高三数学八校联考数学.docx
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高三数学八校联考数学
2019-2020年高三数学八校联考（数学）
（松江二中、青浦、七宝、育才、市二、行知、进才、位育）
一、填空题（4′×12）：
1、不等式的解集是。
2、（理）设、是方程的两根，则。
（文）设、是方程的两根，则。
3、数列
中的第xx项是。
4、集合
非空，则中所有元素的和是。
5、若
，则复数的模是。
6、已知函数的反函数是，则方程的解是。
7、已知数列是公差不为零的等差数列，设，则数列的前项和的表达式可以
是。
（用中的项表示）
8、关于函数有下列命题：
①的定义域是；②是偶函数；③在定义域内是增函数；④的最大值是，最小值是。
其中正确的命题是②④。
（写出你所认为正确的所有命题序号）
9、走廊上有一排照明灯共盏，为了节约用电，要关掉其中的三盏。
如果关掉的三盏灯不是两端的灯，且任意两盏都不相邻，就不会影响照明，那么随机关掉其中的三盏灯，影响照明的概率是。
10、（理）设函数的图像与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积。
已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为。
（文）设函数的图像与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积。
已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为。
11、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。
随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。
已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是
。
12、（理）已知，记，（其中），例如：
。
设，且满足
，则有序数组
是。
（文）在中，的面积为，则的值为。
二、选择题（4′×4）：
13、设、是两个集合，对于，下列说法正确的是（D）
A．存在，使B．一定不成立C．不可能为空集D．是的充分条件
14、（理）若，则一定不属于的区间是（C）
A．B．C．D．
（文）若，则一定不属于的区间是（D）
A．B．C．D．
15、（理）满足不等式
的正整数的个数记为，的前项和记
为，则（A）
A．B．C．D．
（文）已知等比数列的公比是不为的正数，数列满足
，当，
时，数列的前项和最大，则的值为（C）
A．B．C．D．
16、已知函数，则函数的图像可能是（A）
二、解答题（本大题满分86分，共6题）：
17、（12′=9′+3′）（理）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式
对任意恒成立的的集合。
（1）求；
（2）试写出一个解集为的不等式。
（文）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任
意恒成立的的集合。
（1）求；
（2）试写出一个解集为的不等式。
解：
（理）
（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，
又不等式对任意恒成立，∴，即，
∴
。
（2）一个解集为的不等式可以是。
（文）
（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，
又不等式对任意恒成立，∴，即，
∴
。
（2）一个解集为的不等式可以是。
18、（12′=6′+6′）已知复数
，
（1）当时，求的取值范围；
（2）（理）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
（文）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解：
（1）∵，∴
。
（2）（理）∵，∴为纯虚数，∴
（文）∵，∴，∴
（舍去）。
19、（14′=9′+5′）已知，关于的一元二次方程的两实数根、满足
，且，
（1）求数列和的通项公式；
（2）求的值。
解：
（1）∵，且，
∴
，
∴是一个以为首项，为公差的等差数列。
∴
，
∴
。
（2）
。
20、（16′=4′+12′）已知函数
，
（1）在右侧坐标系中作出函数的草图；
（2）研究其值域、奇偶性和单调性，并分别加以证明。
解：
（1）
，
（2）的值域为。
∵
，∴是偶函数。
任取，则，即，∴在上是增函数，
又是偶函数，∴在上是减函数。
21、（14′=8′+6′）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置。
从海岸放归点处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西向东不停地对鲸进行了分钟的跟踪观测，每隔分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）。
然后又在观测站处对鲸进行生活习性的详细观测。
已知，观测站的观测半径为。
（Ⅰ）根据表中数据：
①计算鲸沿海岸线方向运动的速度，②写出、满足的关系式并画出鲸的运动路线简图；
（Ⅱ）若鲸继续以（Ⅰ）中②的运动路线运动，则鲸大约经过多少分钟（从放归时计时），可进入前方观测站的观测范围（精确到分钟）？
解：
（Ⅰ）由表中数据知：
①鲸沿海岸线方向运行的速度为（km/分钟），②、满足的关系式为，
鲸的运动路线图如图：
（Ⅱ）如图，设鲸所在的位置为点，点位于点的正北方向，点位于点的正东方向
由（Ⅰ）知。
又，依题意，当鲸到观测站的距离不大于时进入观测站的观测范围，∴，∴，即，∴。
