数学讲义初三+点线面全等三角形+.docx

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数学讲义初三+点线面全等三角形+

知识典例（

注意咯，下面可是黄金部分！

）

知识梳理

1.直线、射线、线段之间的区别：

联系：

射线是直线的一部分。

线段是射线的一部分，也是直线的一部分．

2.直线和线段的性质：

（1）直线的性质：

①经过两点直线，即两点确定一条直线；

②两条直线相交，有交点.

（2）线段的性质:

两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短．

3.角的定义：

有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线

绕着它的端点旋转而成的图形．

（1）角的度量：

把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=60′，1′=60″

（2）角的分类：

（3）相关的角及其性质：

①余角：

如果两个角的和是直角，

那么称这两个角互为余角．

②补角：

如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．

③对顶角：

如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

④互为余角的有关性质：

①∠1＋∠2=90°

∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3=90○，则∠2∠3．

⑤互为补角的有关性质：

①若∠A+∠B=180○

∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B∠C．

⑥对顶角的性质：

对顶角相等．

（4）角平分线：

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

4.同一平面内两条直线的位置关系是：

相交或平行

5.“三线八角”的认识：

三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确

认识这八个角要抓住：

同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内

角要抓住“内部、同旁”．

6.平行线的性质：

（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，同旁内角互补．

（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上

7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.

8.平行线的定义：

在同一平面内．的两条直线是平行线。

9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行．

10.平行线的判定：

两条直线被第三条直线所截，

（1）如果同位角相等，那么这两条直线平行；

（2）如果内错角相等．那么这两条直线平行；

（3）如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．．

11.三角形中的主要线段

（1）三角形的角平分线：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点

和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）三角形的中线：

连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

（3）三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．

（4）三角形的中位线：

连接三角形两边的中点的线段。

12.三角形的边角关系

（1）三角形边与边的关系：

三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；

（2）三角形中角与角的关系：

三角形三个内角之和等于180o．

13.三角形的分类

（1）按边分：

（2）按角分：

14.全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA”

（3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”

或“HL”．

7.全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

例1．下列说法：

相等的角是对顶角；

两条不相交的直线是平行线；

在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

同位角相等，两直线平行；

内角和为720度的多边形是五边形．其中正确的有（）

A.

个B.3个C.4个D.5个

例2．∠1与∠2是内错角，∠1=40°，则（）

A．∠2=40°B．∠2=140°C．∠2=40°或∠2=140°D．∠2的大小不确定

例3．如图，AB∥CD，

，则

的大小

A．

B．

C．

D．

例4．利用一副三角板上已知度数的角，不能画出的角是（）

A．15°B．135°C．165°D．100°

例5．如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）

A．21°B．48°C．58°D．60°

例6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（）。

A．120°B．125°C．130°D．140°

例7．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，则∠BDC的度数为（）

A.72°B.36°C.60°D.82°

例8．现有两根长度分别为3cm和6cm的木棒，若要从长度分别为2cm，3cm，5cm，7cm，9cm的5根木棒中选一个钉成三角形的木框，那么可选择的木棒有（）

A．1根B．2根C．3根D．4根

例9．下列判断中错误的是（）．

A．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

B．有一边相等的两个等边三角形全等

C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

例10．在△ABC中和△DEF中，已知AC=DF，∠C=∠F，增加下列条件后还不能判定△ABC≌△DEF的是（）．

A．BC=EFB．AB=DEC．∠A=∠DD．∠B=∠E

例11.（2013年山东东营）

（1）如图4225

（1），已知：

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.证明：

DE＝BD＋CE；

（2）如图4225

（2），将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？

若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展与应用：

如图4225（3），点D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．

强化练习（

挑战一下自己吧~）

1、（2014•四川凉山州，第2题，4分）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）

A．

B．

C．

D．

2、（2014•济宁，第3题3分）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（　　）

A．

两点确定一条直线

B．

垂线段最短

C．

两点之间线段最短

D．

三角形两边之和大于第三边

3、（2014•襄阳，第5题3分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（　　）

A．

35°

B．

45°

C．

55°

D．

65°

4、（2014•四川巴中，第3题3分）如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF=50°，则∠B的度数为（　　）

A．80°B．40°C．60°D．50°

5、（2014•山东聊城，第4题，3分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2的度数为（　　）

A．

53°

B．

55°

C．

57°

D．

60°

6、（2014年湖北咸宁5．（3分））如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=20°，则∠2的度数为（　　）

　A．60°B．45°C．40°D．30°

7、（2014年广东汕尾，第6题4分）如图，能判定EB∥AC的条件是（　　）

　A．∠C=∠ABEB．∠A=∠EBDC．∠C=∠ABCD．∠A=∠ABE

8、（2014•滨州，第3题3分）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）

A.同位角相等，两直线平行

B.内错角相等，两直线平行

C．两直线平行，同位角相等

D.两直线平行，内错角相等

9、（2014·云南昆明，第5题3分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）

A.85°B.80°

C.75°D.70°

10、（2014•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（　　）

A．

1，2，3

B．

1，1，

C．

1，1，

D．

1，2，

11、（2014•湖北宜昌,第6题3分）已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（　　）

A．

5

B．

10

C．

11

D．

12

12、（2014•广东，第9题3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）

A．

17

B．

15

C．

13

D．

13或17

13、（2014•江苏盐城,第14题3分）如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为　60　m．

14、（2014•随州，第13题3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为　　度．

15、（2014•遵义24．（10分））如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：

BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．

16、（2014•广东，第19题6分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．

17、（2014•武汉，第19题6分）如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．

求证：

DC∥AB．

（

一日悟一理，日久而成学）

1、方法小结:

二、本节课我做的比较好的地方是：

三、我需要努力的地方是：

课后作业

1、（2014•滨州，第5题3分）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）

A．

50

B．

60

C．

65

D．

70

2、（2013年湖南永州）如图4114，下列条件中能判断直线l1∥l2的是（　　）

A．∠1＝∠2B.∠1＝∠5C.∠1＋∠3＝180°D.∠3＝∠5

图4114　　　图4115

3、如图4115，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°.则∠3＝（　　）

A．100°B．60°C．40°D．20°

4、（2013年湖北宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）

A．1,2,6B．2,2,4C.1,2,3D.2,3,4

5、（2012年山东德州）不一定在三角形内部的线段是（　　）

A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线

6、（2013年辽宁铁岭）如图4217，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC,AC＝DC

C．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D

图4217　　　　图4218　　　

7、（2012年山东济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图4218，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（　　）

A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等

8、（2012年四川广元）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度为（　　）

A．先向左转130°，再向左转50°B．先向左转50°，再向右转50°

C．先向左转50°，再向右转40°D．先向左转50°，再向左转40°

9、（2012年黑龙江）如图4223，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是（　　）

A．15°B．20°C．25°D．30°

10.（2013年浙江义乌）如图4220，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是____________．

11、（2014•毕节地区，第20题5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．

12、（2012年黑龙江绥化）如图4224所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为________（提示：

∠EAD＋∠FAB＝90°）．

13、（2014•广东梅州,第21题8分）

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：

CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？

为什么？

14、（2014年江苏南京，第27题）【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：

在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

（第3题图）

【深入探究】

第一种情况：

当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据　　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：

当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：

△ABC≌△DEF．

第三种情况：

当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？

请直接写出结论：

在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若　　，则△ABC≌△DEF．