河大高等数学下册期末考试题及答案.docx
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河大高等数学下册期末考试题及答案
高等数学（下册）考试试卷
（一）
、填空题（每小题3分，共计24分）
1、
z=.Ioga（x2y2）（a0）的定义域为
D=
2、
重积分In（x2y2）dxdy的符号为
|x||y|1
3、由曲线ylnx及直线x
y1所围图形的面积用二重积分表示为
，其值
4、
设曲线L的参数方程表示为
（t）
（t）
（x）,则弧长元素ds
5、
设曲面刀为x2
y29介于
2
3间的部分的外侧，贝U（x
y21）ds
6、
微分方程dy
dx
-tan丄的通解为
xx
7、
方程y⑷4y
0的通解为
级数
的和为
n1n（n1）
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数zf（x,y）在（x°,y°）处可微的充分条件是（
（A）f（x,y）在（x°,y°）处连续;
（B）
fx（x,y），fy（x,y）在（Xo,yo）的某邻域内存在;
（C）
zfx（x0,y。
）x
fy（x0,y。
）y当..（x）2
y）2
0时，是无穷小;
（D）
lim
xI
fx（X0,y°）xfy（X0,y°）y
.（x）2（y）2
2、设u
/X、
yf（）y
（A）x
y;
3、设
2:
X
y1
y
xf（）,其中f具有二阶连续导数，则
x
0
0
（B）x;（C）y;（D）0
2
u
X2
x
22
yz1,z0,则三重积分I
zdV等于
（A）4jd
jd
13
0rsincosdr；
（B）
12
2ddrsin
000
dr；
2
（C）d
0
13
0rsincosdr；
（D）
2dd1r3sin
000
cosdr。
4、
球面x
222
z4a与柱面x
2ax所围成的立体体积
V=（
5、
6、
（A）
（C）
02d
02d
设有界闭区域
LPdx
Qdy
2acos
2acos
（A）
（C）
.4a2r2dr；
D由分段光滑曲线
r2dr；
L所围成,
（B）402d
（D）[d
2
2acos
2acos
r,4a2r2dr；
r4a2
r2dr。
L取正向，函数P（x,y）,Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导数,
dU
p
（—
Dx
Q）dxdy；
x
Q
）dxdy；y
F列说法中错误的是（
（A）
方程xy
（B）
（D）
dE
（B）
（C）
方程（x2
2y
x鱼
dx
P
）dxdy；
x
P
—）dxdy。
y
x2y0是三阶微分方程;
ysinx是一阶微分方程;
2xy3）dx（y23x2y
）dy0是全微分方程;
（D）
-x勺是伯努利方程。
2x
2xy60平行，而y（x）满足微分方程
已知曲线yy（x）经过原点，且在原点处的切线与直线
y2y
5y0,则曲线的方程为y
（
）
（A）
x
esin2x；
（B）
x
e（sin2xcos2x）；
（C）
ex（cos2xsin2x）；
（D）
exsin2x。
&设limnun0，贝Uun（
）
n
n1
（A）收敛；（B）发散;
（C）不一定;
（D）绝对收敛。
三、求解下列问题（共计15分）
1、
（7分）设f,g均为连续可微函数。
f（x,xy）,v
g（xxy），
2、
（8分）设u（x,t）
xt
tf（z）dz，
xt
四、求解下列问题（共计15分）。
1、计算I
22
dxe
0x
2
ydy。
（7分）
2、计算|
（x2
y2）dV，其中
是由x2y22z,Z
1及z2所围成的空间闭区域（8分）
五、（13分）
计算I
xdyydx
C
L22
Lxy
，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点0（0,0）的封
闭曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意
x,y,f（x）满足方程f（xy）
丄血a，且f（0）存在，求f（x）。
1f（x）f（y）
2n1
七、（8分）求级数
n
（1）
1
na勺的收敛区间。
2n1
高等数学（下册）考试试卷
（二）
1、设2sin（x2y3z）
x2y3z，则-Z—
xy
叫
Hx
9.
