河大高等数学下册期末考试题及答案.docx

1、河大高等数学下册期末考试题及答案高等数学（下册）考试试卷（一）、填空题（每小题 3分，共计24分）1、z = . Ioga (x2 y2) (a 0)的定义域为D=2、重积分 In(x2 y2)dxdy的符号为|x| |y| 13、由曲线 y ln x及直线xy 1所围图形的面积用二重积分表示为，其值4、设曲线L的参数方程表示为(t)(t)（ x ）,则弧长元素ds5、设曲面刀为x2y2 9介于23间的部分的外侧，贝U （xy2 1)ds6、微分方程dydx-tan丄的通解为x x7、方程y4y0的通解为级数的和为n 1 n(n 1)二、选择题（每小题 2分，共计16分） 1、二元函数z f

2、（x, y）在（x,y）处可微的充分条件是（(A) f (x, y)在(x,y)处连续;(B)fx（x,y）， fy（x, y）在（Xo, yo）的某邻域内存在;(C)z fx(x0,y。)xfy(x0,y。)y当.(x)2y)20时，是无穷小;(D)limx Ifx(X0, y) x fy(X0, y) y.(x)2 ( y)22、设u/ X、yf() y(A) xy;3、设2 :Xy 1yxf（）,其中f具有二阶连续导数，则x00(B) x; (C) y; (D)02uX 2x2 2y z 1, z 0,则三重积分IzdV等于(A) 4 jdjd1 30r sin cos dr ；(B)1

3、 22 d d r sin0 0 0dr ；2(C) d01 30r sin cos dr ；(D)2 d d 1r3sin0 0 0cos dr 。4、球面x2 2 2z 4a与柱面x2ax所围成的立体体积V=(5、6、(A)(C)02d02d设有界闭区域LPdxQdy2acos2acos(A)(C).4a2 r2dr ；D由分段光滑曲线r 2dr ；L所围成,(B) 4 02d(D) d22acos2acosr , 4a2 r2dr ；r 4a2r2dr。L取正向，函数 P(x, y), Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数,dUp(D xQ)dxdy ；xQ)dxdy； yF列说法中错

4、误的是(A)方程xy(B)(D)dE(B)(C)方程(x22yx鱼dxP)dxdy ；xP)dxdy。 yx2y 0是三阶微分方程;ysin x是一阶微分方程;2xy3)dx (y2 3x2y)dy 0是全微分方程;(D)-x 勺是伯努利方程。2 x2x y 6 0平行，而y(x)满足微分方程已知曲线 y y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线y 2y5y 0,则曲线的方程为 y()(A)xe sin 2x ；(B)xe (sin 2x cos2x)；(C)ex(cos2x sin 2x)；(D)ex sin 2x。&设 lim nun 0 ，贝U un ()nn 1(A)收敛； (B)发散

5、;(C)不一定;(D)绝对收敛。三、求解下列问题(共计 15分)1、(7分)设f , g均为连续可微函数。f ( x, xy ), vg (x xy )，2、(8 分)设 u(x,t)x tt f (z)dz，x t四、求解下列问题(共计 15分)。1、计算I2 2dx e0 x2y dy。( 7 分)2、计算|(x2y2)dV，其中是由 x 2 y2 2z, Z1及z 2所围成的空间闭区域(8 分)五、(13分)计算Ixdy ydxC L 2 2L x y，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点 0(0,0)的封闭曲线的逆时针方向。六、(9分)设对任意x, y, f (x)满足

6、方程 f (x y)丄血 a，且f (0)存在，求f(x)。1 f(x)f(y)2n 1七、(8分)求级数n(1)1n a勺 的收敛区间。2n 1高等数学(下册)考试试卷(二)1、设 2sin(x 2y 3z)x 2y 3z，则-Z x y叫Hx9.xy3、2dx02xf (x, y )dy，交换积分次序后,4、设f(u)为可微函数，且f(0)10,则 lim t 0 t3X2f(x2 y2)dt25、设L为取正向的圆周x24，则曲线积分Ly(yex1)dx (2yex x)dy6、设A2 2 2(x yz) i (y xz) j (zxy) k，贝V div A7、通解为xy GeC2e 2

