初中数学 勾股定理专题训练.docx

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初中数学勾股定理专题训练

勾股定理综合试题

1.如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，﹣a）（a、b均大于0）；

（1）连接OD、CD，求证：

∠ODC=45°；

（2）连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；

（3）若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积．

2.如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求PQ的长；

（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？

若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．

（4）当t在AC上运动时，求△BCQ成为等腰三角形的时间.

3.如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上一点，且DM⊥DN.

（1）求证：

CM+CN=

BD

（2）如图2，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系式。

4.已知∠BCD=α，∠BAD=β，CB=CD.

（1）如图1，若α=β=90°，求证：

AB+AD=

AC；

（2）如图2，若α=β=90°，求证：

AB-AD=

AC；（3）如图3，若α=120°，β=60°，求证：

AB=AD=

AC；（4）如图3，若α=β=120°，求证：

AB-AD=

AC；

5.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE=CF，连DE、EF.

（1）如图1，若E、F分别在AB、AC上，求证：

EF=

DE；

（2）如图2，若E、F分别在BA、AC的延长线上，则

（1）中的结论是否仍成立？

请说明理由．

6.已知△ABC中，CA=CB,∠ACB=α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连AD．

（1）如图1，当α=60°，PA=10，PB=6，PC=8时，求∠BPC的度数

（2）如图2，当α=90°，PA=3，PB=1，PC=2时，求∠BPC的度数

7.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°，DE交射线AC于E，DF交射线CB于F．

（1）如图1，当AC=BC时，

、

、

之间的数量关系为__________（直接写出结果）；

（2）如图2，当AC≠BC时，试确定

、

、

之间的数量关系，并加以证明；

（3）如图3，当AC≠BC时，

（2）中结论是否仍成立？

8.已知△OMN为等腰直角△，∠MON=90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC=OB.

（1）如图1，连CN，求证：

CN=BM;

（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于A，求证：

（3）如图3，在

（2）的条件下，过A作AE⊥ON于E，过B作BF⊥OM于F，EA、BF的延长线交于P，请探究

、

、

之间的数量关系式．

9.已知点A的坐标为（1，-3），∠OAB=90°，OA=OB.

（1）如图1，求点B的坐标；

（2）如图2，AD⊥y轴于D，M为OB的中点，求DM的长；

10.已知点A、B分别在x轴、y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12

.

（1）如图1，求点C的坐标

（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：

（3）在图2中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长

11.如图，边长为8和4的矩形OABC的两边分别在平面直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D.求：

（1）△ACD的面积；

（2）点B1的坐标.

12.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．

（1）如图1，若AB=

，点A、E、P恰在一条直线上时，求此时EF的长；

（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；

（3）若AB=

，设BP=4，求QF的长．

13.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=

，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．

（1）求证：

∠1=∠2．

（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

（3）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？

若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

14.如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．

（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；

（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？

若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；

（3）线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．

15.已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，则∠BFC=__________；

（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，BC=4，AB=3．求BD的长；

（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2=4AH2+BC2时，判定∠DAC与∠ABC的数量关系，并证明你的结论．

16.某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：

“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：

如图

（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设

=k，若∠BPC=90°，则称k为勾股比．

（1）如图

（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：

CD=BE．

（2）①如图

（2），当k=1，且AB=AC时，AB2+AC2=____BC2（填一个恰当的数）．

②如图

（1），当k=1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？

若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；

③对任意锐角或钝角三角形，如图

（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）．

17在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，点E在DC的延长线上，AE交BC边于点F，且AE=AB．

（1）如图1，求证：

∠B=∠E：

（2）如图2，在

（1）的条件下，在BC上取一点M，使BM=CE，连接AM，过M作MH⊥AE于H，连接CH，若∠BAE=∠EHC=60°，CF=2，求线段AH的长．

18.如图，在直角坐标系中，点B坐标为（-4，0），点C与点B关于原点O对称，点A为y轴上一动点，其坐标为（0，k），BE，CD分别为△ABC中AC，AB边上的高，垂足分别为E，D．

（1）当k=-3时，求AB的长；

（2）试说明△DOE是等腰三角形；（3）k取何值时，△DOE是等边三角形？

（直接写出k的值即可）

19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上．

（1）如图1，如果AM=AN，求证：

BM=CN；

（2）如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+CN2成立？

如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

20.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE．

（1）求证：

BH=2CE；

（2）求证：

BG2-GE2=AE2．

21.如图，等边△ABC和等边△DEC，CE和AC重合，CE=

AB．

（1）求证：

AD=BE；

（2）若CE绕点C顺时针旋转30°，连BD交AC于点G，取AB的中点F，连接FG．求证：

BE=2FG．