公路匝道坐标的复化辛普森公式及应用FX5800.docx

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公路匝道坐标的复化辛普森公式及应用FX5800

公路匝道坐标的复化辛普森公式及用FX-4500P计算器编程算坐标

作者：

沙尘文章来源：

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2007-11-14:

22:

20

-

摘要：

本文利用复化辛普森公式导证的计算公路匝道坐标的通用公式。

利用FX-4500P计算器编程计算放样点位坐标。

关键词：

复化辛普森公式公路匝道编程坐标计算

　一、引言

　　匝道是组成高等及公路立交的基本单元，其形式千变万化，就线形而言，也是由直线段、回旋曲线段、圆曲线段组成。

但是，组成立交的匝道涉及线形的曲率变化特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道点位坐标的通用公式。

并利用卡西欧FX-4500P计算器编程计算公路匝道点位坐标。

　　二、公路匝道点位坐标计算

　　1.公路匝道中线形式

　　公路匝道中线是由直线—回旋曲线—圆曲线（R1）—回旋曲线—圆曲线（R2）—回旋曲线—直线的顺序组成的，其中R1¹R2。

　　2.回旋曲线上点位坐标方位角的计算

　　如图1，设回旋曲线起点A的曲率为rA，其里程为DKA；回旋曲线终点B的曲率为，其里程为DKB，Ax¢y¢为以A为坐标原点，以A点切线为x¢轴的局部坐标系；AXY为线路坐标系。

　　由此回旋曲线上各点曲率半径为Ri和该点离曲线起点的距离ﺎi成反比，故此任意点的曲率为

（

=R

0为常数）

（1）

　　由式

（1）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DKi点的曲率为

（2）

　　当曲线右偏时，

取正；当曲线左偏时

取负。

在图1中有

（3）

　　将式

（2）代入式（3）得

（4）

　　若已知回旋曲线起点A在线路坐标系下切线坐标方位角αA，则里程为Dki点切线坐标方位角为

（5）

　　将式（4）代入式（5）得

（6）

　　对于式（6），当

，

时，

，则

ai=aA，式（6）变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当

，

时，

，

，则式（6）代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。

　　可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式（6）便能计算任意线型点位切线坐标方位角。

　　3、回旋曲线点位坐标计算

　　由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式：

（7）

（8）

　　设回旋曲线起点A在线路坐标系下的坐标为将式（6）替代式（8）中的，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标：

（9）

　　对于式（9）的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。

　　首先将积分区间[DKA，DKi]划分为n等份，步长为H=（DKi-DKA）/n，分点里程DXK=DKA+KH，K=0，1，2，×××，n，记子区间[DXK，DXK+1]的里程为DXK+1/2，则DXK+1/2=（DXK+DXK+1）/2，K=0，1，2，×××，n-1。

　　由此式（9）用复化辛普森公式表示为

　　n-1n-1

　　X=XA+H/6´（cosaA+4∑cosaK+1/2+2∑cosaK+cosai）

　　　K=0k=1

　　n-1n-1

　　Y=YA+H/6´（sinaA+4∑sinaK+1/2+2∑sinaK+sinai）（10）

　　K=0k=1

　　式中：

aA为回旋曲线起点A的切线方位角；aK+1/2为里程DXK+1/2点切线方位角；aK为里程DXK点切线方位角；ai为里程DKi点切方位角。

　　对于式（10），虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。

　　三、复化辛普森公式的使用说明

　　为满足点位坐标计算精度，经验算取n=2。

无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段，只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里

程以及解求点里程Dki和各分点里程代入式

（2）、（6）、（10）便可获得待求点Dki的坐标。

在计算时，要注意曲线的偏向。

　四、公路匝道坐标计算源程序

　　L1Lbl0：

T“X1”U“Y1”C“AT”D“PA”E“PB”A“CH0”B“CHN”G“X0”I“Y0”：

M：

Lbl1：

N=0：

P=0：

O=0：

Q=0：

S=0：

{J}：

J“CHI”