7、x的微分方程是二、选择题(每小题16 分)。1、设函数f(x, y)2xy2 4,x yx20,x2处(A)连续且偏导数存在;(B)连续但偏导数不存在;(C)不连续但偏导数存在;(D)不连续且偏导数不存在。2、设u(x, y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足2u2u-2y则(A)最大值点和最小值点必定都在D的内部;(B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上;(C)最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上;(D)最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。3、设平面区域D： (x 2)2(y1)2 1若 I1 (x y)2d ，DI2 (x y)3dD则有(A) I1 I2 ；(B)I

8、1(C I1 I2;(D)不能比较。4、设是由曲面zxy, yx, x0所围成的空间区域，则xy2z3dxdydz =(B)1 ；;362(C)1 ；;363(D)5、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,x (t)L的参数方程为y (t)(t )，其中(t),(t)在,上具有一阶连续导数，且2(t)2(t) 0，则曲线积分 L f (x,y)ds (A)f( (t), (t)dt ； (B)f( (t),2(t)dt(C)f( (t), (t). 2(t)22(t)dt ；(D)f( (t), (t)dt。6、设是取外侧的单位球面 x2则曲面积分xdydz ydzdxzdxdy=(A) 0

9、 ； (B)2 ； (C)(D) 47、下列方程中，设yi, y是它的解,可以推知力y2也是它的解的方程是（(A) yp(x)yq(x) 0 ；B) yp(x)y q(x)y 0 ；(C) yp(x)yq(x)y f (x)；(D)p(x)y q(x) 0。8设级数an为一交错级数，则（n 1（A）该级数必收敛;(B)该级数必发散;（C）该级数可能收敛也可能发散;(D)若an 0 （n 0），则必收敛。三、求解下列问题（共计 15分）1 、（8分）求函数u ln（xy2 z2）在点 A（ 0，1，0）沿 A指向点 B（3，-2，2）的方向的方向导数。2、（7分）求函数f （x, y）2x y(

10、4 x y)在由直线 x y 6, y 0, x0所围成的闭区域 D上的最大值和最小值。四、求解下列问题（共计 15分）1 、（ 7分）计算|dv(1 x y3 ,其中 是由x 0, y 0,z 0及x y z 1所围成的立体z）域。2、（ 8分）设f （x）为连续函数，定义2 2 2F(t) z f(x y )dv.其中2 2(x,y,z)|0 z h,x yt2，求 。dt五、求解下列问题（15分）、（8分）求IL(exsiny my)dx (ex cosy m)dy，其中L是从2A(a，0)经 y . ax x 至U O0）的弧。、（7分）计算|x2dydz y2dzdx z2dxdy，

11、其中 是 x2z2 （0 z a）的外侧。六、（15分）设函数（X）具有连续的二阶导数，并使曲线积分l3 (x)2 (x)xe2xydx （x）dy与路径无关，求函数 （x）。高等数学（下册）考试试卷、填空题（每小题3分，共计24分）1、设uyz t2e dt，xz则-z2、函数f (x, y) xy sin(x2y）在点（0, 0）处沿I （1,2）的方向导数(0,0)为曲面z 1 x22y ,z0所围成的立体，如果将三重积分If （x, y,z）dv化为先对z再对y最后对x三次积分，则|=，其中D : x2t2。14、设f (x, y)为连续函数，则| lim 2 f (x, y)d t

12、0 t2 t D，其中 L : x2 y2 a2。6、设 是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数P(x, y,z)，Q（x,y,z），R（x, y,z）在 上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式:，该关系式称为公式。7、微分方程y 6y 9y x2 6x 9的特解可设为y8、若级数 发散，则pn 1 np二、选择题（每小题 2分，共计16分）1、设 fx(a,b)存在，则佃 f(x a f(a x,b)=(x 0(A)fx(a,b) ；(B) 0； (C) 2 fx(a,b) ； (D)1fx(a, b)。2 、设z2xy，结论正确的是(A)

