立体几何综合大题20道理.docx
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立体几何综合大题20道理
立体几何综合大题（理科）40道及答案
1、四棱锥p
ABCD中，PA丄底面ABCD,PA^3,BCCD2,
ACBACD
（I）求证：
BD丄平面PAC；
（n）若侧棱PC上的点F满足PF7FC,求三棱锥PBDF的体积。
ACD,故BDAC.
PAC内两条相交直线
【答案】
（I）证明：
因为BC=CD即卩BCD为等腰三角形，又ACB
因为PA底面ABCD，所以PABD,从而BD与平面
PA,AC都垂直,
故BD丄平面PAC。
（n）解：
Sbcd
-BC?
CD?
sin
2
BCD丄2
2
2sin23
43.
由PA底面ABCD知VPbdc
SBCDPA
-432432.
3
由PF72得三棱锥FBDC的高为IPA,
故:
Vfbdc3Sbcd8pa3屈8m4
17
VpBDFVpBCDVFBCD2——
44
2、如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，PAD为等腰三角形,
APD90，平面PAD平面ABCD，且AB1,AD2，E,F分别为PC和BD
的中点.
证明：
EFP平面PAD;
（n）
证明：
平面PDC平面PAD;
求四棱锥PABCD的体积.
（rn）
【答案】
（I）证明：
如图，连结AC••••四边形ABCD为矩形且F是BD的中点.•••F也是AC的中点.
又E是PC的中点，EFPAP
•••EF
平面PAD,PA平面
PAD，所以EFP平面PAD;
ABCD
证明：
•••平面PAD
平面ABCD,CDAD,平面PADI平面
AD,
所以平面CD
平面PAD，又
PA平面PAD，所以PACD
又PAPD,PD,CD是相交直线，所以PA面PCD又PA平面PAD，平面PDC平面PAD;
（m）取AD中点为O.连结PO,PAD为等腰直角三角形，所以POAD,
因为面PAD面ABCD且面PADI面ABCDAD,所以，PO面ABCD,即PO为四棱锥PABCD的高.
由AD2得PO1.又AB1.
12
•••四棱锥PABCD的体积V-POABAD-
33
考点：
空间中线面的位置关系、空间几何体的体积
3、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD,CDPA,DB平分ADC,
E为PC的中点，DAC45°,AC72.
B
（I）证明：
PA//平面BDE;
（n）若PD2,BD2^2,求四棱锥EABCD的体积
【答案】（I）设ACBDF，连接EF,
PD平面ABCD,
CD
平面ABCD,PDCD
又CDPA,PD
PA
P,PD,PA平面PAD
CD平面PAD,
AD
平面PADCDAD
DAC45,.•.DADC,
•••DB平分ADC,F为AC中点,
E为PC中点,
•••EF为CPA的中位线.
•••EF//PA,EF平面BDE,PA
平面BDE
二PA//平面BDE.
（n）底面四边形ABCD的面积记为
S；
SSadcSabc2“2
点E为线段PC的中点,
11
22
VeABCD-S—PD
32
考点：
1.线面平行的证明;
2.空间几何体的体积计算.
4、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，其中PAPDAD2,
BAD60,Q为AD的中点.
⑴求证:
AD
平面PQB；
（2）若平面积.
PAD
平面ABCD,且M为PC的中点，求四棱锥MABCD的体
【答案】
（1）QPA
PD，Q为中点，ADPQ
连DB，在
ADB中，ADAB,BAD60
ABD为等边三角形，Q为AD的中点,
ADBQ,
PQBQQ,PQ平面PQB,BQ平面PQB,
AD平面PQB.
（2）连接QC,作MHQC于H•
C
QPQAD,PQ
平面PAD,
平面PAD
平面
ABCDAD,
平面PAD
平面
ABCD
PQ平面ABCD,
QC平面ABCD,
PQQC
PQ//MH.
MH平面ABCD,
又PM2PC，MH
在菱形ABCD中，BD
2,
1
Sabd2ABAD
sin60
电去,
2
S菱形ABCD
2SABD
2>/3.
VMABCD3S菱形ABCD
MH
ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，
5、如图，E是矩形
2
ABAE
AD4，现将ABE沿BE边折至PBE位置，且平面PBE平面
3
BCDE.
⑴求证:
平面PBE平面PEF；
⑵求四棱锥PBEFC的体积.
