高中数学集合和函数基本性质基础专练一含答案.docx

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高中数学集合和函数基本性质基础专练一含答案

集合与函数基本性质基础专练一

一．选择题（共12小题）

1．设集合P＝{x|x2﹣2＞0}，Q＝{1，2，3，4}，则P∩Q的非空子集的个数为（　　）

A．8B．7C．4D．3

2．设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（　　）

A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4}

3．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3}

4．已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（　　）

A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，2）D．∅

5．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（　　）

A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）

6．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，6}，B＝{2，4，5}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A．{4，5}B．{1，2，3，4，5，6}

C．{2，4，5}D．{3，4，5}

7．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9B．8C．5D．4

8．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（　　）

A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}

9．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}

10．已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A．{0，2}B．{1，2}

C．{0}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}

11．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}

12．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（　　）

A．e﹣x﹣1B．e﹣x+1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+1

二．填空题（共11小题）

13．已知f（x）＝

，若f（a）+f（﹣2）＝0，则a＝______

14．已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝______．

15．函数y＝

的定义域是______．

16．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，则A∩B＝______．

17．已知a∈R，函数f（x）＝

．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是______．

18．已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2的取值范围是______．

19．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2+3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为______．

20．函数y＝

的定义域是______．

21．函数

的定义域为______．

22．已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝______．

23．若函数f（x）＝x3+a为奇函数，则实数a＝______．

三．解答题（共7小题）

24．x1、x2∈R，f（0）≠0，且f（2x1）+f（2x2）＝f（x1+x2）•f（x1﹣x2）．

（1）求f（0）；

（2）求证f（x）为偶函数；

（3）若f（π）＝0，求证f（x）为周期函数．

25．自选题：

已知函数f（x）＝|x﹣8|﹣|x﹣4|．

（Ⅰ）作出函数y＝f（x）的图象；

（Ⅱ）解不等式|x﹣8|﹣|x﹣4|＞2．

26．设a为实数，函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1，x∈R

（1）讨论f（x）的奇偶性；

（2）求f（x）的最小值．

27．设函数

，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．

28．根据函数单调性的定义，证明函数f（x）＝﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．

29．求函数

．

30．30．画出函数

的图象．

集合和函数基本性质基础专练一

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．解：

；

∴P∩Q＝{2，3，4}；

∴P∩Q的非空子集的个数为：

个．

故选：

B．

2．解：

设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，

则A∩C＝{1，2}，

∵B＝{2，3，4}，

∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；

故选：

D．

3．解：

∵∁UA＝{﹣1，3}，

∴（∁UA）∩B

＝{﹣1，3}∩{﹣1，0，l}

＝{﹣1}

故选：

A．

4．解：

由A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，

得A∩B＝{x|x＞﹣1}∩{x|x＜2}＝（﹣1，2）．

故选：

C．

5．解：

∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，

∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}∪{x|x＞1}＝（﹣1，+∞）．

故选：

C．

6．解：

由全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，6}，

得∁UA＝{3，4，5}，B＝{2，4，5}，

则（∁UA）∩B＝{3，4，5}∩{2，4，5}＝{4，5}．

故选：

A．

7．解：

当x＝﹣1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，

当x＝0时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，

当x＝1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，

即集合A中元素有9个，

故选：

A．

8．解：

∵A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，

∴（A∪B）＝{1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}＝{﹣1，0，1，2，3，4}，

又C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，

∴（A∪B）∩C＝{﹣1，0，1}．

故选：

C．

9．解：

∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，

∴∁RB＝{x|x＜1}，

∴A∩（∁RB）＝{x|0＜x＜1}．

故选：

B．

10．解：

集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，

则A∩B＝{0，2}．

故选：

A．

11．解：

∵A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，

∴A∩B＝{x|x≥1}∩{0，1，2}＝{1，2}．

故选：

C．

12．解：

设x＜0，则﹣x＞0，

∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1，

∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，

即f（x）＝﹣e﹣x+1．

故选：

D．

二．填空题（共11小题）

13．解：

（1）若a＜0，则：

f（a）+f（﹣2）＝2a﹣4＝0；

解得a＝2，不满足a＜0，这种情况不存在；

（2）若a≥0，则：

f（a）+f（﹣2）＝a2﹣4＝0；

∴a＝2；

综上得，a＝2．

故答案为：

2．

14．解：

∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，

∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．

故答案为：

{1，6}．

15．解：

由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，

解得：

﹣1≤x≤7．

∴函数y＝

的定义域是[﹣1，7]．

故答案为：

[﹣1，7]．

16．解：

∵集合A＝{1，2，3，4，5}，

B＝{3，5，6}，

∴A∩B＝{3，5}．

故答案为：

{3，5}．

17．解：

当x≤0时，函数f（x）＝x2+2x+a﹣2的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向上，

要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，

则只需要f（﹣3）≤|﹣3|＝3，

即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，

当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）＝﹣x2+2x﹣2a，在射线y＝x的下方或在y＝x上，