xy
3、
2
dx
0
2x
f（x,y）dy，交换积分次序后,
4、
设f（u）为可微函数，且
f（0）
1
0,则lim—t0t3
X2
f（x2y2）d
t2
5、
设L为取正向的圆周x2
4，则曲线积分
Ly（yex
1）dx（2yexx）dy
6、设A
222
（xyz）i（yxz）j（z
xy）k，贝VdivA
7、通解为
x
yGe
C2e2x的微分方程是
二、选择题
（每小题
16分）。
1、设函数
f（x,y）
2
xy
~~24,
xy
x2
0,
x2
处（
（A）连续且偏导数存在;
（B）
连续但偏导数不存在;
（C）不连续但偏导数存在;
（D）
不连续且偏导数不存在。
2、设u（x,y）在平面有界区域
D上具有二阶连续偏导数，且满足
2u
2
u
-2
y
则（
（A）
最大值点和最小值点必定都在
D的内部;
（B）
最大值点和最小值点必定都在
D的边界上;
（C）
最大值点在D的内部，最小值点在
D的边界上;
（D）
最小值点在D的内部，最大值点在
D的边界上。
3、设平面区域D：
（x2）2
（y
1）21
若I1（xy）2d，
D
I2（xy）3d
D
则有（
（A）I1I2；
（B）
I1
（CI1I2;
（D）
不能比较。
4、设是由曲面z
xy,y
x,x
0所围成的空间区域，则
xy2z3dxdydz=（
（B）
1；
;
362
（C）
1；
;
363
（D）
5、设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续,
x（t）
L的参数方程为
y（t）
（t），其中（t）,
（t）在
[,]上具有一阶连续导数，且
2（t）
2（t）0，则曲线积分Lf（x,y）ds（
（A）
f（（t）,（t））dt；（B）
f（（t）,
2（t）dt
（C）
f（（t）,（t））.2（t）
2
2（t）dt；
（D）
f（（t）,（t））dt。
6、设
是取外侧的单位球面x2
则曲面积分
xdydzydzdx
zdxdy=（
（A）0；（B）
2；（C）
（D）4
7、下列方程中，设
yi,y是它的解,
可以推知力
y2也是它的解的方程是（
（A）y
p（x）y
q（x）0；
B）y
p（x）yq（x）y0；
（C）y
p（x）y
q（x）yf（x）；
（D）
p（x）yq（x）0。
8设级数
an为一交错级数，则（
n1
（A）该级数必收敛;
（B）
该级数必发散;
（C）该级数可能收敛也可能发散;
（D）
若an0（n0），则必收敛。
三、求解下列问题（共计15分）
1、（8分）求函数uln（x
y2z2）在点A（0，1，0）沿A指向点B
（3，-2，2）
的方向的方向导数。
2、（7分）求函数f（x,y）
2
xy（4xy）在由直线xy6,y0,x
0所围成的闭区域D上的最大
值和最小值。
四、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）计算|
dv
（1xy
3,其中是由x0,y0,z0及xyz1所围成的立体
z）
域。
2、（8分）设f（x）为连续函数，定义
222
F（t）[zf（xy）]dv.
其中
22
（x,y,z）|0zh,xy
t2，求。
dt
五、求解下列问题（15分）
、（8分）求I
L（exsinymy）dx（excosym）dy，其中
L是从
2
A（a，0）经y..axx至UO
0）的弧。
、（7分）计算|
x2dydzy2dzdxz2dxdy，其中是x2
z2（0za）的外侧。
六、
（15分）设函数
（X）具有连续的二阶导数，并使曲线积分
l[3（x）
2（x）
xe2x]ydx（x）dy与路径无关，求函数（x）。
高等数学（下册）考试试卷
、填空题
（每小题
3分，共计24分）
1、设u
yzt2
edt，
xz
则-
z
2、函数
f（x,y）xysin（x
2y）在点（0,0）处沿I（1,2）的方向导数
（0,0）
为曲面z1x2
2
y,z
0所围成的立体，如果将三重积分I
f（x,y,z）dv化为先对z再对
y最后对x三次积分，则|=
，其中D:
x2
t2。
1
4、设f（x,y）为连续函数，则|lim2f（x,y）dt0t2tD
，其中L:
x2y2a2。
6、设是一空间有界区域，其边界曲面
是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数
P（x,y,z），
Q（x,y,z），R（x,y,z）在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系
式:
，该关系式称为
公式。
7、微分方程y6y9yx26x9的特解可设为y
8、若级数发散，则p
n1np
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、设fx（a,b）存在，则佃f（xa®f（ax,b）=（
x0
（A）
fx（a,b）；（B）0；（C）2fx（a,b）；（D）
1
