41一元一次方程模型.docx
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41一元一次方程模型
4．1一元一次方程模型
教学目标
1．在具体情景中感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
2．通过观察、归纳一元一次方程的概念。
教学重、难点
重点：
体会方程模型的重要性，了解一元一次方程的概念。
难点：
正确理解方程作为解决实际问题的数学模型的作用。
教学过程
一、创设情境，展现方程是刻画现实生活的有效模型
1．（出示投影1）．
如图是一个长方体形的电视机包装盒，它的底面宽为1米，长为1.2米，且包装盒的表面积为6.8平方米，求这个电视机包装盒的高。
学生活动：
学生分小组讨论．
师生共同分析：
设包装盒的高为x米，用代数式表示这六个长方形面积的和为（2x＋2.4x＋2.4）平方米，而我们已知这个包装盒的表面积为6.8平方米，依题意得：
2x＋2.4x＋2.4＝6.8
2．投影课本P103的插图并提问：
铅笔多少钱1枝?
学生活动：
分析等量关系，尝试列出如问题1一样的式子。
教师活动：
引导学生分析得到：
4x＋（x＋4）＝10－2
3．引入方程概念．
⑴在等式2x＋2.4x＋2.4＝6.8中，2，2.4，6.8叫已知数，字母x表示的数叫未知数。
⑵我们把含有未知数的等式叫作方程，如：
x＋5＝8，x－2y＝6，3x＋2y＝120中，x、y都是未知数，这些等式都是方程。
⑶像问题1和问题2那样，把所要求的量用字母x（或y等）表示，根据问题中的数量关系列出方程，这叫作建立方程模型。
二、议一议，认识一元一次方程
1．展示出上述列出的方程：
2x＋2.4x＋2.4＝6.8；4x＋（x＋4）＝10－2．
2．学生活动：
分组讨论，以上的方程有什么共同特点。
3．组织学生进行全班交流，得出以上方程的特点是：
⑴方程中不含分母或分母中不含未知数；⑵只含有一个未知数；⑶未知数的指数都是1。
4．归纳一元一次方程的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程。
能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解，求方程的解的过程叫作解方程。
5．学生活动：
判断下列各式是不是方程，如果是，指出哪些是一元一次方程?
如果不是，说明为什么?
⑴5x－3＝x＋3，⑵2y2＋3y－1＝0，⑶x＋y＝5，⑷2x＋1，⑸
x＝3，⑹0.3x＋2＝
x
教师组织学生交流，共同评析。
三、做一做，检验一个数是否为方程的解
例：
检验下列各数是不是方程x－3＝2x－8的解?
1．x＝52．x＝－2
师生共同分析：
解：
1．把x＝5代入方程左右两边．
左边＝5－3＝2，右边＝2×5－8＝2
左边＝右边
所以x＝5是方程x－3＝2x－8的解。
2．把x＝－2代入方程左右两边。
左边＝－2－3＝－5，右边＝2×（－2）－8＝－12．
左边≠右边
所以x＝－2不是方程x－3＝2x－8的解。
四、随堂练习
课本P104练习1、2题．
五、小结
师生共同小结本节课学习的内容：
1．实际生活中很多问题可以利用方程来解决。
2．方程，一元一次方程，方程的解等概念。
六、作业
课本P105习题4．1A组第1、2、3题．
补充题：
一、判断下列方程是不是一元一次方程．
1．3x2－2x＝4；2．x＝5；3．
＝2x－1；4．2x＋3y＝0；5．x－3＝
；6．4x＝5y．
二、检验下列各小题括号里数是不是它们前面的方程的解．
1．x＝10－4x（x＝1，x＝2）；2．x（x＋1）＝12（x＝3，x＝－4）。
三、根据题意，列出方程
1．在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问：
我今年45岁，经过几年你们的年龄正好是我年龄的三分之一。
2．某班分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，若要将第一组人数调为第二组人数的一半，应从第一组调多少人到第二组?
