概率论与数理统计习题解答.docx
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概率论与数理统计习题解答
《概率论与数量统计》第一章习题解答
1、写出下列随机试验的样本空间：
（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解：
（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0,1,2,……，100n。
故随机试验的样本空间S={i/n|i=0,1,2,……,100n}。
（2）随机试验白^样本空间S={10,11,12•,••…}。
（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验
的样本空间S={00,0100,0101,0110,0111,100,1010,1011,1100,1101,1110,1111}。
（4）随机试验白样本空间S={（x,y）|x2+y2<1}。
2、设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件：
（1）A发生，B与C都不发生。
（2）A与B都发生，而C不发生。
（3）A,B,C中至少有一个发生。
（4）A,B,C都发生。
（5）A,B,C都不发生。
（6）A,B,C中不多于一个发生。
（7）A,B,C中不多于两个发生。
（8）A,B,C中至少有两个发生。
解：
（1）Abc⑵ABC⑶AUBUC（4）ABC
（5）ABC（6）abcUAbcUaBcUabC
（7）S-ABC（8）ABCUABCUAbCUaBC
3、
（1）设A,B,C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4,P（AB）=P（BC）=0,P（AC）=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。
（2）已知P（A）=1/2,P（B）=1/3,P（C）=1/5,P（AB）=1/10,P（AC）=1/15,P（BC）=1/20,P（ABC）=1/30，求AUB,在后，AUBUC,abc,ABC,ABuc的概率。
（3）已知P（A）=1/2,（i）若A,B互不相容，求P（Ab）,（ii）若
P（AB）=1/8,求P（Ab）o
解：
（1）因为P（AB）=0,所以P（ABC）=0。
故P（AUBUC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3/4-1/8=5/8。
（2）P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=1/2+1/3-1/10=11/15,
P（AB）=1-P（AUB）=4/15,
=P
AUBUC
+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+
1/30=51/60,
P（ABC）=1-P（AUBUC）=3/20,
P（AbC）=P（AB）-P（ABC）=7/60,
P（ABUC）=P（Ab）+P（C）-P（abC）=4/15+1/5-7/60=7/20。
（3）⑴因为A,B互不相容，所以AB=O）,P（AB）=0。
故P（Ab）
=P（A）-P（AB）=1/2。
（ii）P（Ab）=P（A）-P（AB）=1/2-1/8=3/8。
4、设A,B为两个事件。
（1）已知AB=AB,验证A=B。
（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）+P（B）-2P（AB）。
证明：
（1）A=A（BUB）=ABUAb=ABUaB=（AUa）B=B。
（2）因为AbaB=①，所以P（AbUaB）=P（Ab）+P（aB）-P（AbaB）=P（Ab）+P（AB）=P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）
=P（A）+P（B）-2P（AB）。
5、10片药片中有5片是安慰剂。
（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率。
（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。
解：
（1）p=1-c；/C150-c5c：
/C150。
（2）p=A；/解。
6、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。
（1）求最小号码为5的概率。
（2）求最大号码为5的概率。
解：
（1）从10人中任选3人的选法有C；。
种。
要求最小号码为5,即有一个人的号码是5,其他两人的号码都在6到10之间。
故共有C；种不同的选法。
故最小号码为5的概率p=C；/C130。
（2）同理最大号码为5的概率p=C2/CM。
7、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶,在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？
解：
p=C：
c3C3/喟。
8、在1500件产品中有400件次品、1100件正品。
任取200件。
（1）求恰有90件次品的概率。
（2）求至少有2件次品的概率。
解：
90110200
（1）I9990I十口口口J/睡一|^p=C400C1100/C1500O
/Q\左/b右2侔次R的木町宓n-1/020*******
