初二数学之轴对称与等腰等边综合及解析.docx

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初二数学之轴对称与等腰等边综合及解析

初二数学之轴对称与等腰等边综合

一．选择题（共10小题）

1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（　　）

（1）△ABC≌△A′B′C′

（2）∠BAC=∠B′A′C′

（3）直线L垂直平分CC′

（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．

A．4个B．3个C．2个D．1个

2．（2015•成都校级模拟）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（　　）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

3．（2015•达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（　　）

A．48°B．36°C．30°D．24°

4．（2015•遂宁）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）

A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm

5．（2016•高邮市一模）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　）

A．

B．2C．3D．2

6．（2014•朝阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=72°，现平行移动腰AB至DE后，再将△DCE沿DE折叠，得△DC′E，则∠EDC′的度数是（　　）

A．72°B．54°C．36°D．30°

7．（2011•浙江校级自主招生）如图将六边形ABCDEF沿着直线GH折叠，使点A、B落在六边形CDEFGH的内部，则下列结论一定正确的是（　　）

A．∠1+∠2=900°﹣2（∠C+∠D+∠E+∠F）B．∠1+∠2=1080°﹣2（∠C+∠D+∠E+∠F）

C．∠1+∠2=720°﹣（∠C+∠D+∠E+∠F）D．∠1+∠2=360°﹣

（∠C+∠D+∠E+∠F）

8．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？

（　　）

A．24°B．30°C．32°D．36°

9．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°

10．（2010•武汉模拟）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：

①PC平分∠ACF；

②∠ABC+∠APC=180°；

③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；

④∠BAC=2∠BPC．

其中正确的是（　　）

A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③

二．填空题（共3小题）

11．（2015•苏州校级二模）如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°．那么∠BCD的度数等于　60　度．

12．（2011秋•莆田期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC折叠，使点B与点A重合，若S△ABC=12cm2，则S△AEF=　4　cm2．

13．（2011•云南）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处交DC于点F，则△ADF和△EFC的周长之和为　14　cm．

三．解答题（共3小题）

14．（2015秋•沙河市期末）如图：

在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；

说明：

（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

15．（2015秋•潮南区期末）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：

（1）AM⊥DM；

（2）M为BC的中点．

16．（2014秋•江阴市期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

初二数学之轴对称与等腰等边综合

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（　　）

（1）△ABC≌△A′B′C′

（2）∠BAC=∠B′A′C′

（3）直线L垂直平分CC′

（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．

A．4个B．3个C．2个D．1个

【分析】根据轴对称的性质求解．

【解答】解：

（1）正确；

（2）正确；

（3）正确；

（4）“直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上”，应是一定在直线L上的．

故选B．

【点评】轴对称的性质：

①成轴对称的两个图形是全等形；②对称轴是对应点连线的垂直平分线；③对应线段或者平行，或者重合，或者相交．如果相交，那么交点一定在对称轴上．

2．（2015•成都校级模拟）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（　　）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

【分析】根据△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可．

【解答】解：

由折叠可得DF=EF，设AF=x，则EF=8﹣x，

∵AF2+AE2=EF2，

∴x2+42=（8﹣x）2，

解得x=3．

故选：

A．

【点评】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．

3．（2015•达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（　　）

A．48°B．36°C．30°D．24°

【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．

【解答】解：

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠ABD=24°，

∵∠A=60°，

∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，

∵BC的中垂线交BC于点E，

∴BF=CF，

∴∠FCB=24°，

∴∠ACF=72°﹣24°=48°，

故选：

A．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

4．（2015•遂宁）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）

A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm

【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．

【解答】解：

∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴AN=BN，

∵△BCN的周长是7cm，

∴BN+NC+BC=7（cm），

∴AN+NC+BC=7（cm），

∵AN+NC=AC，

∴AC+BC=7（cm），

又∵AC=4cm，

∴BC=7﹣4=3（cm）．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．

5．（2016•高邮市一模）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　）

A．

B．2C．3D．2

【分析】首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值．

【解答】解：

过点P作PB⊥OM于B，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，

∴PB=PA=3，

∴PQ的最小值为3．

故选：

C．

【点评】此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

6．（2014•朝阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=72°，现平行移动腰AB至DE后，再将△DCE沿DE折叠，得△DC′E，则∠EDC′的度数是（　　）