D
【答案】⑴
证明：
由题可知,
平面ABE平面ABEI
平面BCDE
平面BCDEBE
EF
BE
DEF中
ED
DF
DEF45
ED
DF
AE
AB
ABE中
AEB45
AE
AB
平面PBE
平面PBE
平面PEF
EF
平面PEF
EFBE
EF
Sbefc
SaBCDSABESDEF6
14，则
-S
cSBEFC
3
6已知四棱锥PABCD中,
PD平面ABCD,ABCD是正方形，E是PA的中点,
B
⑴若PDAD，求PC与面AC所成的角
（2）求证：
PC//平面EBD⑶求证：
平面PBCL平面PCD
【答案】
（1）QPD平面ABCD，DC是直线PC在平面ABCD上的射影,
PCD是直线PC和平面ABCD所成的角。
又QPDDA，四边形ABCD是正
方形，DADC,PDDC，
PCD45°;直线PC和平面ABCD所成
的角为45°
（2）连接AC交BD与0,连接E0,
•••E、0分别为PAAC的中点
•E0//PC•••PC平面EBD,E0
平面EBD•PC//平面EBD
（3）vPD平面ABCD,BC平面ABCD-PDBC,•••ABCD^正方形•••BCCD•••PDACD=D,PDCD平面PCD•••BC平面PCD
又•••BC平面PBC
•••平面PBC平面PCD
7、在边长为4cm的正方形ABCD中,别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、的点记为B，构成一个三棱锥.
E、F分别为BC、CD的中点，M、N分
EF折叠，使BC、D三点重合，重合后
（1）请判断MN与平面
的位置关系，并给出证明;
AEF
（2）证明AB平面BEF;
（3）求四棱锥EAFNM的体积.
【答案】
（1）MN平行平面AEF
B、C
证明：
由题意可知点M、N在折叠前后都分别是AB、CF的中点（折叠后两点重合）
所以MN平行AF
MN面AEF
因为AF面AEF，所以MN平行平面AEF.
MN平行AF
（2）证明：
由题意可知ABBE的关系在折叠前后都没有改变.
因为在折叠前AD
DF
AB
BF
AB
BE
AB
BF
因为
BE
面BEF，
所以
BF
面BEF
BE
BF=B
（3）
VEAFNMVEABF
Ve
AB
MBN
由于折叠后AD与AB重合，点D与F重合，
平面BEF
VABEF
Vm
BEN
所以
1
—SBEFAB
3
1S
SBEN
3
312
MA丄平面ABCD,
AD=PD=2MA.
PD//
8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，
MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且
⑴求证：
平面EFG丄平面PDC;
⑵求三棱锥P—MAB与四棱锥P—ABCD的体积之比.
【答案】⑴证明：
•••MA平面ABCD,PD//MA,
•••PD平面ABCD,又BC平面ABCD,•PDBC,•••ABCD为正方形，•BCDC.
•••PDIDC=D，二BC平面PDC.
在PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点,•••GF//BC,•GF平面PDC.
又GF平面EFG，•平面EFG平面PDC.
（2）不妨设MA=1,•••ABCD为正方形，•••PD=AD=2,又•••PD平面ABCD,所以Vp—abcd=1S正方形ABCDPD=8
33
由于DA平面MAB,且PD//MA,所以DA即为点P到平面MAB的距离,三棱锥Vp—MAB二3X112X2二|.
所以Vp—mAB:
Vp-ABCD-4.
9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
ABC90,SA面ABCD,SAABBC1,AD1
2
⑴求四棱锥S-ABCD勺体积;
⑵求证：
面SAB面SBC
⑶求SC与底面ABCD所成角的正切值。
【答案】
（1）
解:
1（ADBC）AB
SA-（-1）1162
（2）证明:
SA面ABCD，BC面ABCD,
SABC
又ABBC，
SAABA,BC
面SAB
BC面SAB
面SAB面SBC
（3）解：
连结
AC,则SCA就是SC与底面ABCD所成的角。
在三角形SCA中,
SA=1,AC=121272,
丄返
422
SA
tanSCA—
AC
10.如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底
面ABCD，AD72，DCSD2，点M在侧棱SC上,
/ABM=60。
（I）证明：
M是侧棱SC的中点;
求二面角SAMB的大小。
【答案】分别以DADCDS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz,
贝UA（V2,O,O）,B（V22O）,C（O,O,2）,S（O,O,2）。
z
—'——2
（I）设SMMC，贝UM（O,,
11
2T_22
—）,MB血厂厂）
又AB（0,2,0）,MB,AB60o
故MB?
AB|MB||AB|cos60o，即
4）2222
1—申（—）（—），解得
所以M是侧棱sc的中点。
（n）由（I）得m（o,i,i）,MA（72,1,
1），又AS（72,0,2）,AB（0,2,0）,
设ni（Xi,yi,Zi）,门2（X2,y2,Z2）分别是平面SAM、MAB的法向量，则
nr?
MA
0厂
^?
mA
0口
且
，即
n1?
AS
0
n7?