（2），但21+口口口"饶—p_l"C1100/C1500-C400c1100/C15000
9、从5双不同的鞋子中任取4只。
问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
解：
设A为事件”这4只鞋子中没有配成一双”，则事件“这4只鞋子中至少有两只配成一双”是其。
从10只鞋子中任取4只有4种取法，事件A的取法可以有10（第一只的取法）X8（第二只的取法，和第一只一双的那一只也不能取了）X6（第三只的取法）X4（第一只的取法）。
故P（A）=16尺/簿。
P（A）=1-P（A）=1-16a57a；0o
1R在11张卡片上分别写上probabiHty这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。
解：
从11个字母中选取7个字母有a7i种选法。
由于b和i各有两个，故排列ability共有4种不同的选法。
因此排列结果为ability的概率p=4/A71。
11、将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为
1,2,3的概率。
解：
杯子中球的最大个数为1的概率p=A3/43。
杯子中球的最大个数为2的概率p=1--A：
/43-A：
/43。
杯子中球的最大个数为3的概率p=A：
/43。
12、50只钟钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只钟钉强度太弱。
每个部件用3只钟钉。
若将3只强度太弱的钟钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱。
问发生一个部件强度太弱的概率是多少？
解:
一个部件强度太弱的事件相当于从50只钟钉中随机地选出的3只
钟钉恰好都是强度太弱的且装在了同一个部件上。
故P=C；0/C5。
P=C；0C27/C；0
3030
C50
1&一个俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生,
2名四年级学生。
（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。
（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。
解：
（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概^=c5c2c；c2c8/cA
（2）设事件A为“一年级有2名学生，其他年级各有一名"，事件B为“二年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件C为“三年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件D为“四年级有2名学生，其他年级各有一名”，。
则A,B,C,D两两不相容，且P（A）=C；c2c；c2/Ci"
D（R、一「1c2「1c1/c5D（—「1c1「2c1/c5D（、一「1c1「2c2/c5
P\B7=C5c2c3c2/C12）P（C）=C5c2c3C2/C12>P（D）=C5c2c3C2/C12）
所以在其中任选5名学生，一、二、三、四年级的学生均包含在内的概
^=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=240/C152o
14
（1）已知P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（AB）=0.5,求条件概率P（B|AUB）o
（2）已知P（A）=1/4,P（B|A）=1/3,P（A|B）=1/2，求P（AUB）。
解：
（1）因为P（B|AUB）=P（B（AUB））/P（AUB）,P（AUB）=P（A）+P（B）-P（Ab）=1-P（a）+1-P（B）-0.5=0.8,P（B（AUb））=P（AB）=P（A）-P（Ab）=0.7-0.5=0.2,所以P（B|AUB）=0.25。
（2）因为P（B|A）=P（AB）/P（A）,所以P（AB）=1/12。
又因为P（A|B）=P（AB）/P（B）,所以P（B）=1/6。
故P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=1/3。
15掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的
概率（用两种方法）。
1&据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：
P｛孩子得病｝=0.6,P｛母亲得病|孩子得病｝=0.5,
P｛父亲得病|母亲及孩子得病｝=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：
设事件A为“孩子得病”，事件B为“母亲得病”，事件C为“父亲得病”，则要求的概率为P（ABC）。
由已知，P（A）=0.6,P（B|A）=0.5,P（C|AB）=0.4,所以P（AB
C）=P（AB）P（C|AB）=P（A）P（B|A）[1-P（C|AB）]=0.6X0.5X0.6=0.1&
17、已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，
作不放回抽样。
求下列事件的概率。
（1）两件都是正品。
（2）两件都是次品。
（3）一件是正品，一件是次品。
（4）第二次取出的是次品。
解：
设事件A为“第一件是正品”，事件B为“第二件是正品”，则
（1）两件都是正品的概率P（AB）=C；/C!
