中考数学汇编 三角形的边角关系.docx

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中考数学汇编三角形的边角关系

三角形的边与角

一、选择题

1．．（2018•山东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

【解答】解：

过点F作FG⊥AB于点G，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，

∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠FAD，

∴∠CFA=∠AED=∠CEF，

∴CE=CF，

∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，

∴FC=FG，

∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，

∴△BFG∽△BAC，

∴

=

，

∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，

∴BC=4，

∴

=

，

∵FC=FG，

∴

=

，解得：

FC=，

即CE的长为．故选：

A．

【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．

2．（2018•山东淄博•4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）

A．4B．6

D．8

【考点】KO：

含30度角的直角三角形；JA：

平行线的性质；KJ：

等腰三角形的判定与性质．

【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．

【解答】解：

∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，

∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，

∴∠ACB=2∠B，NM=NC，

∴∠B=30°，

∵AN=1，

∴MN=2，

∴AC=AN+NC=3，

∴BC=6，故选：

B．

【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

3.（2018•江苏扬州•3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）

A．BC=ECB．EC=BEC．BC=BED．AE=EC

【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=

∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．

【解答】解：

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，

∴∠BCD=∠A．

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，

∴∠BEC=∠BCE，

∴BC=BE．

故选：

C．

【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE是解题的关键．

4.（2018•山东滨州•3分）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形

D．一组邻边相等的矩形是正方形

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：

A、例如等腰梯形，故本选项错误；B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．

故选：

D．

【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．

5（2018·湖南省常德·3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）

A．1B．2C．8D．11

【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．

【解答】解：

设三角形第三边的长为x，由题意得：

7﹣3＜x＜7+3，4＜x＜10，

故选：

C．

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．

6．（2018·湖南省衡阳·3分）下列命题是假命题的是（）A．正五边形的内角和为540°

B．矩形的对角线相等C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．圆内接四边形的对角互补

【解答】解：

正五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，A是真命题；矩形的对角线相等，B是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C是假命题；圆内接四边形的对角互补，D是真命题；

故选：

C．

7（2018·山东泰安·3分）如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2=44°，则∠1的大小为（）

A．14°B．16°C．90°﹣αD．α﹣44°

【分析】依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出∠1=44°﹣30°=14°．

【解答】解：

如图，∵矩形的对边平行，

∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，

∴∠1=44°﹣30°=14°，

故选：

A．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：

两直线平行，同位角相等．

8.（2018年江苏省宿迁）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则

∠D的度数是（）。

A.24°B.59°C.60°D.69°

【答案】B

【考点】平行线的性质，三角形的外角性质

【解析】【解答】解：

∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，又∵DE∥BC，

∴∠D=∠DBC=59°.

故答案为：

B.

【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.

9（2018•株洲市•3

被直线所截，且

，过上的点A作AB⊥交于点B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是（）

A.∠2＞120°B.∠3＜60°C.∠4－∠3＞90°D.2∠3＞∠4

【答案】D

【解析】分析：

根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据平行线的性质逐个判断即可．详解：

∵AB⊥l3，

∴∠ABC=90°，

∵∠1＜30°

∴∠ACB=90°-∠1＞60°，

∴∠2＜120°，

∵直线l1∥l2，

∴∠3=∠ABC＞60°，

∴∠4-∠3=180°-∠3-∠3=180°-2∠3＜60°，

2∠3＞∠4，故选：

D．

点睛：

本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，能求出各个角的度数是解此题的关键．10.（2018•湖南省永州市•4分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．任意多边形的内角和为360°

D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据多边形的内角和对C进行判断；根据三角形中位线性质对D进行判断．

【解答】解：

A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；C、任意多边形的外角和为360°，所以C选项为假命题；D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命题．故选：

D．

【点评】本题考查了命题与定理：

判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

11（2018年江苏省宿迁）若实数m、n满足

，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边

长，则△ABC的周长是

（

）。

A.12

B

.10

C.

8

D.6

【答案】B

【考点】等腰三角形的性质，非负数之和为0

【解析】【解答】解：

依题可得：

，∴

.又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，

①若腰为2，底为4，

此时不能构成三角形，舍去.

②若腰为4，底为2，

∴C△ABC=4+4+2=10.

故答案为：

B.

【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：

①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.

12．（2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（）

A．85°B．75°C．60°D．30°

【分析】先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，

∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，

∴∠D=∠CED，

∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，

∴∠D=75°．故选：

B．

【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．

13.（2018·四川宜宾·3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（）

A．2B．3C．D．

【考点】Q2：

平移的性质．

【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知

S△A′EF=2，S△ABD=

S△ABC=

，根据△DA′E∽△DAB

）2=，据此求解可得．

【解答】解：

如图，

∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，

∴S△A′DE=

S△A′EF=2，S△ABD=

S△ABC=

，

∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，

∴A′E∥AB，

∴△DA′E∽△DAB，

则（

）2=

）2=，

解得A′D=2或

（舍），故选：

A．

【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

14（2018·台湾·分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？

（）

A．

B．

C．

D．

【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；

【解答】解：

∵∠A=60°，∠B=100°，

∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，

∵DE=DC，

∴∠C=∠DEC=20°，

∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，

∴S扇形

=

π．故选：

C．

【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：

S=

．

15.（2018·台湾·分）如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？

（）

A．174B．176C．178D．180

【分析】连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID=∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度数．

