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）x2-3x+3=0；
（2）x2-ax+（a-1）=0;
点评：
当二次方程系数含参数求根时，需注意什么：
________
问题二：
韦达定理的应用
例2：
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
点评：
要用两种以上的方法求解：
变式1：
已知关于x的方程x2+2（m-2）x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大于21，求m的值。
变式2：
.若x1,x2是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值：
（1）
＋
；
（2）
＋
；
（3）（x1-5）（x2-5）；（4）
.
问题三：
二次函数解析式的求法
例3：
已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3,-1），求二次函数的解析式。
变式1、已知二次函数的图象过点（-3,0），（1.0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式。
变式2、已知二次函数的图像过点
，求此函数的表达式
变式3、把二次函数y=x2+bx+c的图象向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到函数y=x2的图象，求b,c的值。
点评：
当选择二次函数解析式的形式时，应该注意的条件式什么。
请总结：
问题4、二次函数最值的应用
例4：
当x≥0时，求函数y=-x（2-x）的取值围。
变式1：
当1≤x≤2时，求函数y=-x2-x+1的最大值和最小值。
变式2（拓展）：
当t≤x≤t+1时，求函数y=
的最小值（其中t为常数）。
问题5、二次不等式的求解
例5：
已知二次函数y=x2-x-6，当取x何值时，y=0？
当取x何值时，y＜0？
点评：
怎样解关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）呢？
变式1：
解下列不等式：
（1）x2-2x-8＜0；
（2）x2-4x+4≤0；（3）x2-x+2＜0.
变式2：
已知对于任意实数x，kx2-2x+k恒为正数，数k的取值围。
变式3（拓展）：
解关于x的不等式x2-x-a（a-1）＞0
问题6、二次函数的实际应用
例6：
某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数m=162-3x，30≤x≤54.
（1）写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；
（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定位多少最合适？
最大销售利润为多少?
巩固扩展
1.选择题：
（1）方程x2-2
kx+3k2=0的根的情况是（）
A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根D.没有实数根
（2）若关于x的方程mx2+（2m+1）x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值围是（）
A.m＜
B、m＞-
C、m＜
，且m
0D、m＞
，且m
0
2.填空：
（1）若a为方程x2+x-5=0的解，则a2+a+1的值为_____。
（2）方程mx2+x-2m=0（m
0）的根的情况是_____。
3.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2-（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根？
有两个相等的实数根？
没有实数根？
4.用适当的方法解下列一元二次方程；
（1）x2-5x+1=0；
（2）3（x-2）2=x（x-2）；
（3）2x2-2
x-5=0；（4）（y+2）2=（3y-1）2
5、已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则它的另一个根是（）
A.-3B.3C.-2D.2
6、下列四个说法：
方程x2+2x-7=0的两个根之和为-2，两根之积为-7；
方程x2-2x+7=0的两根之和为-2，两根之积为7；
方程3x2-7=0的两根之和为0，两根之积为-
④方程3x2+2x=0的两根之和为-2，两根之积为0.
其中正确的说法的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
7、关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0，则a的值是（）
A.0B.1C.-1D.0或-1
8、填空
（1）方程kx2+4x-1=0的两根之和为-2，则k=____
（2）方程2x2-x-4=0的两根为α，β，则α2+β2=____
（3）已知关于x的方程x2-ax-3a=0的一个根是-2.则它的另一个根是____
（4）方程2x2+2x-1=0的两个根为x1和x2，则
____
9、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2-7x-1=0各根的相反数。
10、关于x的方程x2+4x+m=0的两根为x1和x2满足
2，数m的值。
11、函数y=-x2+x-1的图象与x轴的交点个数是（）
A.0个B.1个C.2个D.无法确定
12、函数y=-
+2的顶点坐标是（）
A.（1，2）B.（1，-2）C.（-1，2）D.（-1，-2）
13、已知二次函数的图象经过与x轴交于点（-1,0）和（2,0）,则该二次函数的解析式可设为y=a_____（a≠0）
14、二次函数y=-x2+2√3x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为____。
15、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式。
（1）已知二次函数的图象经过点A（0,-1）,B（1,0），C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0,1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3,0），（5,0），且与y轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点的距离为4.
16、抛物线y=x2-（m-4）x+2m-3，当m=_____时，图象的顶点在y轴上；当m=____时，图象的顶点在x轴上；当m=___时，图象过原点。
17、用一长度为L米的铁丝围成一个长方形或形，则其中所围成的最大面积为____。
18、设a＞0，当-1≤x≤1时，函数y=-x2-ax+b+1的最小值是-4，最大值是0，求a,b的值。
19、已知函数y=x2+2ax+1在-1≤x≤2上的最大值为4，求a的值。
20、解下列不等式；
（1）2x2+x＜0；
（2）x2-3x-18≤0
（3）-x2+x≥3x+1；（4）x（x+9）＞3（x-3）.
21、已知关于x的不等式mx2-x+m＜0的解是一切实数，求m的取值围。
22、解关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0.
23、、已知不等式
的解是
，求不等式
的解。
24、某种产品的成本是120元∕件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示:
x∕元
130
150
165
y∕件
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？
此时每天的销售利润是多少？
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