4.2解一元一次方程的算法（第1课时）
教学目标
1．在现实的情景中理解等式的性质，并能正确运用等式的性质．
2．运用移项法解一元一次方程．
教学重、难点
重点：
等式的基本性质．
难点：
利用等式性质解方程．
教学过程
一、创设问题情境，引入等式的基本性质
1．（出示投影1）．
⑴
（一）班的学生人数等于
（二）班的学生人数，现在每班增加2名学生，那么
（一）班与
（二）班的学生人数还相等吗?
如果每班减少了3名学生，那么两个班的学生人数还相等吗?
⑵如果甲筐米的重量＝乙筐米的重量，现在把甲、乙两筐的米分别倒出一半，那么甲，乙两筐剩下的米的重量相等吗?
学生活动：
学生讨论得出结论⑴
（一）班与
（二）班无论是每班增加2名学生还是每班减少3个学生，两个班的人数还相等；⑵甲，乙两筐剩下的米的重量相等．
2．师生共同归纳得出等式的基本性质：
（出示投影2）
等式性质1：
等式两边都加上（减去）同一个数（或同一个式），所得结果仍是等式．
等式性质2：
等式两边都乘以（或除以）同一个不为0的数（或同一个不是0的式子），所得结果仍是等式．
用字母表示：
如果a＝b，那么a±c＝b±c，ac＝bc，
（d≠0）．
3．让学生举几个例子说明等式的基本性质．
二、想一想，利用等式性质解一元一次方程
1．（出示投影3）．
（我国古代数学问题）用绳子量井深，把绳子3折来量，井外余绳子4尺；把绳子4折来量，井外余绳子1尺，于是量井人说：
“我知道这口井有多深了”。
你能算出这口井的深度吗?
师生共同分析：
若设井深为x尺，将绳子3折量井，则绳长可表示为3（x＋4）；将绳子4折量井，则绳长表示为4（x＋1），而绳子的长度没有变，所以4（x＋1）＝3（x＋4）即：
4x＋4＝3x＋12如何求出这个方程的解呢？
2．学生活动：
回答以下问题．
⑴从4x＋4＝3x＋12能不能得到4x＋4－3x＝3x＋12－3x呢?
为什么?
⑵从x＋4＝12能不能得到x＋4－4＝12－4呢?
为什么?
3．师生互动，利用等式的基本性质解这个方程．
4．请一位同学到黑板上演示x＝8是否为方程4x＋4＝3x＋12的解。
三、议一议，运用移项法解方程
1．出示上例中根据等式性质1对方程两边的变形．
学生活动：
观察上述变形，你发现什么?
与同伴交流．
学生回答：
这种变形相当于把方程的某一项改变符号后从方程的移到另一边．
教师指出：
这种变形叫移项，强调：
移项要变号，不管从左边移到右或从右边移到左边，只要“移”就得“变”。
2．运用移项法则解方程．
解方程：
⑴2x＝x＋3；⑵3x－1＝40＋2x．
学生活动：
学生尝试运用移项法则解这两个方程．
教师活动：
①在学生解答时注意发现学生可能出现的错误．②指定1名同学学生到黑板演示，然后组织全班同学进行讨论交流．③解完后另请两位同学对这两个方程的解进行检验．
四、随堂练习
课本P109练习第1、2题．
五、小结
师生共同小结本节课内容：
1．等式的两个基本性质．
2．利用等式可以解一元一次方程．
3．运用移项法则解一元一次方程更简便．
六、作业
1．课本P18习题4．2A组第l题．
2．选用课时作业优化设计．
一、判断题．
1．如果x＝y，那么x＋
＝y＋
2．如果a＝b，那么a－
＝b－
3．如果a－7＝b－7，那么a＝b4．如果6x＝10y，那么2x＝5y
5．如果
，那么2x＝3y
二、解下列方程．
1．x－12＝34；2．x－15＝7；3．
x－7＝5；4．
＋2x。
4.2解一元一次方程的算法（第2课时）
教学目标
1.在具体情境中，进一步体会方程是刻画现实世界的重要数学模型。
2．学会形如ax＝b的方程的解法。
教学重、难点
重点：
形如ax＝b的方程的解法。
难点：
方程两边都除以未知数系数时，不要改变符号．
教学过程
一、创设情境，建立方程模型解方程
1．（出示投影1）．
某实验中学举行田径运动会，初一年级甲班和丙班参加的人数的和是乙班参加的人数的3倍，甲班有40人参加，乙班参加的人数比丙班参加的人数少10人，你能算出乙班参加校运会的人数吗?