—fx（a,b）。
2、设z
2
xy，结论正确的是（
（A）
（B）
（C）
（D）
3、
f（x,y）为关于
x的奇函数,
积分域D关于y轴对称，对称部分记为D1,D2,f（x,y）在D上连续，则
xy
（x,y）,则曲线弧L的重心的x坐标x
f（x,y）d（）
（A）
1
x=MLx（x,y）ds；
（B）x
1
MLx（x,y）dx；
（C）x=
Lx（x,y）ds；
（D）
lxds，
其中M为曲线弧L的质量。
22
为柱面xy1和x
0,y
0,z1在第一卦限所围成部分的外侧，则
曲面积分
:
y2zdxdy
2
xzdydzxydxdz=（
（A）0;
（B）-;
4
（C）
5；
;
24
（D）
4
7、方程y
2y
f（x）的特解可设为
D
（A）
0；（B）2
f（x,y）d
；（C）
4
f（x,y）d；（D）2
f（x,y）d。
D1
D1
D2
4、设
:
x2y2
z2R2,
则
（x2
y）dxdydz=（
）
（A）
85
3r；
4
（B）3
R5;
85
（C）R;
15
165
（D）R。
15
5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线
L,在点（x,y）处的线密度为
（A）
A，若
f（x）1;
（B）
Aex,
若f（x）ex；
（C）
Ax4
Bx3
Cx2Dx
E
，若
f（x）
x22x-
（D）
x（Asin5x
Bcos5x）,
若
f（x）
sin5x。
8、设f（x）
x0，则它的Fourier展开式中的a.等于（）
、
1、
D;2、D;
3、C：
；4、
B;5
、D;6、E
3；7
三、
1、
Uf
1
yf2；
U
xg（x
xy）；
x
y
2、
u
f（xt）
f（x
t）；
u
f（xt）
f（x
x
t
22
y2
2
yy2
2
y2
四、
1、
dxe
0x
dy
dy
0J
ye
0
dxye
07
dy
A;8、C;
t）；
1（1e4）；
（A）—[1（
n
（B）0；（C）丄；
n
（D）上。
n
三、（12分）设y
f（x,t）,
t为由方程F（x,y,t）
0确定的
x,y的函数，其中f,F具有一阶连续偏导
数，求
O
四、（8分）在椭圆x
4y2
4上求一点，使其到直线
2x3y
60的距离最短。
五、（8分）求圆柱面
22
x2y2
2y被锥面zx2y2和平面z
0割下部分的面积A。
六、（12分）计算I
xyzdxdy,
222
其中为球面xyz
1的x0,y0部分
的外侧。
七、（10分）
设^cos凶1sin2d（cosx）
x，求f（x）。
八、（10分）
将函数f（x）ln（1x
x2x3）展开成x的幕级数。
（下册）
考试试卷
（一）参考答案
2、
5、
7、
1、当0
负号；3
180
1时,
.y
sin
x
0x2
1时,
1
°dy
Cx;
e1y
ey
dx;
32；
2（t）2（t）dt；
C1cos.2xC2sin2x
C3elx
C4e
柱面坐标
2、I
dr
2r3
dz
2
2dr
2
12
r
2
r3dz
14；
；
3
五、令P
x
~~22
xy
2
y_
（x2
2
x
2、2
y）
Q，（x,y）（0,0）；
x
于是①当
L所围成的区域
D中不含O（0,
时,
Q在D内连续。
所以由Green公式得：
I=0;②当L
x
所围成的区域D中含
O（0，0）时，
D内除0（0，0）外都连续，此时作曲线丨为
x2
2（0
1），逆时针方向，并假设
为L及丨所围成区域，则
Greer公式
D*
（卫
x
P）dxdy：
2
yx2y22
六、由所给条件易得:
f（0）
2f（0）
1f2（0）
f（0）
f（x）f（
x）
f（x）
f（x）
加f（x）f（x）
x0
f（x）
2
1f（x）
lim
x01f（x）f（x）
f（x）f（0）
2
f（0）[1f（x）]
f（0）
arctanf（x）f（0）x
f（x）
tan[f
（0）xc]
f（0）0即c
k,k
f（x）
tan（f（0）x）
2n1
七、令x2t，
考虑级数
t2n
lim
n
2n_3
f2n1
t2
当t1即x3或x1时，原级数发散;
1时，级数
（1）n1—J收敛;
2n1
3时，级数
1
（1）n-收敛;
2n1
级数的半径为R=1,收敛区间为［1,3］。
1、
2、-1/6
5、
6、2（x
1、
C；
2、B;3
1、
函数uln（x
（下册）
y
3、0dyy/2f（x,y）dx
yz）；7、y
考试试卷
（二）参考答案
4
2dy
y2y0；
、A;4、D;5、C;6、D;
22y/2f（x,y）dx；4、-f（0）；
3
8、0；
7、B;8、C;
■y2z2）在点A（1，0，1）处可微，且
（1,0,1）1/2；
（1,0,1）
（1,0,1）
1/2
AB（2,2,1）,所以l
1-—■
1）,故在A点沿lAB方向导数为:
u
u
u
u
A
Acos+—
Acos+—
acosz
12211
0（-）1/2.