AB
0
分别令X1
X2
近得Z1
1,y1
i,y20,z22，即
72x1y1Z1
V2x12z10
0且J2x2yZ20
2y20
ni（72,1,1）,门2
（V2,O,2）,
…cosnrm
202
2J6
二面角SAM
B的大小
arccos—。
3
11、如图，直三棱柱
平面BCC（I）证明：
ABAC
（n）设二面角
ABCAiBiCi中，AB丄AC；DE分别为AA、BC的中点，DEI
面BCD所成的角的大小
【答案】（I）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角
坐标系A—xyz。
4u
设B（1,0,0），C（0,b，0），D（0,0,c），则Bi（1,0,2C），E（3，2
4K
DEBC
于是DE=（-,b,0）,BC=（-1,b,0）.由DE丄平面BCG知DE丄BC
22
=0,求得b=1,所以AB=ACo
（n）设平面BCD的法向量
AN
（x,y,z）,则ANBC0,ANBD0.
又BC=（-1,1,0）,
BD=（-1,0,c）,故
y
cz
令x=1,贝uy=1,z=-,AN=（1,1,c
-）。
c
又平面ABD的法向量AC=
（0,1,0）
由二面角ABDC为60°
知，（AN,AC）=60°
故ANAC
ANAC
cos60
求得c-—
J2
于是AN（1,1,2）
CB1
ANCB1
ANCB
AN,CB1）
60
所以BQ与平面BCD所成的角为30°
值.
【答案】（I）证明：
连接DP,CQ,在ABE中，P,Q分别是AE,AB的中点,
11
所以PQ//丄BE,又DC//-BE，所以
22
PQ//DC，又PQ平面ACD,DC平
面ACD所以PQ//平面ACD
（n）在ABC中,
ACBC
2,AQ
BQ，所以CQAB
而DC平面ABC
EB//DC,
所以EB
平面ABC
而EB平面ABE
所以平面
ABE平面ABC所以CQ平面ABE
由（I）知四边形
DCQPI平行四边形，所以DP//CQ
所以DP平面ABE所以直线AD在平面ABE内的射影是AP,
所以直线AD与平面ABE所成角是DAP
在RtAPD
ADVac2DC2J221245
DPCQ2sin
CAQ
所以sinDAP
DP
AD
13、
如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，
PD
底面ABCD，点E在棱PB上.（I）求证：
平面
AEC
平面PDB;
（n）当PD血AB且E为PB的
中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
C
【答案】（I）T四边形ABCD是正方形，•••AC丄BD
■/PD底面ABCD，
•••PD丄AC，•••AC!
平面PDB
•••平面AEC平面PDB.
（n）设ACnBDzO,连接OE
由（I）知AC!
平面PDB于O,•/AEC为AE与平面PDB所的角,•••O,E分别为DBPB的中点,
1
•••OE/PDOE—PD，又•••PD底面ABCD,
2
•••OEL底面ABCDOE!
AQ
ZbAO,
2
1
在Rt△AOE中,OE—PD
2
•AOE45，即AE与平面
PDB所成的角的大小为45.
14、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,PAAD4,AB2.以BD的中点0为球心、BD为直径的球面交PD于点M.
（1）
求证：
平面ABM丄平面PCD；
（2）
求直线PC与平面ABM所成的角;
求点0到平面ABM的距离.
D
【答案】
（1）证：
依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM丄PD
因为PA丄平面ABCD，贝Upa丄AB，又AB丄AD,
所以AB丄平面Pad，则AB丄PD,因此有PD丄平面ABM，所以平面A
BM丄平面PCD.
（2）设平面ABM与pc交于点N,则AB/MN/CD,
因为AB//CD,所以AB//平面PCD,
由
（1）知，PD丄平面ABM，则
MN是PN在平面ABMh的射影,
所以PNM就是PC与平面ABM
所成的角,
且PNMPCD
tanPNMtanPCD2^2
DC
所求角为arctan2血
（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM勺距离等于D点到平面ABM距离的」半，由
（1）知，PD丄平面ABM于M则|DM就是D点到平面ABM®离.
因为在Rt△PAD中,PAAD4,PDAM，所以M为PD中点，DM242,
则o点到平面ABM的距离等于720
15、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△
EF平面BCE;
（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，
ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF
平面BCE
（III）求二面角FBDA的大小。
【答案】（I）因为平面ABE吐平面ABCDBC平面ABCDBCIAB,平面ABEFn平面ABCDAB
所以BC丄平面ABEF所以BC丄EF因为/ABE为等腰直角三角形，ABAE,
所以/AE&45°,
又因为/AEF=45,
所以/FEB=90°,即卩EF丄BE
因为BC平面ABCDBE平面BCE
BCnBE=B
所以EF平面BCE
（II）取BE的中点M连结CMMN则mN丄abQpc2
.PMN（为平行四边形，所以PM/CM-CM在平面BCE内，PM不在平面BCE内,
PM//平面BCE
（III）由EA^AB平面ABE吐平面ABCD易知EA丄平面ABCD
作FG丄AB交BA的延长线于G则FG//EA从而FG丄平面ABCD
作GHLBD于H,连结FH则由三垂线定理知
BD丄FH
/FHG为二面角F-BDA的平面角.