0（或=P（A）P（B|A）=4/5X7/9）。
（2）两件都是次品的概率P（AB）=C；/C1：
（或=P（A）P（B|A）=1/5x1/9）。
（3）一件是正品，一件是次品的概率P（AbUaB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/5X2/9+1/5X8/9。
（4）第二次取出的是次品的概率P（B）=P（Ab）+P（ab）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/5X2/9+1/5X1/9。
1&某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。
若已知最后一个数字是奇数，则此概率是多少？
解：
设A表示事件“第一次拨通所需电话”，B表示事件“第二次拨通所需电话”，C表示事件“第三次拨通所需电话”，D表示事件“拨号不超过三次接通所需电话"。
则D=AUaBUABC,所以P（D）=P（A）
+P（
AB）+P（ABC）=P（A）+P（A）P（B|A）+P（AB）P（C|AB）=P（A）+P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）P（C|AB）=1/10+9/10X1/9+9/10x8/9x1/8。
当已知最后一个数字是奇数时，则P（D）=1/5+4/5X1/4+4/5X3/4X1/3。
1H
（1）设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球。
今从甲袋中任意取一只球放入袋中，再从乙袋中任意取一只球。
问取到白球的概率是多少？
（2）第一只盒子装有4只白球、5只红球；第二只盒子装有5只白球、
4只红球。
先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中，然后从第二个盒子中任取一只球。
求取到白球的概率。
解:
（1）设A表示事件“从甲袋中取到的是红球”，B表示事件“从乙袋中取到的是白球”。
则P（B）=P（AB）+P（AB）=+P（ABC）=P（A）
P（B|A）+P（A）P（B|A）=m/（m+n）xN/（M+N+1）+n/（m+n）乂（N+1）/（M+N+1）。
（2）设A表示事件”从第一个盒子中取到0个红球”，B表示事件“从
第一个盒子中取到1个红球”，C表示事件”从第一个盒子中取到2个红球”，D表示事件“从第二个盒子中取到白球”。
则P（D）=P（AD）+P（BD）+P（CD）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P
（D|C）
—p22xZ1112xZ122x「11
=C4/C9KC7/C11+C4C5/C9KC6/C11+C5/C9KC5,C11°
2R某种产品白商标是“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。
解:
设A1,A2,A3,A4,A5分别为事件“脱落M、M”，“脱落A、A”，“脱落M、A”，“脱落M、X”，“脱落A、X”，。
D为事件“放回后仍为MAXAM因为P（AD=P（A2）=C；/C；,P（A3）=C；C2/C；,P（A4）=c；c；/c；,P（A5）=C；C2/C1,P（D|A1）=P（D|A2）=1,P5
（D|A3）=P（D|A/=P（D|A5）=1/2,所以P（D）=P（D|Ak）P（Ak）°k1
21、已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：
设A表示事件“选出的是男性”，H表示事件“选出的人是色盲患者”。
则已知条件P（A）=1/2,P（入）=1/2,P（H|A）=0.05,P（H|A）=0.0025。
由贝叶期公式可得P（A|H）=P（H|A）P（A）/[P（H|A）P（A）+P（H|A）P（A）]。
22、一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为p,若
第一次及格则第二次及格的概率也为p;若第一次不及格则第二次及格
的概率为p/2。
11）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。
（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。
解：
设事件A表示“第1次考试及格”，事件B表示“第2次考试及格”，事件C表示“他能取得某种资格”。
由已知条件可知，P（A）=p,P（B|A）=p,P（B|A）=p/2。
（1）因为C=AUAB,所以P（C）=P（A）+P（AB）=P（A）+P（a）P（B|A）=p+（1-p）p/2。
（2）P（A|B）=P（AB）/P（B）=P（B|A）P（A）/[P（B|A）P（A）+
P（B|A）P（A）]=p2/[p2+（1-p）p/2]=2p/（p+1）。
23将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率是0.02,而B被误U^作A的概率是0.01。
信息A与信息B传送的频繁程度为2:
1。
若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？
解：
设A表示事件“将信息A传送出去产”，B表示事件“接收站收到的信息是A”。
则由已知，P（A）=2/3,P（B|A）=0.02,P（B|A）=0.01。
则P（A|B）
=P（AB）/P（B）=P（A）P（B|A）/[P（A）P（B|A）+P（a）P（B|a）]=2/3X0.98/[2/3X0.98+1/3X0.01]。
24有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。
今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。
求
（1）第一次取到的零件是一等品的概率。
（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解以H表示事件“从第一箱中取零件”，则月表示事件”从第二箱中取零件二由已知条件尸（H）=p（H）=1/2.又以从表示事件”第，,次从箱中（不放回抽样）取得的是一等品，,3=1,2.