A．72°B．54°C．36°D．30°

【分析】由折叠易得∠EDC′=∠EDC，根据平行及等腰梯形的性质可得DE=DC，那么∠C=∠DEC=∠B=72°，根据三角形内角和定理可得∠EDC的度数，也就求得了∠EDC′的度数．

【解答】解：

∵平行移动腰AB至DE，

∴DE=AB=CD，

∴∠C=∠DEC=∠B=72°，∠EDC=180°﹣2∠C=36°，

由折叠的性质知，∠EC′D=∠C=72°，

∴∠EDC'=180°﹣2∠EC′D=36°，

故选：

C．

【点评】本题利用了：

1、折叠的性质：

折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰梯形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点．

7．（2011•浙江校级自主招生）如图将六边形ABCDEF沿着直线GH折叠，使点A、B落在六边形CDEFGH的内部，则下列结论一定正确的是（　　）

A．∠1+∠2=900°﹣2（∠C+∠D+∠E+∠F）B．∠1+∠2=1080°﹣2（∠C+∠D+∠E+∠F）

C．∠1+∠2=720°﹣（∠C+∠D+∠E+∠F）D．∠1+∠2=360°﹣

（∠C+∠D+∠E+∠F）

【分析】由邻补角及折叠的性质，可分别用∠1，∠2表示∠HGA，∠GHB，根据四边形内角和定理表示∠A+∠B，再根据六边形内角和定理将∠A+∠B转化，得出结论．

【解答】解：

由邻补角及折叠的性质，可知

∠HGA=

（180°﹣∠1），∠GHB=

（180°﹣∠2），

在四边形ABHG中，

∠A+∠B=360°﹣（∠HGA+∠GHB）=180°+

（∠1+∠2）

在六边形ABCDEF中，

∠A+∠B=720°﹣（∠C+∠D+∠E+∠F），

即720°﹣（∠C+∠D+∠E+∠F）=180°+

（∠1+∠2）

整理，得∠1+∠2=1080°﹣2（∠C+∠D+∠E+∠F）．

故选B．

【点评】本题考查了折叠的性质，关键是运用了折叠前后，对应角相等，多边形的内角和定理将∠1+∠2进行转换．

8．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？

（　　）

A．24°B．30°C．32°D．36°

【分析】根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．

【解答】解：

∵直线M为∠ABC的角平分线，

∴∠ABP=∠CBP．

∵直线L为BC的中垂线，

∴BP=CP，

∴∠CBP=∠BCP，

∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，

在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，

即3∠ABP+60°+24°=180°，

解得∠ABP=32°．

故选：

C．

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．

9．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°

【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．

【解答】解：

∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，

故A选项正确，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABO=

∠ABC=

×50°=25°，

在△ABO中，

∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，

∴∠DOC=∠AOB=85°，

故B选项错误；

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD=

（180°﹣60°）=60°，

∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，

故C选项正确；

∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，

∴AD是△ABC的外角平分线，

∴∠DAC=

（180°﹣70°）=55°，

故D选项正确．

故选：

B．

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．

10．（2010•武汉模拟）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：

①PC平分∠ACF；

②∠ABC+∠APC=180°；

③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；

④∠BAC=2∠BPC．

其中正确的是（　　）

A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③

【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；

根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；

根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；

利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．

【解答】解：

如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，

①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，

∴PM=PN，PM=PD，

∴PM=PN=PD，

∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），

故本小题正确；

②∵PM⊥AB，PN⊥BC，

∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，

∴∠ABC+∠MPN=180°，

很明显∠MPN≠∠APC，

∴∠ABC+∠APC=180°错误，

故本小题错误；

③在Rt△APM与Rt△APD中，

，

∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），

∴AD=AM，

同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，

∴CD=CN，

∴AM+CN=AD+CD=AC，

故本小题正确；

④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，

∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=

∠ACF=∠BPC+

∠ABC，

∴∠BAC=2∠BPC，

故本小题正确．

综上所述，①③④正确．

故选B．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．

二．填空题（共3小题）

11．（2015•苏州校级二模）如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°．那么∠BCD的度数等于　60　度．