　　L2Lbl2：

N=N+1：

H=2（J-A）/M：

F=NH/2+A：

R=C+180/p´（D+（E-D）/2（B-A）´（F-A））（F-A）：

Int（N/2）=N/2=>O=O+cosR：

P=P+sinR：

¹>Q=Q+cosR：

S=S+sinRD

　　L3N=M=>Goto3：

¹>Goto2DLbl3：

X=G+H/6´（cosC+4Q+2O-cosR：

Y=I+H/6´（sinC+4S+2P-sinR）：

X：

“X=”ùY：

“Y=”ùPol（X-T，Y-U：

VùW<0=>W=W+360ù¹>WùDGoto1

　　X1----测站点X坐标

　　Y1----测站点Y坐标

　　AT----曲线起点方位角

　　PA----曲线起点曲率（当曲线右偏时，ρA取正；当曲线左偏时ρA取负。

）

　　PB----曲线终点曲率（当曲线右偏时，ρB取正；当曲线左偏时ρB取负。

）

　　CH0----曲线起点里程

　　CHN----曲线终点里程

　　X0----曲线起点X坐标

　　Y0----曲线起点Y坐标

　　M----求和累积次数n的2倍

　　CH----曲线待测点里程

　　X----曲线待测点X坐标

　　Y----曲线待测点Y坐标

　　V----测站至待测点间的距离

　　W----测站至待测点间的方位角

　　其中R=C+180/p´（D+（E-D）/2（B-A）´（F-A））（F-A）为

（2）、（6）式的合并式，计算切线坐标方位角；O=O+cosR、P=P+sinR、Q=Q+cosR、S=S+sinR、X=G+H/6´（cosC+4Q+2O-cosR、Y=I+H/6´（sinC+4S+2P-sinR）计算点位坐标。

由于累计时O=O+cosR、P=P+sinR分别多累加了一个cosR、sinR，所以在程序中（10）式最后一项前为负号。

　　五、坐标计算算例

　　利用万家寨水利枢纽工程左岸上坝公路一段曲线验证复化辛普森公式坐标计算程序的正确性。

　　如图2：

0+488.8~0+552.74为直线段，0+552.74~0+577.74及0+693.17~0+718.17为缓和曲线段，缓和曲线长为L0=25M，0+577.74~0+693.17为圆曲线段，R=85M。

　　在计算器中找到该程序，先输入直线段的起算数据，以里程0+488.8为起点，求得0+500.0点的坐标，然后分别以里程0+552.74、0+577.74为起点计算验证缓和曲线及圆曲线上各点的坐标。

　　与分别运用直线段、缓和曲线段、圆曲线段计算坐标的计算公式所计算的结果完全相同。

　　六、结论

　　本文利用的式（10）是计算公路匝道点位坐标的通用公式。

当曲线的设计半径较小时，为保证点位计算精度，n（即程序中M的1/2倍）的取值可适当的大些。

　　利用上例验算的计算结果可以说明该程序对于公路的直线段、缓和曲线段、圆曲线段均实用。

上例在计算圆曲线起点（0+577.74）参数时，可利用计算缓和曲线终点（0+577.74）坐标后，在计算器中提取X、Y的数值即为圆曲线起点坐标值，提取R加360即为圆曲线起点方位角。

且程序中已算出待测点至测站的平距和方位角，可利用全站仪自由设站极坐标法放样，此方法放样速度快，准确率高。

　　参考文献：

　　[1]李孟山，李少元.计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式.测绘通报，2000.

