高中数学集合和函数基本性质基础专练一含答案.docx
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高中数学集合和函数基本性质基础专练一含答案
集合与函数基本性质基础专练一
一.选择题(共12小题)
1.设集合P={x|x2﹣2>0},Q={1,2,3,4},则P∩Q的非空子集的个数为( )
A.8B.7C.4D.3
2.设集合A={﹣1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )
A.{2}B.{2,3}C.{﹣1,2,3}D.{1,2,3,4}
3.已知全集U={﹣1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={﹣1,0,1},则(∁UA)∩B=( )
A.{﹣1}B.{0,1}C.{﹣1,2,3}D.{﹣1,0,1,3}
4.已知集合A={x|x>﹣1},B={x|x<2},则A∩B=( )
A.(﹣1,+∞)B.(﹣∞,2)C.(﹣1,2)D.∅
5.已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )
A.(﹣1,1)B.(1,2)C.(﹣1,+∞)D.(1,+∞)
6.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,6},B={2,4,5},则(∁UA)∩B=( )
A.{4,5}B.{1,2,3,4,5,6}
C.{2,4,5}D.{3,4,5}
7.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9B.8C.5D.4
8.设集合A={1,2,3,4},B={﹣1,0,2,3},C={x∈R|﹣1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )
A.{﹣1,1}B.{0,1}C.{﹣1,0,1}D.{2,3,4}
9.设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=( )
A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}
10.已知集合A={0,2},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B=( )
A.{0,2}B.{1,2}
C.{0}D.{﹣2,﹣1,0,1,2}
11.已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}
12.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex﹣1,则当x<0时,f(x)=( )
A.e﹣x﹣1B.e﹣x+1C.﹣e﹣x﹣1D.﹣e﹣x+1
二.填空题(共11小题)
13.已知f(x)=
,若f(a)+f(﹣2)=0,则a=______
14.已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=______.
15.函数y=
的定义域是______.
16.已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,5,6},则A∩B=______.
17.已知a∈R,函数f(x)=
.若对任意x∈[﹣3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是______.
18.已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是______.
19.已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为______.
20.函数y=
的定义域是______.
21.函数
的定义域为______.
22.已知函数f(x)=ax3﹣2x的图象过点(﹣1,4)则a=______.
23.若函数f(x)=x3+a为奇函数,则实数a=______.
三.解答题(共7小题)
24.x1、x2∈R,f(0)≠0,且f(2x1)+f(2x2)=f(x1+x2)•f(x1﹣x2).
(1)求f(0);
(2)求证f(x)为偶函数;
(3)若f(π)=0,求证f(x)为周期函数.
25.自选题:
已知函数f(x)=|x﹣8|﹣|x﹣4|.
(Ⅰ)作出函数y=f(x)的图象;
(Ⅱ)解不等式|x﹣8|﹣|x﹣4|>2.
26.设a为实数,函数f(x)=x2+|x﹣a|+1,x∈R
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
27.设函数
,求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性.
28.根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=﹣x3+1在(﹣∞,+∞)上是减函数.
29.求函数
.
30.30.画出函数
的图象.
集合和函数基本性质基础专练一
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.解:
;
∴P∩Q={2,3,4};
∴P∩Q的非空子集的个数为:
个.
故选:
B.
2.解:
设集合A={﹣1,1,2,3,5},C={x∈R|1≤x<3},
则A∩C={1,2},
∵B={2,3,4},
∴(A∩C)∪B={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4};
故选:
D.
3.解:
∵∁UA={﹣1,3},
∴(∁UA)∩B
={﹣1,3}∩{﹣1,0,l}
={﹣1}
故选:
A.
4.解:
由A={x|x>﹣1},B={x|x<2},
得A∩B={x|x>﹣1}∩{x|x<2}=(﹣1,2).
故选:
C.
5.解:
∵A={x|﹣1<x<2},B={x|x>1},
∴A∪B={x|﹣1<x<2}∪{x|x>1}=(﹣1,+∞).
故选:
C.
6.解:
由全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,6},
得∁UA={3,4,5},B={2,4,5},
则(∁UA)∩B={3,4,5}∩{2,4,5}={4,5}.
故选:
A.
7.解:
当x=﹣1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,
当x=0时,y2≤3,得y=﹣1,0,1,
当x=1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,
即集合A中元素有9个,
故选:
A.
8.解:
∵A={1,2,3,4},B={﹣1,0,2,3},
∴(A∪B)={1,2,3,4}∪{﹣1,0,2,3}={﹣1,0,1,2,3,4},
又C={x∈R|﹣1≤x<2},
∴(A∪B)∩C={﹣1,0,1}.
故选:
C.
9.解:
∵A={x|0<x<2},B={x|x≥1},
∴∁RB={x|x<1},
∴A∩(∁RB)={x|0<x<1}.
故选:
B.
10.解:
集合A={0,2},B={﹣2,﹣1,0,1,2},
则A∩B={0,2}.
故选:
A.
11.解:
∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},
∴A∩B={x|x≥1}∩{0,1,2}={1,2}.
故选:
C.
12.解:
设x<0,则﹣x>0,
∴f(﹣x)=e﹣x﹣1,
∵设f(x)为奇函数,∴﹣f(x)=e﹣x﹣1,
即f(x)=﹣e﹣x+1.
故选:
D.
二.填空题(共11小题)
13.解:
(1)若a<0,则:
f(a)+f(﹣2)=2a﹣4=0;
解得a=2,不满足a<0,这种情况不存在;
(2)若a≥0,则:
f(a)+f(﹣2)=a2﹣4=0;
∴a=2;
综上得,a=2.
故答案为:
2.
14.解:
∵A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},
∴A∩B={﹣1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.
故答案为:
{1,6}.