由﹣x2+2x﹣2a≤x，即x2﹣x+2a≥0，由判别式△＝1﹣8a≤0，

得a≥

，

综上

≤a≤2，

故答案为：

[

，2]．

18．解：

x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，

则令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：

x＝

，开口向上，

所以函数的最小值为：

f（

）＝

＝

．

最大值为：

f

（1）＝2﹣2+1＝1．

则x2+y2的取值范围是：

[

，1]．

故答案为：

[

，1]．

19．解：

∵集合A＝{1，2}，B＝{a，a2+3}．A∩B＝{1}，

∴a＝1或a2+3＝1，

当a＝1时，A＝{1，2}，B＝{1，4}，成立；

a2+3＝1无解．

综上，a＝1．

故答案为：

1．

20．解：

由3﹣2x﹣x2≥0得：

x2+2x﹣3≤0，

解得：

x∈[﹣3，1]，

故答案为：

[﹣3，1]

21．解：

由x﹣2≥0得，x≥2．

∴原函数的定义域为[2，+∞）．

故答案为[2，+∞）．

22．解：

根据条件得：

4＝﹣a+2；

∴a＝﹣2．

故答案为：

﹣2．

23．解：

∵f（x）是R上的奇函数；

∴f（0）＝a＝0．

故答案为：

0．

三．解答题（共7小题）

24．解：

（1）f（2x1）+f（2x2）＝f（x1+x2）•f（x1﹣x2），

可令x1＝x2＝0，可得f（0）+f（0）＝f（0）•f（0），

由f（0）≠0，

可得f（0）＝2；

（2）证明：

可令x1＝

，x2＝﹣

，

则f（x）+f（﹣x）＝f（0）f（x）＝2f（x），

可得f（﹣x）＝f（x），

则f（x）为偶函数；

（3）证明：

可令x1＝

+π，x2＝

，

则f（x+2π）+f（x）＝f（x+π）f（π）＝0，

即有f（x+2π）＝﹣f（x），

将x换为x+2π，可得

f（x+4π）＝﹣f（x+2π）＝f（x），

可得f（x）为最小正周期为4π的函数．

25．解：

（Ⅰ）f（x）＝

图象如下：

（Ⅱ）不等式|x﹣8|﹣|x﹣4|＞2，即f（x）＞2，观察知当4＜x＜8时，存在函数值为2的点．

由﹣2x+12＝2得x＝5．

由函数f（x）图象可知，原不等式的解集为（﹣∞，5）．

26．解：

（1）当a＝0时，函数f（﹣x）＝（﹣x）2+|﹣x|+1＝f（x）

此时，f（x）为偶函数

当a≠0时，f（a）＝a2+1，f（﹣a）＝a2+2|a|+1，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a）

此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数

（2）①当x≤a时，

当

，则函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）＝a2+1．

若

，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为

，且

．

②当x≥a时，函数

若

，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为

；

若

，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）＝a2+1．

综上，当

时，函数f（x）的最小值为

当

时，函数f（x）的最小值为a2+1

当

时，函数f（x）的最小值为

．

27．解：

函数

的定义域为（﹣∞，﹣b）∪（﹣b，+∞）．

f（x）在（﹣∞，﹣b）内是减函数，f（x）在（﹣b，+∞）内也是减函数．

证明f（x）在（﹣b，+∞）内是减函数．

取x1，x2∈（﹣b，+∞），且x1＜x2，那么

＝

，

∵a﹣b＞0，x2﹣x1＞0，（x1+b）（x2+b）＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x）在（﹣b，+∞）内是减函数．

同理可证f（x）在（﹣∞，﹣b）内是减函数．

28．证明：

证法一：

在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2

则f（x2）﹣f（x1）＝x13﹣x23＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）

∵x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0．

当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣x1x2＞0；

当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；

∴f（x2）﹣f（x1）＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．

即f（x2）＜f（x1）

所以，函数f（x）＝﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．

证法二：

在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，

则f（x2）﹣f（x1）＝x13﹣x23＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）．

∵x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0．

∵x1，x2不同时为零，

∴x12+x22＞0．

又∵x12+x22＞

（x12+x22）≥|x1x2|≥﹣x1x2

∴x12+x1x2+x22＞0，

∴f（x2）﹣f（x1）＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．

即f（x2）＜f（x1）．

所以，函数f（x）＝﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．

29．解：

解得：

{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．

30．解：

y＝

的图象为

然后把次图象向左平移一个单位可得