教师活动：
⑴让学生观察这个问题情境，弄清题意；⑵你能列出方程吗?
学生活动：
独立思考，分析题中的数量关系，列出方程，并与同伴交流．
教师活动：
⑴鼓励学生独立思考，组织学生交流．⑵明晰：
设乙班参加校运会的人数为x，那么，丙班参加的人数就是（x＋10）人，根据“甲班参加的人数＋丙班参加的人数＝乙班参加的人数的3倍”得：
3x＝40＋3x＋10
移项得3x－x＝50即2x＝50．
2．利用等式性质2解这个方程．
教师提问：
从2x＝50能不能得到
＝
呢?
为什么?
学生活动：
学生讨论并交流，解完这个方程，检验这个数值是否为原方程的解。
3．引入一元一次方程的标准形式的概念．
⑴教师指出：
在上例中，通过移项、化简后，方程变成了形如ax＝b（a、b为已知数，且a≠0）的方程，这样的方程叫作一元一次方程的标准形式。
⑵形如ax＝b的方程的解法就是利用等式性质2，方程两边都除以未知数的系数，就得到它的解是x＝
（a≠0）．
二、做一做，解方程
（出示投影2）
解方程：
1．11x－2＝8x－82、
x＝－
x＋3
学生活动：
学生独立完成此题．
说明：
⑴应用移项法则解一元一次方程时，往往把含有未知数的项移到等号左边，不含未知数的项（常数项）移到等号右边．
⑵第二个题可以用不同方法解．如：
先移项或先方程两边同乘以4，再移项．只要学生的解法合理，都予以肯定．
⑶请两名学生口头对两个方程的解进行检验．
三、随堂练习
课本P112练习第1、2题．
四、小结
方程ax＝b（a≠0）的解为x＝
。
五、作业
1．课本P118习题4．2A组第2、3题．
2．补充题：
一、解方程．
1．－2x＋6＝7x；2．
x＋2＝
x；3．4x＝ax－2（a≠4）．
二、解答题．
1．若关于x的方程kx＝6的解是自然数，求k的值．
2．已知x＝
是关于x的方程
x＋a＝1－3ax的解，求a的值．
4.2解一元一次方程的算法（第3课时）
教学目标
1．在具体情景中建立方程模型．
2．能准确应用去括号法则解一元一次方程。
教学重、难点
重点：
熟悉求解一元一次方程的方法．
难点：
正确应用去括号法则．
教学过程
一、创设问题情况，引入课题
1．（出示投影1）．
现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔5.5米栽一棵，则树苗正好用完．你能算出原有树苗的棵数和这段路的长度吗?