　　[2]卡西欧FX-4500P计算器说明书.在公路的施工图设计阶段和施工阶段，需要多次测设路线中心线。

传统的方法大多采用偏角法或切线支距法。

这些方法都是先放样直缓点（ZH）、缓圆点（HY）、圆缓点（YH）和缓直点（HZ）等曲线要素点以及切线方向，再测设中间各点。

因此，测量速度较慢，并且累计误差较大。

目前，全站仪和计算机已经得到广泛应用，采用极坐标法，直接由导线点或其它控制点测设曲线中心线，既快捷又减少了累计误差。

若使用全球定位系统（GPS）则效果更佳。

因此，必须首先计算出曲线中线的坐标值。

随着高等级公路的发展，公路平面线型组合日益多样化，大致有基本型（直线—回旋线—圆曲线—回旋线—直线）、S型、卵型、凸型、C型、复合型等[1]。

但是它们的基本要素都是圆曲线、回旋线和直线。

因此，我们研究基本型的复曲线，即可举一反三。

一、曲线要素的计算

根据设计参数α、L0、R，复曲线的曲线要素由下列公式计算：

B0=（L0/2R）·180/π

m=L0/2-L03/240R2

（1）

P=L02/24R

T=m+（R+P）tg（α/2）

L=[πR（α-2B0）/180]+2L0

E=（R+P）Sec（α/2）-R

（2）

Q=2T-L

式中：

α——线路转向角；

L0——缓和曲线长度；

R——-圆曲线半径；

m——加设缓和曲线后切线增加值；

P——加设缓和曲线后切线内移值；

B0——缓和曲线角度；

T——切线长；

L——曲线长；

E——外矢距；

q——切曲差。

α、L0、R为设计参数；m、P、B0为

缓和曲线参数；T、L、E、q为曲线要素。

我们设曲线右偏时R和α为正值，反之为负值。

二、中线点的切线坐标计算

1、根据交点（JD）的桩号推求直缓点、缓圆点、曲中点、圆缓点、缓直点的桩号。

有时设计已经给出这些数据。

2、建立切线坐标系，求曲线中线点的切线坐标。

切线坐标系，即以ZH点（或HZ）为原点、以该点切线方向为X1轴的坐标系。

为了使第一缓和曲线和第二缓和曲线具有通式，我们在ZH点和HZ点采用同样的左手坐标系（图1）。

第一缓和曲线第二缓和曲线

X1

X1QZQZ

HYYH

ZHY1HZY1

图1切线坐标系关系图

在缓和曲线段，中线点切线坐标

X1=l-l5/40R2L02+l9/3456R4L04+…

Y1=l3/6RL0-l7/336R3L03+l11/4224R5L05+…（3）

在圆曲线段，中线点切线坐标

X1=Rsin[（l-0.5L0）180/Rπ]+m

Y1=+P（4）

式中l为ZH或HZ至所求点的曲线长。

（3）式是第一缓和曲线和第二缓和曲线的计算通式，仅注意在计算第二缓和曲线时计算的方向相反，R和α的符号也相反。

在通常情况下，（3）式取前两项即可满足精度要求；但是当曲线半径过小时，必须顾及第三项，例如匝道或试车场以及山区公路可能有这种情况。

三、将中线点的切线坐标转换为施工测量坐标系坐标

XX1

A0·P

0

Y1

0Y

图2坐标系转换示意图

一条公路（或工程工地）往往采取统一的施工测量坐标系。

我们必须将曲线中线点的切线坐标X1、Y1，通过平移和旋转转换为施工测量坐标系坐标X、Y。

转换公式如下：

式中：

A0是过ZH点的切线方位角，或HZ点的切线方位角加减180°；X0、Y0为ZH或HZ的施工测量系坐标。

由于前面建立切线坐标系时，采用了统一的左手坐标系，故无论在第一缓和曲线、圆曲线还是第二缓和曲线均用该转换公式。

通常，在编制程序时，首先计算第一缓和曲线和圆曲线，再计算第二缓和曲线。

由于我们统一了坐标系，给出了通式，程序十分简洁。

四、卵型曲线、复合型曲线中线坐标计算

上面的计算适用于大多数线形，如基本型、S型、凸型、C型等曲线。

这些曲线均由圆曲线和完全螺旋线组成。

而卵型曲线（图3）和复合型曲线（图4）由圆曲线和不完全螺旋线组成。

过去，不完全螺旋线在实际工作中较为少见，一般教科书[2]也很少介绍其测设方法。