（1）由条件F（AjH）=1/5,PtAjH）=3/5,故P（At）=P（AjH）P（H）+P（Aj月）P（后）
=1/10+3/10=2/5,
②箫要求的是P（A31A）.因P（A21Al）
P（AJ
，而
P（AiAz>=P（AxA2\h）P（H）十P（AyA2\h）P（H）
由条件概率的含义，P（A]An|H）表示在第一箱中取两次，每次取一只产品，作不放回抽样，且两次都取得一等品的概率,因第一箱共有50只产品，其中有1。
只一等品.故有p（AiA/H）=4x言同理,P（AA|无）=修乂羔故有
P（AtAa）
P（AJ
=p（^i）EP（A1A21H）P（J+F（A1A2|H>P（H）]
2&病树的主人外出。
委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概
率是0.8。
若浇水则树死去的概率是0.1S有0.9的把握确定邻居会记得浇水。
（1）求主人回来树还活着的概率。
（2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。
27、设本题涉及的事彳^均有意义。
没A,B都是事件。
（1）已知P（A）>0,证明P（AB|A）三P（AB|AUB）。
（2）若P（A|B）=1,证明P（B|A）=1。
（3）若设C也是事件，且有P（A|C）三P（B|C）,P（A|C）三P（B|C）,证明P（A）三P（B）。
2&有两种花籽，发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗，设各花籽是
否发芽相互独立。
求
（1）这两颗花籽都能发芽的概率。
（2）至少有一颗能发芽的概率。
（3）恰有一颗能发芽的概率。
2a根据报道美国人血型的分布近似地为：
A型为37%,O型为44%,
B型为13%,AB型06%。
夫妻拥有的血型是相互独立的。
（4）B型的人只有输入B、O两种血型才安全。
若妻为B型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血者的概率。
（2）随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率。
（3）随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型的概率。
（4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是O型的概率。
3R
（1）给出事件A、B的例子，使得（i）P（A|B）（ii）P
（A|B）=P（A）。
（iii）P（A|B）>P（A）。
（2）设事件A,B,C相互独立，证明（i）C与AB相互独立。
（ii）C与AUB相互独立。
（3）设事件A的概率P（A）=0,证明对于任意另一事件B,有A,B相互独立。
（4）证明事件A,B相互独立的充要条件是P（A|B）=P（A|B）。
31、设事件A,B的概率均大于零，说明以下的叙述
（1）必然对。
（2）必然错。
（3）可能对。
并说明理由。
（1）若A与B互不相容，则它们相互独立。
（2）若A与B相互独立，则它们互不相容。
（3）P（A）=P（B）=0.6,且它们互不相容。
（4）P（A）=P（B）=0.6,且它们相互独立。
32、有一种检验艾滋病毒的方法，其结果有概率0.005报导为假阳性（即不带艾滋病毒的人被认为带艾滋病毒）。
今有140名不带艾滋病毒的正常人全部接受此种检验，被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少？
3&盒中有编号为1,2,3,4的4只球，随机地自盒中取一只球，事件A为“取得的是1号或2号球”，事件B为“取得的是1号或3号球”，事件C为“取得的是1号或4号球”。
验证：
P（AB）=P（A）P（B）,P（AC）=P（A）P（C）,P（BC）=P（B）P（C）,但P（ABC）?