15.解:
由7+6x﹣x2≥0,得x2﹣6x﹣7≤0,
解得:
﹣1≤x≤7.
∴函数y=
的定义域是[﹣1,7].
故答案为:
[﹣1,7].
16.解:
∵集合A={1,2,3,4,5},
B={3,5,6},
∴A∩B={3,5}.
故答案为:
{3,5}.
17.解:
当x≤0时,函数f(x)=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1,抛物线开口向上,
要使x≤0时,对任意x∈[﹣3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,
则只需要f(﹣3)≤|﹣3|=3,
即9﹣6+a﹣2≤3,得a≤2,
当x>0时,要使f(x)≤|x|恒成立,即f(x)=﹣x2+2x﹣2a,在射线y=x的下方或在y=x上,
由﹣x2+2x﹣2a≤x,即x2﹣x+2a≥0,由判别式△=1﹣8a≤0,
得a≥
,
综上
≤a≤2,
故答案为:
[
,2].
18.解:
x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2=x2+(1﹣x)2=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],
则令f(x)=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],函数的对称轴为:
x=
,开口向上,
所以函数的最小值为:
f(
)=
=
.
最大值为:
f
(1)=2﹣2+1=1.
则x2+y2的取值范围是:
[
,1].
故答案为:
[
,1].
19.解:
∵集合A={1,2},B={a,a2+3}.A∩B={1},
∴a=1或a2+3=1,
当a=1时,A={1,2},B={1,4},成立;
a2+3=1无解.
综上,a=1.
故答案为:
1.
20.解:
由3﹣2x﹣x2≥0得:
x2+2x﹣3≤0,
解得:
x∈[﹣3,1],
故答案为:
[﹣3,1]
21.解:
由x﹣2≥0得,x≥2.
∴原函数的定义域为[2,+∞).
故答案为[2,+∞).
22.解:
根据条件得:
4=﹣a+2;
∴a=﹣2.
故答案为:
﹣2.
23.解:
∵f(x)是R上的奇函数;
∴f(0)=a=0.
故答案为:
0.
三.解答题(共7小题)
24.解:
(1)f(2x1)+f(2x2)=f(x1+x2)•f(x1﹣x2),
可令x1=x2=0,可得f(0)+f(0)=f(0)•f(0),
由f(0)≠0,
可得f(0)=2;
(2)证明:
可令x1=
,x2=﹣
,
则f(x)+f(﹣x)=f(0)f(x)=2f(x),
可得f(﹣x)=f(x),
则f(x)为偶函数;
(3)证明:
可令x1=
+π,x2=
,
则f(x+2π)+f(x)=f(x+π)f(π)=0,
即有f(x+2π)=﹣f(x),
将x换为x+2π,可得
f(x+4π)=﹣f(x+2π)=f(x),
可得f(x)为最小正周期为4π的函数.
25.解:
(Ⅰ)f(x)=
图象如下:
(Ⅱ)不等式|x﹣8|﹣|x﹣4|>2,即f(x)>2,观察知当4<x<8时,存在函数值为2的点.
由﹣2x+12=2得x=5.
由函数f(x)图象可知,原不等式的解集为(﹣∞,5).
26.解:
(1)当a=0时,函数f(﹣x)=(﹣x)2+|﹣x|+1=f(x)
此时,f(x)为偶函数
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(﹣a)=a2+2|a|+1,f(a)≠f(﹣a),f(a)≠﹣f(﹣a)
此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数
(2)①当x≤a时,
当
,则函数f(x)在(﹣∞,a]上单调递减,从而函数f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
若
,则函数f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为
,且
.
②当x≥a时,函数
若
,则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为
;
若
,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上,当
时,函数f(x)的最小值为
当
时,函数f(x)的最小值为a2+1
当
时,函数f(x)的最小值为
.
27.解:
函数
的定义域为(﹣∞,﹣b)∪(﹣b,+∞).
f(x)在(﹣∞,﹣b)内是减函数,f(x)在(﹣b,+∞)内也是减函数.
证明f(x)在(﹣b,+∞)内是减函数.
取x1,x2∈(﹣b,+∞),且x1<x2,那么
=
,
∵a﹣b>0,x2﹣x1>0,(x1+b)(x2+b)>0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,
即f(x)在(﹣b,+∞)内是减函数.
同理可证f(x)在(﹣∞,﹣b)内是减函数.
28.证明:
证法一:
在(﹣∞,+∞)上任取x1,x2且x1<x2
则f(x2)﹣f(x1)=x13﹣x23=(x1﹣x2)(x12+x1x2+x22)
∵x1<x2,
∴x1﹣x2<0.
当x1x2<0时,有x12+x1x2+x22=(x1+x2)2﹣x1x2>0;
当x1x2≥0时,有x12+x1x2+x22>0;
∴f(x2)﹣f(x1)=(x1﹣x2)(x12+x1x2+x22)<0.
即f(x2)<f(x1)
所以,函数f(x)=﹣x3+1在(﹣∞,+∞)上是减函数.
证法二:
在(﹣∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,
则f(x2)﹣f(x1)=x13﹣x23=(x1﹣x2)(x12+x1x2+x22).
∵x1<x2,
∴x1﹣x2<0.
∵x1,x2不同时为零,
∴x12+x22>0.
又∵x12+x22>
(x12+x22)≥|x1x2|≥﹣x1x2
∴x12+x1x2+x22>0,
∴f(x2)﹣f(x1)=(x1﹣x2)(x12+x1x2+x22)<0.
即f(x2)<f(x1).
所以,函数f(x)=﹣x3+1在(﹣∞,+∞)上是减函数.
29.解:
解得:
{x|﹣2≤x<1}∪{x|1<x≤2}.
30.解:
y=
的图象为
然后把次图象向左平移一个单位可得