现在，由于高等级公路的迅速发展，在互通式立交的匝道或现代试车场中时常使用这种线型。

不完全螺旋线中线坐标的计算不能直接利用

（1）、

（2）、（3）、（4）式，必须首先计算ZH（或HZ）点的施工测量系的坐标X0、Y0和ZH（HZ）至A、B点的曲线长L1、L2（图5）。

图3卵形曲线

图4复合型曲线

现将不完全螺旋线中线坐标计算方法介绍如下：

设计给出圆曲线半径R1、R2、缓和曲线长L和A、B两点的施工测量系坐标XA、XB、YA、YB。

（1）计算L1、L2

众所周知[3]，在A、B两点有

L1R1=L2R2（6）

而L2-L1=L（7）

由（6）、（7）两式解出L1、L2。

（2）根据L1、L2、R1、R2按（3）式分别计算出A、B两点的切线坐标系坐标X1A、Y1A、X1B、Y1B。

（3）根据XA、XB、YA、YB、X1A、Y1A、X1B、Y1B按（5）式反算ZH点施工测量系坐标X0、Y0和切线方位角A0。

（4）根据L2、R2按（3）式计算A、B点间中线点的切线坐标。

（5）根据X0、Y0、A0按（5）将切线坐标转换为施工测量系坐标。

图5不完全缓和曲线示意图

五、曲线中线点的直接测设

有了曲线中线点的施工测量系坐标就可以利用导线点或其它控制点直接测设各中线点。

测设方法有以下几种：

1、极坐标法。

根据导线点（或其它控制点）和曲线中线点的坐标计算出这两点间水平距离和坐标方位角，在导线点上用全站仪直接测设曲线中线点的位置。

这是目前最常用的方法。

2、直角坐标法。

将全站仪置于导线点（或其它控制点），后视另一导线点（或其它控制点），并输入测站点坐标和后视点坐标（或方位角）。

测设曲线中线点时，输入该点的坐标值并跟踪移动的反光镜即可直接测设。

早期的全站仪往往缺少这一功能。

具有内置电脑的智能化全站仪，可以存储几百个点的坐标，用这种方法十分便捷。

现在已出现自动跟踪式全站仪，观测员在反光镜一端，主动测设，使用此法更佳。

3、GPS定位仪法。

测设时使用实时动态差分GPS定位仪，主站设在导线点（或其它控制点），副站沿曲线移动，当副站显示坐标等于计算

坐标时即可定出中线点位置。

这种GPS定位仪已有多种型号，只是价格较贵。

但是，这一方法不受“不通视”的影响，全天候工作，而且效率将成倍提高。

因此，它是发展方向。

参考文献：

[1]吴国雄等：

公路平面线型曲线型设计方法人民交通出版社2000年1月

[2]聂让等：

全站仪与高等级公路测量人民交通出版社1997年12月

万能曲线计算程序

一：

万能曲线4800（4850）分段计算程序

Lb11:

{EG}:

A"XA"8B"YA"C"CA"D"1÷RA"E"1÷RB"F"DKA"G"DKB"

Lb12:

{HOR}:

H"DKI"O"DL"R"DR":

H-G>0⇒Goto3⊿（空心三角）8

8P=（E-D）÷Abs（G-F）:

Q=Abs（H-F）:

I=P×Q

J=C＋（I＋2D）×Q×90÷π▲

8M=C＋（I÷8＋2D）×Q×45÷（4π）

8N=C＋（3I÷8＋2D）×Q×135÷（4π）

8U=C＋（5I÷8＋2D）×Q×225÷（4π）

8V=C＋（7I÷8＋2D）×Q×315÷（4π）

8K=C＋（I÷4＋2D）×Q×45÷（2π）

8W=C＋（I÷2＋2D）×Q×45÷π

8Z=C＋（3I÷4＋2D）×Q×135÷（2π）

8﹛T﹜

X=A＋Q÷24×（cosC＋4×（cosM＋cosN＋cosU＋cosV）＋2×（cosK＋cosW＋cosZ）＋cosJ）▲

Y=B＋Q÷24×（sinC＋4×（sinM＋sinN＋sinU＋sinV）＋2×（sinK＋sinW＋sinZ）＋sinJ）▲

U“XL”=X+Ocos（J-（180-T））◢▲

V“YL”=Y+Osin（J-（180-T））◢▲

W“XR”=X+Rcos（J+T）◢▲

Z“YR”=Y+Rsin（J+T）◢▲

8Goto2

Lb83:

