湘教版八年级下册新第1章《14角平分线的性质》同步练习.docx
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湘教版八年级下册新第1章《14角平分线的性质》同步练习
角平分线的性质
要点感知角平分线的性质定理:
角的平分线上的点到__________的距离相等.
预习练习已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是()
A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm
知识点角平分线的性质
1.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,BC=8,BD=5,则点D到AB的距离等于()
A.5B.4C.3D.2
2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()
A.1B.2C.3D.4
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE是∠ABC的平分线,ED⊥AB于D,ED=3,AE=5,则AC=__________.
4.如图,已知CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD,CE交于点O且AO平分∠BAC.
求证:
OB=OC.
5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
求证:
∠B=∠C.
6.如图,△ABC中,∠C=90°,BC=1,AB=2,BD是∠ABC的平分线,设△ABD,△BCD的面积分别为S1、S2,则S1∶S2等于()
A.2∶1B.
∶1C.3∶2D.2∶
7.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD等于()
A.4B.3C.2D.1
8.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是()
A.3B.4C.5D.6
9.如图所示,若AB∥CD,AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,且PE=3cm,则AB与CD之间的距离为()
A.3cmB.6cmC.9cmD.无法确定
10.已知:
在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,求证:
BD+DE=AC.
11.已知:
如图所示,△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:
CF=EB.
角平分线的判定
要点感知角平分线的性质定理的逆定理:
角的内部到角的两边距离相等的点在__________上.
预习练习如图,P是∠MON内一点,PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F,若PE=PF,则OP平分∠MON,其依据是____________________.
知识点角平分线的判定
1.如图,点D在BC上,DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,∠BAD=25°,则∠CAD=()
A.20°B.25°C.30°D.50°
2.如图,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P点是()
A.线段CD的中点
B.OA与OB的中垂线的交点
C.OA与CD的中垂线的交点
D.CD与∠AOB的平分线的交点
3.如图,已知点P在射线BD上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂足分别为A,C,且PA=PC,下列结论错误的是()
A.AD=CPB.点D在∠ABC的平分线上
C.△ABD≌△CBDD.∠ADB=∠CDB
4.如图,是一个风筝骨架.为使风筝平衡,须使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA,PD⊥OB,那么PC和PD应满足__________,才能保证OP为∠AOB的角平分线.
5.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,DE⊥AB于D,且EC=ED,则∠EBC的度数为__________.
6.如图:
在△ABC中,∠C=90°,DF⊥AB,垂足为F,DE=BD,CE=FB.求证:
点D在∠CAB的角平分线上.
7.如图,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE,CF相交于点D,若BD=CD.求证:
AD平分∠BAC.
8.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:
AD是△ABC的角平分线.
9.已知:
如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
(1)若连接AM,则AM是否平分∠DAB?
请你证明你的结论;
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系?
请说明理由.
参考答案
要点感知角的两边
预习练习B
1.C2.B3.A4.3∶25.DE=DF=DG6.8
7.证明:
∵AO平分∠BAC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,
∴OE=OD.
在Rt△OBE和Rt△OCD中,∠EOB=∠DOC,∠BEO=∠CDO=90°,
∴△OBE≌△OCD(ASA).
∴OB=OC.
8.证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF,DB=DC,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴∠B=∠C.
9.A10.B11.A12.B13.214.5
15.证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=DE.
∴BC=BD+CD=BD+DE.
∵AC=BC,
∴AC=BD+DE.
16.证明:
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DC⊥AC于C,
∴DE=DC.
又∵BD=DF,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴CF=EB.
17.证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°.
∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°,∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°,
∴∠EDA=∠FDA.
∴AD⊥EF.
18.相等.
证明:
连接EB,EC.
∵AE是∠BAC的平分线,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴EF=EG.
∵ED⊥BC于D,D是BC的中点,
∴EB=EC.
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL).
∴BF=CG.
角平分线的判定
要点感知角平分线的性质定理的逆定理:
角的内部到角的两边距离相等的点在__________上.
预习练习如图,P是∠MON内一点,PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F,若PE=PF,则OP平分∠MON,其依据是____________________.
知识点角平分线的判定
1.如图,点D在BC上,DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,∠BAD=25°,则∠CAD=()
A.20°B.25°C.30°D.50°
2.如图,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P点是()
A.线段CD的中点
B.OA与OB的中垂线的交点
C.OA与CD的中垂线的交点
D.CD与∠AOB的平分线的交点
3.如图,已知点P在射线BD上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂足分别为A,C,且PA=PC,下列结论错误的是()
A.AD=CPB.点D在∠ABC的平分线上
C.△ABD≌△CBDD.∠ADB=∠CDB
4.如图,是一个风筝骨架.为使风筝平衡,须使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA,PD⊥OB,那么PC和PD应满足__________,才能保证OP为∠AOB的角平分线.
5.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,DE⊥AB于D,且EC=ED,则∠EBC的度数为__________.
6.如图:
在△ABC中,∠C=90°,DF⊥AB,垂足为F,DE=BD,CE=FB.求证:
点D在∠CAB的角平分线上.
7.如图,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE,CF相交于点D,若BD=CD.求证:
AD平分∠BAC.
12.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:
AD是△ABC的角平分线.
14.已知:
如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
(1)若连接AM,则AM是否平分∠DAB?
请你证明你的结论;
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系?
请说明理由.
参考答案
要点感知角的平分线
预习练习角平分线定理的逆定理
1.B2.D3.A4.PC=PD5.27°
6.证明:
∵DF⊥AB,∠C=90°,
∴∠DFB=∠C=90°.
在Rt△CED和Rt△FBD中,DE=DB,CE=FB,
∴△CED≌△FBD(HL).
∴DC=DF.
∵DF⊥AB,DC⊥AC,
∴点D在∠CAB的角平分线上.
7.证明:
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF与△CDE中,∠BFD=∠CED,∠BDF=∠CDE,BD=CD,
∴△BDF≌△CDE(AAS).
∴DF=DE.
∴AD是∠BAC的平分线.
8.B9.B10.D11.115°
12.证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△DCF是直角三角形.
∵BD=CD,BE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是△ABC的角平分线.
13.作法:
(1)作出∠BAC的平分线AD;
(2)连接MN,作MN的垂直平分线EF交AD于点P.
∴点P就是所求的点.图略.
14.
(1)AM平分∠DAB.
证明:
过点M作ME⊥AD,垂足为E.
∵DM平分∠ADC,∴∠1=∠2.
∵MC⊥CD,ME⊥AD,∴ME=MC.
又∵MC=MB,∴ME=MB.
∵MB⊥AB,ME⊥AD,
∴AM平分∠DAB.
(2)AM⊥DM.
理由:
∵∠B=∠C=90°,
∴DC⊥CB,AB⊥CB.
∴CD∥AB.
∴∠CDA+∠DAB=180°.
又∵∠1=
∠CDA,∠3=
∠DAB,
∴2∠1+2∠3=180°.
∴∠1+∠3=90°.
∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.