P（A）P（B）P（C）,
即事件A,B,C两两独立，但A,B,C不是相互独立的。
35如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。
在C发生时这些开关每一个都应完全，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少》如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少开关并联？
设各开关闭合与否是相互独立的。
3&三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,
1/3,1/4。
问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？
设Ai=｛第i人能破译｝（i=1,2,3）,则
力）
1P（AA2A3）1P（A）P（A2）P（A3）
0.6
中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。
独立地分别在两只盒子中各取一只球。
（1）求至少有一只蓝球的概率。
（2）求有一只蓝球一只白球的概率。
（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。
解以耳记事件“从第f只盒子中取得一只蓝球”,以巴记事件“从第t只盒子中取得一只白球”，£=1.2.由题设在不同盒子中取球是相互独立的.
（1）即需求P（马U玛）.利用对立事件来求较方便，即有
p⑵Ub2）=1-f（瓦TT瓦）=1-p（瓦瓦）
=1-P区）P（瓦）=1-方得=/
（2）即需求事件归iWaU玛Wi的概率，注意到6〉印i是互
不相容的，即H]Wj=0,因而（以/MB,%）=0,故有
P（%/U为印I=P（BiW2）+P（鸟叫）
=P（B1）P（W2）十尸（B^P（巴）
一3乂42216
-7X7+7X763
（3）即需求条件概率力=P（B.W2uB?
WjEiUb2）.因
（%%Uu比，故有
P=PHB1W2u%/MB]u殳）ub2）=P（%W工UB2WO/P（B}u叫）=16/35,
3&袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一枚，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。
问这枚硬币是正品的概率为多少？
【解】设八=｛投掷硬币r次都得到国徽｝
B=｛这只硬币为正品｝
由题知
/、mn
P（B）,P（B）——
mnmn
1
P（A|B）2t，P（A|B）1
P（B|A）
P（AB）
P（A）
则由贝叶斯公式知
P（B）P（A|B）
P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）
ma1
mn12rm
m11n1m2rn
mn'2rmn，
3a设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共
有三种：
损坏2%（这一事件记为A）,损坏10%（事件B）,损坏90%
（事件C）,且知P（A）=0.8,P（B）=0.15,P（C）=0.05。
现在从已
被运输的物品中随机地取3件,发现这3件都是好的（这一事件记为D）。
试求P（A|D）,P（B|D）,P（C|D）（这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率）。
解在被运输的物品中,随机取3件，相当于在物品中抽取3次，每次取一件，作不放回抽样.又根据题中说明抽取一件后，不影响取后一件是否为好品的概率，已知当A1发生时，一件产品是好品的概率为1-2%=0.98,从而随机取3件，它们都是好品的概率为U.99，即
=0,兜3,同样
P（B\A2）=O.9\P（B|A3）=0.13,又知
F（4）=0.8,P（A2）=0.15,P（A3）=0.05.
现在A6二0,£#人心j=1,2,3,且尸（A】UA之UA3）=F（A1+P（A/+F（A1=1,由教材23页的附注知道此时全概奉公式、贝叶斯公式都能够应用，由贝叶斯公式得到
P（A/b）
p（bMi〉p（aj
~P（B\Al）P（A~）+pCb\A2）P（A2）+P（B|A3）P（Aj
=蹴"。
皿
门％归）=脸*0.1268,P（AJb）="温°$=O.OOOL.
40将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a,而
输出为其他一字母的概率都是（1-a）/2。
今将字母串AAAA,BBBB,
CCCC之一输入信道，输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p,q,
r（p+q+r=1）,已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的概率是多少？
（设信道传输各个字母的工作是相互独立的）
解以A】、Bi、Cl分别表示事件“输入AAAA，"输入
BBBB”「输入（XCC”，以D表示事件“输出ABCA”.
B],C]两两互不相容，且有
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