13、(B)(C)(D)3、f(x,y)为关于x的奇函数,积分域 D关于y轴对称，对称部分记为 D1,D2 , f (x, y)在D上连续，则x y(x,y),则曲线弧L的重心的x坐标xf(x,y)d ( )(A)1x=M Lx (x,y)ds；(B) x1M Lx (x,y)dx ；(C) x =Lx (x, y)ds ；(D)l xds，其中M为曲线弧L的质量。2 2为柱面x y 1和x0,y0,z 1在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分:y2zdxdy2xzdydz x ydxdz=(A) 0;(B)-;4(C)5 ；;24(D)47、方程y2yf (x)的特解可设为D(A)0 ； ( B)

14、 2f(x,y)d；(C)4f (x, y)d ； (D)2f (x, y)d 。D1D1D24、设:x2 y2z2 R2 ,则(x2y )dxdydz=()(A)8 53r；4(B) 3R5;8 5(C) R ;1516 5(D) R。155、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L,在点(x, y)处的线密度为(A)A，若f(x) 1;(B)Aex,若 f(x) ex；(C)Ax4Bx3Cx2 DxE，若f(x)x2 2x -(D)x( Asi n 5xB cos5x),若f(x)sin 5x。8、设 f (x)x 0，则它的Fourier展开式中的a.等于() 、1、D; 2、D;3、C：；

15、4、B; 5、D; 6、E3； 7三、1、U f1yf2 ；Uxg (xxy)；xy2、uf(x t)f(xt)；uf (x t)f(xxt2 2y22y y22y2四、1、dx e0 xdydy0 Jy e0dx ye0 7dyA; 8 、 C;t)；1(1 e4)；(A) 1 (n(B) 0； (C)丄；n(D)上。n三、（12分）设yf(x,t),t为由方程 F（x,y,t）0确定的x, y的函数，其中f ,F具有一阶连续偏导数，求O四、（8分）在椭圆x4y24上求一点，使其到直线2x 3y6 0的距离最短。五、（8分）求圆柱面2 2x2 y22y被锥面z x2 y2和平面z0割下部分的

16、面积A。六、（12分）计算Ixyzdxdy,2 2 2其中 为球面x y z1的x 0, y 0部分的外侧。七、（10分）设 cos凶 1 sin2 d(cosx)x，求 f （x）。八、（10分）将函数f (x) ln(1 xx2 x3）展开成x的幕级数。（下册）考试试卷（一）参考答案2、5、7、1、当0负号；31801时,.ysinx0 x21时,1dyCx ;e 1 yeydx;32 ；2(t) 2(t)dt ；C1 cos . 2x C2 sin 2xC3elxC4e柱面坐标2、 Idr2r3dz22dr21 2r2r3dz14 ；3五、令Px2 2x y2y_(x22x2、2y )Q

17、，(x, y) (0,0)；x于是当L所围成的区域D中不含O （0,时,Q在D内连续。所以由 Green公式得：I=0 ;当Lx所围成的区域D中含O（0，0）时，D内除0（ 0，0）外都连续，此时作曲线丨为x22(01），逆时针方向，并假设为L及丨所围成区域，则Greer公式D*(卫xP)dxdy ： 2y x2 y2 2六、由所给条件易得:f(0)2f(0)1 f2(0)f(0)f(x) f(x)f(x)f(x) 加 f(x)f(x)x 0f(x)21 f (x)limx 01 f(x)f ( x)f( x) f (0)2f (0)1 f (x)f(0)arctan f (x) f (0)

18、xf(x)tan f(0)x cf (0) 0 即 ck ,kf(x)tan( f (0)x)2n 1七、令x 2 t，考虑级数t2nlimn2n_3f2n 1t2当t 1即x 3或x 1时，原级数发散;1时，级数(1)n1J 收敛;2n 13时，级数1(1)n - 收敛;2 n 1级数的半径为 R=1,收敛区间为1 , 3。1、2 、 -1/65、6、2(x1、C；2、B; 31、函数u ln(x（下册）y3、 0dy y/2f(x,y)dxy z) ； 7、y考试试卷（二）参考答案42dyy 2y 0 ；、A; 4、D; 5、C; 6、D;2 2 y/2f(x,y)dx ； 4、- f (