A=X:

B=Y:

D=E:

F=G:

C=J:

Goto1

注：

A-曲线元起点A的X坐标、B-曲线元起点A的Y坐标、C-曲线元起点A的切线方位角、F-曲线元起点A的里程、G-曲线元终点B的里程、H-曲线元上待求点I的里程、D-曲线元起点A的曲率、E-曲线元终点B的曲率、XL-左边线点位的X坐标、YL-左边线点位Y的坐标、XR-右边线点位的X坐标、YR-右边线点位的Y坐标、X，Y-中线点位X，Y坐标、O-左边线距中线平距、R-右边线距中线平距

该程序需要输入的数据为：

（1）曲线元起点A的坐标及切线坐标方位角计算器上用“XA、YA、CA”显示；

（2）曲线元起点A和曲线元终点B的曲率，计算器上用1÷RA、1÷RB显示（曲线左偏时取“-”）

（3）曲线元起点A和曲线元终点B的里程，计算器上：

“DKA，KDB”显示；

（4）输入待求点的里程和该点距左右边线的水平距离，计算器上用“DKI、DL、DR”显示；

（5）每计算完一个待求点的中线及边线坐标，程序会让输入下一个点的DKI，DL，DR。

当输入的DKI大于DKB时，程序中显示1÷RB和DKB，此时输入下一个曲线元终点的曲率和里程，（由直线直接到圆曲线或者圆曲线直接到直线，不能连续操作）然后重复步4即可计算下一个曲线元的中线及边线点位坐标。

本程序是采用N=4时的复化辛甫生公式，适用于线路的各种线形，即可按里程增加方向计算，也可按里程减少方向计算，计算时注意偏角的偏向。

（6）T询问是否正交（正交输入90，斜交输入斜交角度，与前进方向的右角）

Z-ZRA、RB=零；Z-HRA=零，RB=圆半径圆-圆RA、RB=圆半径

圆-HRA=圆半径RB=零H-Z圆半径RB=零Z-ZRA、RB=零▲结果显示符号

复曲线任意里程中边桩坐标计算程序（正反算）

关键词：

曲线,坐标                     

  由于工作中要计算任意一点的坐标,所以在网上搜了搜,虽然也找到了一些,但都不尽如人意.所以自己根据找到的资料重新遍了一个,当然,绝大部分还是同网上找到的一样,在此表示感谢.本程序在黔桂线上XX标段隧道施工中计算过直线,圆曲线及缓和曲线,效果非常好,误差均在毫米以下.实际算例在此不再举出.还用VB编了个具有同样功能的Windows友好界面计算程序,直接在电脑上使用,如有需要可免费索取.

一、程序功能

    本程序可以根据曲线段——直线、圆曲线、缓和曲线（完整或非完整型）的线元要素（起点坐标、起点里程、起点切线方位角、止点里程、起点曲率、止点曲率）及里程边距或坐标，对该曲线段范围内（如不在该范围则自动转入下一线元）任意里程中边桩坐标进行正反算。