故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间大约为
（分钟）。
答：
鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围。
22、（18′=4′+8′+6′）（理）已知
为正常数。
（1）可以证明：
定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）；
（3）对满足
（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。
试构造一个定义在
上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解：
（1）若、、，则（当且仅当时取等号）。
（2）
在上恒成立，即在上恒成立，
∵，∴，即，
又∵
∴，即时，
，
又∵，∴。
综上，得。
易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴时，函数有最小值。
故猜测：
时，单调递减；时，单调递增。
（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。
如对
，，此时
，
即
。
（文）已知函数
，，
（Ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：
当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解：
（Ⅰ）当时，，
若，，则在上单调递减，不符题意。
故，要使在上单调递增，必须满足，∴。
（Ⅱ）若，，则无最大值，故，∴为二次函数，
要使有最大值，必须满足，即且，
此时，时，有最大值。
又取最小值时，，依题意，有，则
，
∵且，∴，得，此时或。
∴满足条件的实数对是。
（Ⅲ）当实数对是时，
依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。
如对，，
此时，
，
故
。
2019-2020年高三数学公开课教案数形结合函数人教版
教学目的：
通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。
情感与技能目标：
培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。
提高学生观察、分析问题能力和实践动手能力。
教学重点：
“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。
教学难点：
“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。
教学手段：
多媒体辅助教学
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。
“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
在高中阶段较多的是“以形助数”。
一般地说：
“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。
“数无形时少直观，形无数时难人微"，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。
数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.
一练习：
1.（04天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数,若f（x）的最小正周期为π,且当x∈[0,]时,f（x）=sinx，则f（）的值为（D）
A.-B.C.-D.
-π0π2π
y
xz
解析：
依据偶函数与周期函数的特征，可以画出y=f（x）的简图
∴f（π）=f（π）=
2.设函数f（x）=，若f（x0）>1，则x0的取值范围是（D）
A.（－1，1）B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－2）∪（0，＋∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
0
x
y
2
1
3.（05上海理16）设定义域为为R的函数，则关于x的方程
f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的实数解的充要条件是（C）
（A）b<0且c>0；（B）b>0且c<0；
（C）b<0且c=0；（D）b≥0且c=0。
解析：
f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的
实数解的充要条件是f2（x）+bf（x）+c=0有一根为0故c=0且b<0
4.已知a≥0,函数f（x）=（x2-2ax）ex在[-1,1]上是单调函数,则a的取值范围是________.
解析令
解得
图
.
易知,.
由图可知,当时,函数在
上是单调函数的充要条件是,
即.
二.例题解析
例题1.求函数y=的最大值和最小值。
解：
函数y=可视为：
点A（－2，0）与点P（sinx,cosx）的连线的斜率
则y的最值即为kAP的最值。
而点P为单位圆上的一个动点，则当直线Ap与单位圆相切时kAP取得最值。
设直线AP的方程为：
y=k（x+2），由圆心到直线的距离为1，
则有：
解之得：
k=±,
故y的最大值为：
最小值为：
－
小结：
从数的形和构：
入手，由数想形。
建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求解。
构造几何模型来求解。
例题2.（xx全国卷19）已知c>0设
P：
函数y=cx在R上单调递减；Q：
不等式x+∣x—2c∣>1的解集为R.