19、0)；38、0；7、B; 8、C; y2 z2）在点A（ 1，0， 1）处可微，且(1,0,1) 1/2 ；(1,0,1)(1,0,1)1/2AB (2, 2,1),所以 l1 - 1）,故在A点沿l AB方向导数为:uuuuAA cos + A cos +a cos z1 2 2 1 10 ( -) 1/2.2 3 3 2 32、由-2xy(4 x y) xy(2y x (4 x 2y) 01) 0得D内的驻点为M 0(2,1),且f(2 ,1) 4，又 f(0, y) 0, f(x,O) 0而当 x y 6, x 0, y 0 时,f (x, y) 2x312x2 (0 x 6)令(2x3

20、 12x2) 0 得 x1 0, x2 4于是相应 如 6, y2 2 且 f(0,6) 0, f(4,2)64.f(x, y)在D上的最大值为f (2,1)4，最小值为f (4,2) 64.四、1、的联立不等式组为1所以I dx0x 1dy 0dz(1 x y z)3dx 01 -(1-11dyx y) 4(x皿丄1 n24 25162、在柱面坐标系中F(t)tdr0h0z f(r )rdzt 20hf(r )r护dr所以dFdt2hf (t )tht 2 ht f(t2)31 23h五、1、连接OA，由Green公式得:1 L OA OA0 _ L OAOAGreen公式x2 y2 ax,

21、y-(e cosy0xe cosym) dxdya22、作辅助曲面，上侧，则由 Gauss公式得:x2y2 z2,02(xaz) dxdydzx2a2dxdy2 2y a六、adz02xzdxdy2 2y za 32 z3dz0由题意得:(x) 3(x)特征方程r23r(x)对应齐次方程的通解为:又因为 2是特征根。代入方程并整理得:即 y *(x故所求函数为:1、yey2z2(x)a4(x)xe2x(x)xe2x0，特征根xy &eri1,2xC2e故其特解可设为:2)e2x(x) c1exxex z ；r2 2x(Ax B)e2x2xc?e1x(x2)e2x（下册）考试试卷（三）参考答案1

22、dx11 x21x2 dy1 x2 y2f (x, y,z)dz ；4、 f(0,0)；5、2 a3 ；P(xR)dv zt Pdydz Qdzdx Rdxdy ，Gauss公式; 27、 AxBx C0。1、C；、B; 3；5、A ； 6、D ； 7 、B ；三、由于dyfx(x,t)dxft(x,t)dt， Fxdx Fydy Ftdt 0由上两式消去dt，即得:dy fx Ft ft FxFt ft Fydx6 2x 3y|132x 3y)22 2(x 4y 4)，于是由:LxLy4(66(62x2x 3y)2x 3y) 4y28 3 8 3得条件驻点：M1( , ),M2( , ),M

23、a(3 5 5 58, 3),M4(8, 35 5 5 5依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin6 2x 3y1313即为所求。2x2y于是所割下部分在 yoz面上的投影域为:五、曲线z2x投影为z 2yx 02y 在yoz面上的2y (0 y z)0 y 2Dyz: 0 z、2y，由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。2Dyz ；1 (A(X)2dz六、将是：2 dydzDyz 2y y2分为上半部分21 dy2y dz02y y2:z 1 x22y和下半部分.1 x2 y22在面xoy上的投影域都为： D2 x xy 1,x 0,y0,xyzdxdy1 1 xDxy2y dxdy极坐标2d02 sin1” , xyzdxdy2xy(Dxy1 x2 y2)(dxdy)1152 15七、 因为 df (cosx) 1 sin2x，即 f (cosx) 1 sin2xd (cos x)所以 f (x) 2 x2 f (x) 2x - x3 c3八、 f (x) ln(1 x)(1 x2) ln(1 x) ln(1 x2)又 ln(1 u) un ,u ( 1,1n 1 nf (x)1)n 1 xn1)n2n(1,1(1)nn / ax (1n、x ),x ( 1,1