23323
2、由
-2xy（4xy）xy（
2
yx（4x2y）0
1）0
得D内的驻点为M0（2,1）,且f（2,1）4，
又f（0,y）0,f（x,O）0
而当xy6,x0,y0时,
f（x,y）2x3
12x2（0x6）
令（2x312x2）0得x10,x24
于是相应如6,y22且f（0,6）0,f（4,2）
64.
f（x,y）在D上的最大值为
f（2,1）
4，最小值为f（4,2）64.
四、1、
的联立不等式组为
1
所以Idx
0
x1
dy0
dz
（1xyz）3
dx0
1-
[（1
-1―1]dy
xy）4
（x
…皿丄1n2
42
5
16
2、在柱面坐标系中
F（t）
t
dr
0
h
0[zf（r）]rdz
t2
0[hf（r）r
护]dr
所以
dF
dt
2
[hf（t）t
^h't]2ht[f（t2）
3
12
3h]
五、1、连接
OA，由Green公式得:
1LOAOA
0_LOA
OA
Green公式
x2y2ax,y
-
（ecosy
0
x
ecosy
m）dxdy
a2
2、作辅助曲面
，上侧，则由Gauss公式得:
x2
y2z2,0
2（x
a
z）dxdydz
x2
a2dxdy
22
ya
六、
a
dz
0
2
x
zdxdy
22
yz
a3
2z3dz
0
由题意得:
（x）3
（x）
特征方程r2
3r
（x）
对应齐次方程的通解为:
又因为2是特征根。
代入方程并整理得:
即y*（x
故所求函数为:
1、yey
2z2
（x）
a4
（x）
xe2x
（x）
xe2x
0，特征根
x
y&e
ri
1,
2x
C2e
故其特解可设为:
2）e2x
（x）c1ex
xexz；
r22
x（AxB）e2x
2x
c?
e
1x（x
2）e2x
（下册）
考试试卷（三）参考答案
1
dx
1
1x2
1x2dy
1x2y2
f（x,y,z）dz；
4、f（0,0）；
5、2a3；
P
（—
x
R
）dvz
tPdydzQdzdxRdxdy，
Gauss公式;
„2
7、Ax
BxC
0。
1、C；
、B;3
；5、A；6、D；7、B；
三、由于dy
fx（x,t）dx
ft（x,t）dt，FxdxFydyFtdt0
由上两式消去
dt，即得:
dyfxFtftFx
FtftFy
dx
62x3y|
13
2x3y）2
22
（x4y4），于是由:
Lx
Ly
4（6
6（6
2
x
2x3y）
2x3y）4y2
8383
得条件驻点：
M1（,）,M2（,）,Ma（
3555
8,3）,M4（8,3
5555
依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中
dmin
62x3y
13
13
即为所求。
2
x
2
y
于是所割下部分在yoz面上的投影域为:
五、曲线z
2
x
投影为z2y
x0
2
y在yoz面上的
2y（0yz）
0y2
Dyz:
0z、2y，
由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。
2Dyz；1（A
（X）2d
z
六、将
是：
2dydz
Dyz2yy2
分为上半部分
2
1dy
2ydz
0
2yy2
:
z1x2
2
y和下半部分
.1x2y2
2在面xoy上的投影域都为：
D
2・xxy■
1,x0,y
0,
xyzdxdy
1
■1x
Dxy
2
ydxdy
极坐标
2d
0
2sin
1
”,•
xyzdxdy
2
xy（
Dxy
1x2y2）（
dxdy）
1
15’
215
七、因为df（cosx）1sin2x，即f（cosx）1sin2x
d（cosx）
所以f（x）2x2f（x）2x-x3c
3
八、f（x）ln[（1x）（1x2）]ln（1x）ln（1x2）
又ln（1u）—un,u（1,1]
n1n
f（x）
1）n1—xn
1）n
2n
（1,1]
（1）n
n/a
x（1
n、
x）,
x（1,1]
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