二、源程序

1.主程序（FQXZB）

Lbl0：

{HR}：

N：

U"XA"：

V"YA"：

O"DKA"：

G"F0"：

H"DKB"：

P"1/RA"：

R"1/RB"：

Q：

D=（R-P）/（2Abs（H-O））：

E=180/π：

N=1=>Goto1：

≠>Goto4Δ←┘

Lbl1：

{SZ}：

S"DKI"：

S>=H=>S=HΔW=Abs（S-O）：

ProgSUB1：

X"XS"=X◢

Y"YS"=Y◢

S=H=>Goto5←┘

Lbl2：

{Z}：

Z：

F=G+QEW（P+WD）+90：

I"XZ"=X+ZcosF◢

J"YZ"=Y+ZsinF◢Goto3

Lbl3：

{C}：

C：

C=0=>Goto1：

≠>Goto2Δ

Lbl4：

{XY}：

XY：

I=X：

J=Y：

ProgSUB2：

S"S"=O+W◢

Z"Z"=Z◢

Goto4

Lbl5：

U=X：

V=Y：

O=H：

G=G+180Q（WD+P）W/π：

P=R

Goto0

2.子程序（SUB1）

A=0.1739274226：

B=0.3260725774：

K=0.0694318442：

L=0.3300094782：

F=1-L：

M=1-K：

C=G+QEMW（P+MWD）：

X=U+W（Acos（G+QEKW（P+KWD））+Bcos（G+QELW（P+LWD））+Bcos（G+QEFW（P+FWD））+AcosC）：

Y=V+W（Asin（G+QEKW（P+KWD））+Bsin（G+QELW（P+LWD））+Bsin（G+QEFW（P+FWD））+AsinC）

3.子程序（SUB2）

T=G-90：

W=Abs（（Y-V）cosT-（X-U）sinT）：

Z=0：

Lbl0：

ProgSUB3：

L=T+QEW（P+WD）：

Z=（J-Y）cosL-（I-X）sinL：

AbsZ<1E-6=>Goto1：

≠>W=W+Z：

Goto0Δ←┘Lbl1：

Z=0：

ProgSUB3：

Z=（J-Y）÷sinF

4.子程序（SUB3）

ProgSUB1：

F=G+QEW（P+WD）+90：

X=X+ZcosF：

Y=Y+ZsinF

三、使用说明

1、规定

（1）以道路中线的前进方向（即里程增大的方向）区分左右；当线元往左偏时，Q=-1；当线元往右偏时，Q=1；当线元为直线时，Q=0。

（2）当所求点位于中线时，Z=0；当位于中线左铡时，Z取负值；当位于中线中线右侧时，Z取正值。

    （3）当线元为直线时，其起点、止点的曲率为0。

    （4）当线元为圆曲线时，无论其起点、止点与什么线元相接，其曲率均等于圆弧的半径的倒数。

    （5）当线元为完整缓和曲线时，起点与直线相接时，曲率为0；与圆曲线相接时，曲率等于圆曲线的半径的倒数。

止点与直线相接时，曲率为0；与圆曲线相接时，曲率等于圆曲线的半径的倒数。

    （6）当线元为非完整缓和曲线时，起点与直线相接时，曲率等于设计规定的值；与圆曲线相接时，曲率等于圆曲线的半径的倒数。

止点与直线相接时，曲率等于设计规定的值；与圆曲线相接时，曲率等于圆曲线的半径的倒数。

2、输入与显示说明

 输入部分：

 N  ?

 选择计算方式，输入1表示进行由里程、边距计算坐标；输入非1值表示由坐标反算里程和边距。

 XA ？

线元起点的X坐标

 YA ？

线元起点的Y坐标

 DKA ？

线元起点里程

 F0 ？

线元起点切线方位角

 DKB ？

线元止点里程

 1/RA？

线元起点曲率

 1/RB？

线元止点曲率

 Q  ？

 线元左右偏标志（左偏Q=-1，右偏Q=1，直线段Q=0）

 DKI ？

正算时所求点的里程

 Z  ？

正算时所求点距中线的边距（左侧取负，值右侧取正值，在中线上取零）

 X  ？

反算时所求点的X坐标

 Y  ？

反算时所求点的Y坐标

 显示部分：

 XS=×××  正算时，计算得出的所求点的X坐标

 YS=×××  正算时，计算得出的所求点的Y坐标

 S=×××  反算时，计算得出的所求点的里程

 Z=×××  反算时，计算得出的所求点的边距