学生活动：
独立思考，分析题中的数量关系，列出方程．
教师活动：
师生共同分析，设原有树苗x棵，如果每隔5米栽一棵，则路长为5（x＋21－1）；如果每隔5.5米栽一棵，则路长为5.5（x－1），由于路长相等．所以5（x＋21－1）＝5.5（x－1）即5（x＋20）＝5.5（x－1）
2．怎样解所列的方程．
学生活动：
独立思考尝试解这个方程．
教师活动：
⑴引导学生分析：
解这个带有括号的方程，只要去括号就可以运用移项法则解；⑵回顾去括号法则；⑶提醒学生注意：
用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项．⑷板书解的全过程．
二、师生互动，解方程
1．学生活动：
解方程（
x－5）－（
x－2）＝x．
2．教师活动：
⑴鼓励学生独立完成；⑵组织学生交流评析；⑶提醒学生注意：
括号外面是负号，去括号时要变号，用分配律去括号不要漏乘括号里的项，且不要搞错符号．移项要变号．⑷请同学们用口算检验．
3．解方程－2（x－1）＝4．
⑴让学生独立解这个方程．
⑵鼓励学生用不同的方法解这个问题，组织学生交流各自的方法．
⑶板书：
两种不同的解法．
解法一：
去括号，得－2x＋2＝4
移项，得－2x＝4－2
化简，得－2x＝2
方程两边同除以－2，得x＝－1
解法二：
方程两边同除以－2，得x－1＝－2
移项，得x＝－2＋1
即x＝－1
4．学生活动：
观察上述两种解方程的方法，说出它们的区别，并与同伴交流．
教师让学生自己大胆说出看法，比较这两种解法，发现解法二更简便．
三、随堂练习
课本P115练习第1、2题．
四、小结
本节课还是进一步学习了解一元一次方程的算法，在解题过程中要注意以下几个问题：
（出示投影2）
1．解有括号的方程一般先去括号，再应用移项法则求解．
2．去括号时不要犯漏乘的错误及符号错误．
3．移项要变号．
4．可根据方程形式灵活安排步骤．
五、作业
1．课本P118习题4．2A组第7题．
2．补充题：
一、解方程．
1．5（x＋8）－5＝6（2x－7）；2．40－5（3x－7）＝－4（x＋17）；
3．3（x－7）－2[9－4（2－x）]＝22．
二、解答题．
1．若某数与1的差的2倍比某数与1的和大3，求此数．
2．在公式an＝a1＋（n－1）d中，已知a1＝2，d＝3，an＝20，求n的值．
4.2解一元一次方程的算法（第4课时）
教学目标
1．在具体情境中会用去分母的方法解一元一次方程．
2．掌握解一元一次方程的基本方法，能熟练求解一元一次方程．
教学重、难点
重点：
掌握解一元一次方程的基本方法．
难点：
正确运用去分母、去括号、移项等方法，灵活解一元一次方程．
教学过程
一、创设问题情境，建立方程模型
1．（出示投影1）．
一件工作，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要12天完成，现在甲先单独做1天，接着乙又单独做4天，剩下的工作由甲、乙两人合做，问合做多少天可以完成全部工作任务?
学生活动：
观察问题情境，弄清题意，分析问题中的等量关系．
教师活动：
⑴指定一名学生说出问题中的等量关系；⑵引导学生分析，建立方程模型．
师生共同分析：
⑴题中的等量关系是：
甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝工作总量．⑵设工作总量为1，剩下的工作两人合做需x天完成，则
（x＋1）＋
（x＋4）＝1．
2．提出问题：
如何解方程
（x＋1）＋
（x＋4）＝1?
⑴鼓励学生尝试解这个方程，指定两名学生到黑板演示．
⑵巡视学生，对不同的解法，只要合理，都给予肯定．
⑶给出两种不同的解法．
解法一：
去括号，得
x＋
＋
x＋
＝1
移项，得：
x＋
x＝1－
－
化简，得：
x＝
两边同除以
，得x＝4．
解法二：
去分母，得4（x＋1）＋5（x＋4）＝60
去括号，得4x＋4＋5x＋20＝60
移项，得标准形式：
9x＝36
方程两边同除以9，得x＝4．
⑷引导学生比较两种解法，得出解法二更简便．
明晰：
去分母是根据等式性质2，方程两边同乘以各个分母的最小公倍数．
二、做一做，体验解一元一次方程的步骤
1．学生活动：
解方程：
2．教师活动：
⑴鼓励学生独立解这个方程；⑵引导学生分析：
这个方程含有分母，只要根据等式性质2，方程两边各项同乘以3和4的最小公倍数12，即可把分母去掉．⑶提醒学生注意：
①不要漏乘不含分母的项；②当分子有多项时，去分母后，分子作为一个整体应该加上括号，这时的分数线有双层意义，一方面是除号，另一方面它又代表括号．⑷板书解的全过程，
规范步骤．
解：
去分母，得
4（x－10）＝3（x－6）
去括号，得4x－40＝3x－18
移项，得4x－3x＝－18＋40
化简．得x＝22．
三、想一想，总结解一元一次方程的算法的步骤
1．提出问题：
解一元一次方程有哪些步骤?