-FA=FE/AEF=45°,
/AEF=90°,/FAG：
45°.
FAG
设AB=1,则AE=1,AF=¥,则FGAFsin
在Rt/BGh中,/GBH45°,BG=ABfA（=1+-2=3,
GHBGsinGBH
3罷
~4~
在Rt/FGH中,tan
FHGGH
•••二面角FBD
A的大小为
arctan亚
3
16、如图，四棱锥
SABCD的底面是正方形，SDI平面
SD上的点，且DE=
a（0<三1）.
（I）求证:
对任意的
（0、
1）,都有ACIBE
ABCDSD=AD=a,点E是
%
rIV
c
A
（n）若二面角GAED的大小为6O0C,求的值。
【答案】（I）证发1连接
BD由底面是正方形可得ACBD
SD平面ABCD,
BD是BE在平面ABCDh的射影,
由三垂线定理得ACBE
（II）SD平面ABCDCD
平面ABCD,SD
CD
又底面ABCD是正方形,
CDAD,又SD
AD=D,
CD平面SAD
5
■WN■■■壬
B
即J323=3
CFAE
过点D在平面SAD内做DFAE于F,连接CF,则
故CFD是二面角GAED的平面角，即CF[=60°
在Rt△ADE中,AD=a,DE=a,AE=a厂2
于是，-誉了乞
在Rt△CDF中，由cot60°=匹
CD
得严
（0,1],
解得
17、如图3，在正三棱柱ABCABjG中，AB=4,
AA命，点D是BC的中点，点E在AC上，且DEA
E.（I）证明：
平面a1de平面ACGA;
（n）
求直线AD和平面ADE所成角的正弦值。
【答案】（I）如图所示，由正三棱柱ABCABQ的性质知AAi平面ABC.
又de平面ABC所以deAA1.而deA1E,
AA,IAEa，
所以de丄平面ACC*.又de平面ADE,
故平面ADE丄平面ACCjA.
（n）过点A作AF垂直AE于点F,
连接DF由（I）知，平面AiDE丄平面ACCiAi,
所以AF平面ADE,故ADF是直线AD和
平面ADE所成的角。
因为deACCjA,
所以deAC.而ABC是边长为4的正三角形,
于是AD=273,AE=4-CE=4-2CD=3.
又因为AA打，所以AiE=AiE眉
（佈32=4,
AF墮,sinADF竺
AE4ad
即直线Ad和平面ADE所成角的正弦值为習
18、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△
abe是等腰直角三角形，abae,fafe,aef
（I）求证：
EF平面BCE;
（II）设线段CD、
AE的中点分别为P、M,
求证：
PM
//平面BCE
（III）求二面角F
BDa的大小。
【答案】
（I）因为平面ABEFL平面ABCpBC平面ABCpBCIAB,
abcdab
平面ABEF?
平面
所以BC丄平面ABEF所以BC丄EF
因为/ABE为等腰直角三角形，ABAE,
所以/AE&45°,
又因为/AEF=45,
所以/FEB=90°,即卩EF丄BE
因为BC平面ABCDBE平面BCE
BCnBE=B
所以EF平面BCE
（II）取BE的中点N连结CNMN则mN-abX|pc
2
.PMN（为平行四边形，所以PM/CN-CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内,
PM//平面BCE
（III）由EAIAB平面ABE吐平面ABCD易知EA丄平面ABCD
作FG丄AB交BA的延长线于G则FG//EA从而FG丄平面ABCD
作GHLBD于H,连结FH则由三垂线定理知BD丄FH
/FHG为二面角F-BDA的平面角.
/FAG：
45°.
sinFAG1
2
•••FA=FE,/AEF=45°,/AEF=90°,
设AB=1,则AE=1,AF=¥,则FGAF在Rt/BGh中,/GBH45°,BG=ABfAG=1+-=3,
22
GHBGsinGBH3—
224
fg卷
在Rt/FGH中,tanFHG一J,
GH3
面角FBDA的大小为arctan专
19、如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，BAD-,CDAD2，
2
四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD，
FC3,ED77.求:
（I）直线AB到平面EFCD的距离;
（n）二面角FADE的平面角的正切值.
题（18）图
【答案】（I）
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