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。
解:
则c∈（0,]∪[1,+∞）
小结:
例题3：
已知关于x的方程x2＋（－2m）x＋m2－1=0（m是与x无关的实数）的两个实根在区间[0，2]内，求m的取值范围。
解：
令f（x）=x2＋（－2m）x＋m2－1，由f（x）=0的两根落在区间[0，2]内，
x=－∈[0,2]（对称轴）x=－∈[0,2]（对称轴）
则有f（－）＜0（顶点）△＞0（判别式）
f（0）≥0（端点）f（0）≥0（端点）
f
（2）≥0（端点）f
（2）≥0（端点）
0≤－+2m≤4
即为－（－m）2＋m2－1＜0
m2－1≥0
4＋（－2m）2＋m2－1≥0解之得：
{m|1≤m＜}
小结：
“以形辅数”，化难为易。
转化为熟悉的几何模型来求解
思考题:
（06上海春21）设函数f（x）=|x2-4x-5|
（1）在区间[-2,6]上画出函数f（x）的图像;
（2）集合A={x|f（x）≥5},B=（-∞,-2]∪[6,+∞）.试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;
（3）当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f（x）图像的上方.
y
-20246x
8
6
4
2
-2
21.解:
（1）
（2）方程f（x）=5的解分别是2-，0和2+，由于f（x）在（-∞，1]和[-1，2]和[5，+∞）上单调递增，因此A=（-∞,2-]∪[2+,+∞）.
由于2+<6,2->-2,∴BA
（3）[解法一]当x∈[-1,5]时,f（x）=-x2+4x+5
g（x）=k（x+3）-（-x2+4x+5）
=x2+（k-4）x+（3k-5）
=（x-）2,
∵k>2,∴<1,又-1≤x≤5,
①当-1≤<1,即2取x=,g（x）min==
∵16≤（k-10）2<64,∴（k-10）2-64<0,则g（x）min>0
②当<-1，既k>6时，取x=-1，g（x）min=2k>0
由①②可知，当k>2时，g（x）>0，x∈[-1，5]
因此，在[-1，5]上，y=kx+3k的图像位于函数f（x）图像的上方.
[解法二]当x∈[-1,5]时,f（x）=-x2+4x+5
，得x2+（k-4）x+（3k-5）=0，
令△=（k-4）2-4（3k-5）=0，解得k=2或k=18,
在区间[-1，5]上，当k=2时，y=2（x+3）的图像与函数f（x）的图像只交于一点（1,8）;
当k=18时，y=18（x+3）的图像与函数f（x）的图像没有交点。
如图可知，由于直线y=k（x+3）过点（-3,0），当k>2时，直线y=k（x+3）是由直线y=2（x+3）绕点（-3,0）逆时针方向旋转得到，因此在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图像位于函数f（x）图像的上方。
小结
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。
通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
一．数形结合的信息转化的三个途径：
（1）建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求解；
（2）转化为熟悉的几何模型来求解；
（3）构造几何模型来求解。
二．常用的数学模型：
（1）一元二次函数的图像；
（2）一元一次函数的图形；
（3）定比分点公式；（4）斜率公式；
（5）两点间的距离公式；（6）点到直线的距离公式
课后练习
1．（05福建理5）函数f（x）axb的图象如图，其中
a、b为常数，则下列结论正确的是（B）
Aa>1，b<0；B0C00；Da>1，b>0
本题考查指数形函数的性质，分类讨论，的思想和解
决问题的能力，考查数形结合的思想，也可由图用特
值法求解。
2．（05广东9）在同一平面直角坐标系中，函数
和的图象关于直线对称.现将的图象沿轴向左平移2个
单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函
数的表达式为（A）
A．
B．
C．
D．
本题主要考查分段函数的图像、图像平移、反函数、采用排除法，关键是取恰当的点，本题取端点。
0
x
y
3．（05重庆3.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f
（2）0，则使得f（x）<0的x的取值范围是（D）
A（∞,2）；B（2,∞）；
C（∞,2）⋃（2,∞）；D（2,2）。
解析:
4.（05浙江理8）已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k（cosx－1）的最小值是（A）
（A）1（B）－1（C）2k＋1（D）－2k＋1
本题考查含参二次函数的最值、二倍角公式、换元法、转化的思想、数形结合的思想，运算能力。
5．方程sinx=的解的个数为（C）
A．1B.2C.3D.4
6.若函数f（x）=ax2＋bx＋c,（a≠0）,若f（x）=0的两根分别在区间（1，2）和（2，3）内，则以下不等式中正确的是（B）
A.f
（1）f
（2）>0 B.f
（1）f
（2）<0 C.f
（1）f（3）<0 D.f
（2）f（3）>0
7.已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且
的内角满足,则的取值范围是（）
x
y
O
图5
（A）（B）（C）（D）
解析由于函数是一个抽象函数,因此可根据函数有关性质由题
意构造出符合条件的一个特殊函数图象,如图5所示,由图象及三角形
内角范围可知:
或,故选D.