2．学生活动：
学生分组讨论交流总结出解一元一次方程一般要通过的步骤。
3．教师归纳：
（出示投影2）
⑴去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数．注意不可漏乘某一项，特别是不含分母的项，分子是代数式要加括号。
⑵去括号——应用分配律、去括号法则，注意不漏乘括号内各项，括号前是“－”号，括号内各项要变号。
⑶移项—一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边。
注意移项要变号。
⑷化简——合并同类项，要注意只是系数相加减，字母及其指数不变．
⑸标准形式的化简——同除以未知数前面的系数，即ax＝b→x＝
4．学生活动：
解方程：
（x＋15）＝
（x－7）．
四、随堂练习
课本P117练习第1、2题．
五、小结
1．解一元一次方程的算法的一般步骤及注意事项．
2．由于方程的形式不同，解方程时可灵活运用步骤．
六、作业
1．课本P118、119习题4．2A组第5，6、8组．
一、解下列方程
1、x－
2、
3、
二、解答题．
已知x＝－2是方程
的解，求k的值．
4.3一元一次方程的应用（第1课时）
教学目标
1．在现实的情景中培养学生具有建立一元一次方程模型，解决问题的基本技能。
2．在具体的情景中列方程解决实际问题．
教学重、难点
重点：
建立方程模型，解决实际问题．
难点：
寻找等量关系。
教学过程
一、创设问题情境，建立方程模型
（出示投影1）
三峡水电站将于2003年实现首批机组发电，到2009年全部机组投产后，年发电量将达到847亿千瓦·时，如果2003年的发电量为120亿千瓦·时，那么三峡水电站平均每年增加多少发电量?
学生活动：
1．通读问题情境，弄清题意．
2．独立思考，分析题中的数量关系．
填空：
2003年的发电量——6年增加的发电量——2009年的发电量．
3．根据等量关系，建立一元一次方程模型．
4．解这个一元一次方程，得出结论与同伴交流．
教师活动：
1．鼓励学生独立思考，组织学生进行交流．2．请一位同学上台板演．3．师生共同订正．
二、做一做
（出示投影2）
小林林说：
“现在我家一年的用电量为860千瓦·时，电价为每千瓦·时0.5元．三峡水电站的电并入全国电力网后，如果我家用电量不变，每年大约可节省电费172元．
根据小林林家的电费变化，你能算出三峡水电站的电并入全国电力网后的电价吗?
1．学生活动：
分析题意，找出问题中的等量关系，并与同伴交流．
2．教师肯定学生的“发现”，问题中的等量关系：
三峡水电站并网前的电费－并网后的电费＝172．
3．引导学生设未知数，建立方程模型．
4．教师板书：
解：
设三峡水电站的电并入全国电力网后电价为每千瓦·时x元，那么电费为860x元，则：
860×0.5－860x＝172
解这个方程，得：
x＝0.3
答：
三峡水电站的电并入全国电力网后电价大约为每千瓦·时0.3元。
三、想一想
1．提出问题：
应用一元一次方程解决实际问题的步骤有哪些?
2．学生活动：
分小组讨论、交流、大胆发表自己的见解．
3．师生共同总结应用一元一次方程解决实际问题的基本步骤是：
设未知数
四、随堂练习
1．课本P121练习．
2．补充练习：
父子两人在同一工厂工作，父亲从家走到工厂需要30分钟，儿子走这段路只需20分钟，父亲比儿子早5分钟动身，问过多少时间儿子能追上父亲?
五、小结
本节课主要学习运用方程解决实际问题的方法，要注意以下几点：
1.要认真审题分析题意，寻找等量关系．
2．灵活设未知数．
3．注意检验、解释方程解的合理性．
六、作业
课本P129习题4．3A组第1、2题．
解答题．
1．某工厂今年5月份产值是638.4万元，比去年同期增长了14％，求这个工厂去年5月份的产值是多少?