【解答】解：

连接CI，如图所示．在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．

∵I点为△ABC的内心，

∴∠CAI=

∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=

∠ACB=28°，

∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，

又ID⊥BC，

∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，

∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．

故选：

A．

【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．

16.（2018•湖北黄冈•3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B

＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为

A.50°B.70°C.75°D.80°

（第4题图）

【考点】垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。

【分析】由三角形的内角和定理，得∠BAC的度数，又由垂直平分线的性质，知∠C＝∠DAC=25°，从而得出∠BAD的度数。

【解答】解：

由三角形的内角和定理，得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-25°=95°。

又由垂直平分线的性质，知∠C＝∠DAC=25°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠C=∠BAD+25°=9

∴∠BAD=95°-25°=70°.

故选B.

【点评】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。

熟练掌握性质和定理是解题的关键。

17．（2018•湖北黄石•3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，

∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）

A．75°B．80°C．85°D．90°

【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．

【解答】解：

∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，

∴∠BAD=30°，

∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，

∴∠BAE=25°，

∴∠DAE=30°﹣25°=5°，

∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，

∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，

故选：

A．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：

三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．

18．（2018·浙江宁波·4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若

∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）

A．50°B．40°C．30°D．20°

三角形内角和定理、三角形中位线定理

【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答

案．

【解答】解：

∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，

∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，

∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，

∴EO是△DBC的中位线，

∴EO∥BC，

∴∠1=∠ACB=40°．故选：

B．

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．

19.（2018•河北•3分）下列图形具有稳定性的是（）A．

B．

C．

D．

20.（2018•河北•2分）如图9，点I为的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使

其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）

A.4.5B.4C.3D.2

21．（2018年四川省南充市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（）

A．B．1C．D．

【考点】KX：

三角形中位线定理；KO：

含30度角的直角三角形；KP：

直角三角形斜边上的中线．

【分析】根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD，得到△CBD为等边三角形，根据三角形的中位线定理计算即可．

【解答】解：

∵∠ACB=90°，D为AB的中点，

∴CD=BD=AD，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠B=60°，

∴△CBD为等边三角形，

∴CD=BC=2，

∵E，F分别为AC，AD的中点，

∴EF=

CD=1，

故选：

B．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

22.（2018四川省眉山市2分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。

A.45°B.60°C.75°D.85°

【答案】C

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质

【解析】【解答】解：

如图，

∵∠A=45°,∠D=30°,∠ACB=90°,

∴∠ABC=∠DBE=45°,

∴∠α=∠D+∠DBE=30°+45°=75°,

故答案为:

C.

【分析】根据三角形内角和得∠ABC=45°，由对顶角相等得∠DBE=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由此即可得出答案.

二.填空题

1（2018年四川省南充市）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=24度．

【考点】KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：

∵DE是AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴∠EAC=∠C，

∴∠FAC=∠EAC+19°，

∵AF平分∠BAC，

∴∠FAB=∠EAC+19°，

∵∠B+∠BAC+∠C=180°，[

∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，

解得，∠C=24°，故答案为：

24．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

2（2018年江苏省泰州市•3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为5．

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．

【解答】解：

根据三角形的三边关系，得第三边＞4，而＜6．又第三条边长为整数，

则第三边是5．

【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．

3.（2018•甘肃白银，定西，武威•3分）

的三边长，，满足

，为奇数，则

．

【答案】7

【解析】【分析】根据非负数的性质直接求出，，根据三角形的三边关系可直接求出边长

【解答】，满足

，根据三角形的三边关系，得

即：

为奇数，则

7.故答案为：

7.

【点评】考查非负数的性质以及三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边.

4.（2018•山东滨州•5分）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=100°．

【分析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，

∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．

故答案为：

100°

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键．

5.（2018•山西•3分）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图：

①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；

②分别以C，D为圆心，

1

以大于

2

CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F.若AB=2，∠ABP=600，

则线段AF的长为______.

【答案】2

【考点】角平分线尺规作图，平行线性质，等腰三角形三线合一

【解析】过点B作BG⊥AF交AF于点G由尺规作图可知，AF平分∠NAB

∴∠NAF=∠BAF

∵MN∥PQ

∴∠NAF=∠BFA

∴∠BAF=∠BFA

∴BA=BF=2

∵BG⊥AF

∴AG=FG

∵∠ABP=600

∴∠BAF=∠BFA=300

Rt△BFG中，FG=BF⋅cos∠BFA=2⨯2=

∴AF=2FG=2

6（2018•山东枣庄•4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为

S=．现已知△ABC的三边长分别为

，则△ABC的面积为1．

【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为

的面积，从而可以解答本题．

【解答】解：

∵S=，

∴△ABC的三边长分别为

，则△ABC的面积为：

S==1，

故答案为：

1．

【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．

4.

三.解答题（要求同上一）

1．（2018•山