8.（05北京理13）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2）；②f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）；
③>0；④
.
当f（x）=lgx时，上述结论中正确结论的序号是②③.
x
y
1
图6
0
4
9.当不等式中恰好有一个解时,实数的值是____.
提示抛物线和直线相切.方程
有相等的两实根,
.
10.若不等式的解集是,求实数的取值范围.
解析作函数,的图象（如图6）.
由图6知,要使的解集是,应有.
11.（xx年湖北卷）已知向量a=（x2,x+1），b=（1–x,t）.
若函数f（x）=a·b在区间（–1,1）上是增函数，求t的取值范围.
解：
依定义f（x）=x2（1–x）+t（x+1）=–x3+x2+tx+t.=–3x2+2x+t.
若f（x）在（–1,1）上是增函数，则在（–1,1）上可设≥0.
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当=t–1≥0，且=t–5≥0时，
在（–1,1）上满足＞0，即f（x）在（–1,1）上是增函数.故t的取值范围是t≥5.
评析：
本小题通过向量的运算给出函数表达式，主要考查平面向量数量积的计算方法，利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.
12．已知两点P（0，1）和Q（2，3），如果二次函数f（x）=x2＋ax＋2的图象与线段PQ有两个不同的公共点，求实数a的取值范围。
13．已知f（x）=2x2-2ax+3在[-1，1]上的最小值是f（a）．
（Ⅰ）求f（a）的表达式；
（Ⅱ）当a∈[-2，0]时，求函数g（a）=的值域．
14.（05辽宁22）函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数
（Ⅰ）用、、表示m；
（Ⅱ）证明：
当
；
（Ⅲ）若关于的不等式
上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.
解：
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.
（Ⅰ）解：
（Ⅱ）证明：
令
因为递减，所以递增，因此，当；
当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，
可知的最小值为0，因此即
（Ⅲ）解法一：
，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的
充要条件是
另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，
的充要条件是：
过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，
该切线的方程为
于是的充要条件是
综上，不等式对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：
不等式②
有解、解不等式②得③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.
（Ⅲ）解法二：
是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
令，于是对任意成立的充要条件是
由
当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即
综上，不等式对任意成立的
充要条件是①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：
不等式②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.
数形结合（函数）
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。
“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
在高中阶段较多的是“以形助数”。
一般地说：
“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。
“数无形时少直观，形无数时难人微"，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。
数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.
一练习：
1.（04天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数,若f（x）的最小正周期为π,且当
x∈[0,]时,f（x）=sinx，则f（）的值为（）
A.-B.C.-D.
2.设函数f（x）=，若f（x0）>1，则x0的取值范围是（）
A.（－1，1）B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－2）∪（0，＋∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
3.（05上海理16）设定义域为为R的函数，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的实数解的充要条件是（）
Ab<0且c>0；Bb>0且c<0；Cb<0且c=0；Db≥0且c=0。
4.已知a≥0,函数f（x）=（x2-2ax）ex在[-1,1]上是单调函数,则a的取值范围是_____.
二.例题解析
例题1.求函数y=的最大值和最小值。
解：
小结：
例题2.（xx全国卷19）已知c>0设
P：
函数y=cx在R上单调递减；Q：
不等式x+∣x—2c∣>1的解集为R.
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。
解:
小结：
例题3：
已知关于x的方程x2＋（－2m）x＋m2－1=0（m是与x无关的实数）的两个实根在区间[0，2]内，求m的取值范围。
解：
小结：
思考题:
（06上海春21）设函数f（x）=|x2-4x-5|
（1）在区间[-2,6]上画出函数f（x）的图像;
（2）集合A={x|f（x）≥5},B=（-∞,-2
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