2．一架飞机在两城之间航行，风速为24km／h，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求两城距离．
3．一环形跑道长400m，甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550m，乙练习赛跑，平均每分钟跑250m，两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇?
4.3一元一次方程的应用（第2课时）
教学目标
1．在现实的情景中建立方程模型解决问题．
2．在具体的情景中运用方程解决实际问题．
3．了解电信、银行利息等方面的知识．
教学重、难点
重点：
运用方程解决实际问题．
难点：
把握问题中的等量关系，判明解的合理性．
教学过程
一、探索实际问题的数量关系
1．（出示投影1）．
某移动通信公司开设了两种通信业务：
“全球通”，使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神州行”，不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（指市内通话）．（注：
通话不足1分钟按1分钟计费例如，通话4.2分钟按照5分钟计费）．
请问一个月通话多少分钟，两种移动通信费用相同?
学生活动：
分析题意，找出问题中的等量关系．
师生共同分析：
“全球通”一个月话费＝50元月租＋0.4×通话时间
“神州行”一个月话费：
0.6×通话时间，两种费用相同，
即：
50＋0.4×通话时间＝0.6×通话时间．
学生完成下面的解答过程．
2．想一想。
大明估计自己每月通话大约300分钟，小李每月通话大约200分钟，那么他们选择哪一种移动通信通话费才最省呢?
你能帮助他们出个主意吗?
⑴提问：
在上题中，一个月通话______分钟，两种移动通信费用相同?
当通话时间超过______分钟，使用“全球通”比较好；当通话时间少于______分钟，使用“神州行”比较好．
大明和小李分别属于哪一种?
⑵学生活动：
分小组讨论，并将结果与同伴交流．
二、议一议，如何计算储蓄利息
（出示投影2）
某年1年期定期储蓄年利率为1.98％，所得利息要交纳20％的利息税，某储户有一笔1年期定期储蓄，到期纳税后得利息396元，问储户有多少本金?
1．教师指出：
顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息．
利息＝本金×利率×期数。
2．引导学生分析：
设储户有本金x元，那么所得利息为1.98％×1×x，即1.98％x，交纳税金为1.98％x×20％．由此可得方程：
1.98％x－1.98％x×20％＝396．
3．引导学生解这个方程．
三、随堂练习
课本P124练习．
四、小结
本节课主要内容是用方程解决有关话费、银行利息等实际问题．
五、作业
1．课本P129习题4．3A组第3、4题．
补充题．
1，在股票交易中，每买进或卖出一种股票，都必须按成交额的0.2％和0.35％分别缴纳印花税和佣金（通常所说的手续费），老王在1月18日以每股12元的价格买进一种科技类股票3000股，6月26日他高价把这批股票全部卖出，结果获纯利8172.6元，求老王股票卖出的价格为每股多少元?
2．国家规定：
存款利息的纳税办法是：
利息税＝利息×20％，储户取款时由银行代扣代收．若银行一年定期储蓄的年利率为1.98％，某储户到银行领取一年到期的本金和利息时，扣除了利息税198元。
问：
⑴该储户存人的本金是多少元?
⑵该储户实得利息多少元?
3．李明以两种形式储蓄了500元，一种储蓄的年利率是5％，另一种储蓄的年利率是4％，一年后共得利息23元5角，问两种形式的储蓄各存了多少钱?
4.3一元一次方程的应用（第3课时）
教学目标
1．在现实的情景中建立方程模型解决问题．
2．在具体的情景中运用方程解决实际问题．
3．了解如何计算商品利润．
教学重、难点
重点：
运用方程解决实际问题．
难点：
对商品售出价、进货价、利润之间关系的理解．
教学过程
一、建立方程模型，解决实际问题
1．（出示投影1）．
水资源浪费令人担忧，节约用水迫在眉睫．针对居民用水的浪费现象，某市将规定居民用水标准，按规定三口之
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