【分析】根据轴对称图形的特点，且直线m把多边形ABCDE分成二个四边形，再根据四边形的内角和是360°，通过计算便可解决问题．

【解答】解：

把AE与直线m的交点记作F，

∵在四边形ABCF中，∠A=130°，∠B=110°，且直线m是多边形的对称轴；

∴∠BCD=2∠BCF=2×（360°﹣130°﹣110°﹣90°）=60°．

故填60°．

【点评】此题考查了轴对称图形和四边形的内角和二项知识点，属常见题型，比较简单．

12．（2011秋•莆田期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC折叠，使点B与点A重合，若S△ABC=12cm2，则S△AEF=　4　cm2．

【分析】先根据三角形内角和定理得出∠ABC的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠A=∠ABE=30°，进而可得出∠CBE的度数，S△AEF=S△BEF，再根据全等三角形的判定定理可得出△BCE≌△BFE，由全等三角形的性质可知S△BEF=S△BEC，进而可得出结论．

【解答】解：

∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∵△AEF是△BEF翻折而成，

∴∠A=∠ABE=30°，S△AEF=S△BEF，

∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣30°=30°，

∴BE是∠ABC的平分线，

∵EF⊥AB，

∴EF=CE，

在Rt△BCE与Rt△BFE中，

EF=CE，BE=BE，

∴Rt△BCE≌Rt△BFE，

∴S△BEF=S△BEC，

∴S△AEF=S△BEF=S△BEC，

∴S△AEF=

S△ABC=

×12=4．

故答案为：

4cm2．

【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性质，根据以上知识得出S△AEF=S△BEF=S△BEC是解答此题的关键．

13．（2011•云南）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处交DC于点F，则△ADF和△EFC的周长之和为　14　cm．

【分析】根据矩形的性质，得到AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，根据折叠的性质，得到AB=AE=4cm，EC=BC=3cm，利用三角形的周长即可解答．

【解答】解：

∵四边形ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，

∴AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，

∵把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处交DC于点F，

∴AB=AE=4cm，EC=BC=3cm，

△ADF和△EFC的周长之和=AD+AF+DF+CF+CE+EF=AD+（AF+EF）+（CF+DF）+EC=AD+AE+CD+EC=3+4+4+3=14（cm），

故答案为：

14．

【点评】本题考查翻折变换，解决本题的关键是根据折叠得到相等的线段．

三．解答题（共3小题）

14．（2015秋•沙河市期末）如图：

在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；

说明：

（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

【分析】

（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；

（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．

【解答】证明：

（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．

∴CF=EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴CD=DE．

在△ADC与△ADE中，

∵

∴△ADC≌△ADE（HL），

∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．

【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．

15．（2015秋•潮南区期末）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：

（1）AM⊥DM；

（2）M为BC的中点．

【分析】

（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；

（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，等量代换得到答案．

【解答】解：

（1）∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴2∠MAD+2∠ADM=180°，

∴∠MAD+∠ADM=90°，

∴∠AMD=90°，

即AM⊥DM；

（2）作NM⊥AD交AD于N，

∵∠B=90°，AB∥CD，

∴BM⊥AB，CM⊥CD，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴BM=MN，MN=CM，

∴BM=CM，

即M为BC的中点．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

16．（2014秋•江阴市期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

【分析】

（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE=CF；

（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后设BE=x，由AB﹣BE=AC+CF，即可得方程5﹣x=3+x，解方程即可求得答案．

【解答】

（1）证明：

连接BD，CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，

∵DG⊥BC且平分BC，

∴BD=CD，

在Rt△BED与Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）解：

在△AED和△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

设BE=x，则CF=x，

∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，

∴5﹣x=3+x，

解得：

x=1，

∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．

【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．