届一轮复习北师大版文第八章 第5讲 平行垂直的综合问题 学案.docx

届一轮复习北师大版文第八章 第5讲 平行垂直的综合问题 学案.docx

《届一轮复习北师大版文第八章 第5讲 平行垂直的综合问题 学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届一轮复习北师大版文第八章 第5讲 平行垂直的综合问题 学案.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届一轮复习北师大版文第八章第5讲平行垂直的综合问题学案

第5讲　平行、垂直的综合问题

　　　　　　空间中的证明与计算问题（师生共研）

如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.

（1）证明：

平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥PABCD的体积为

，求该四棱锥的侧面积．

【解】　

（1）证明：

由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，

得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.

又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.

由

（1）知，AB⊥平面PAD，

故AB⊥PE，

可得PE⊥平面ABCD.

设AB＝x，则由已知可得AD＝

x，PE＝

x.

故四棱锥PABCD的体积

VPABCD＝

AB·AD·PE＝

x3.

由题设得

x3＝

，故x＝2.

从而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2

，PB＝PC＝2

.

可得四棱锥PABCD的侧面积为

PA·PD＋

PA·AB＋

PD·DC＋

BC2sin60°＝6＋2

.

（1）几何体的体积

柱体的体积V＝S底·h.

锥体的体积V＝

S底·h.

（2）几何体的表面积

直棱柱的侧面积S侧＝C底·l，其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积，最后求和．

（3）计算几何体体积的关键及注意点

计算几何体的体积时，关键是确定几何体的高，若是不方便求，要注意进行体积的转化．

　（2020·重庆市学业质量调研）如图所示，在四棱锥PABCD中，∠CAD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠ADC＝30°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AC＝2.

（1）求证：

AE∥平面PBC；

（2）若四面体PABC的体积为

，求△PCD的面积．

解：

（1）证明：

如图，取CD的中点F，连接EF，AF，

则EF∥PC，

又易知∠BCD＝∠AFD＝120°，所以AF∥BC，

又EF∩AF＝F，PC∩BC＝C，所以平面AEF∥平面PBC.

又AE平面AEF，所以AE∥平面PBC.

（2）由已知得，V四面体PABC＝

·

AB·BC·PA＝

，可得PA＝2.

过点A作AQ⊥CD于点Q，连接PQ，在△ACD中，

AC＝2，∠CAD＝90°，∠ADC＝30°，

所以CD＝4，AQ＝

＝

，

则PQ＝

＝

.

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.

又AQ∩PA＝A，

所以CD⊥平面PAQ，CD⊥PQ.

所以S△PCD＝

×4×

＝2

.

　　　　　　空间中的翻折问题（师生共研）

（2019·高考全国卷Ⅲ）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.

（1）证明：

图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积．

【解】　

（1）证明：

由已知得AD∥BE，CG∥BE，

所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，

从而A，C，G，D四点共面．

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.

又因为AB平面ABC，

所以平面ABC⊥平面BCGE.

（2）如图，取CG的中点M，连接EM，DM.

因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，

所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.

由已知，四边形BCGE是菱形，

且∠EBC＝60°得EM⊥CG，

故CG⊥平面DEM.

因此DM⊥CG.

在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝

，故DM＝2.

所以四边形ACGD的面积为4.

解决此类问题的关键就是根据折痕，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”：

（1）与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；

（2）与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.

其步骤为：

—

↓

—

↓

—

　（2020·宝鸡市模拟考试）如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥PEBCD，点M为棱PB的中点．

（1）求证：

PD∥平面MCE；

（2）若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥MBCE的体积．

解：

（1）证明：

在题图1中，

因为BE＝

AB＝CD且BE∥CD，

所以四边形EBCD是平行四边形．

如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，

所以点O是BD的中点，

又点M为棱PB的中点，

所以OM∥PD，

因为PD

平面MCE，OM平面MCE，

所以PD∥平面MCE.

（2）在题图1中，

因为EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，

因为四边形ABCD是等腰梯形，

所以AD＝BC，所以AD＝DE，

因为∠BAD＝45°，

所以AD⊥DE.

所以PD⊥DE，

又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，

所以PD⊥平面EBCD.

由

（1）知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，

在等腰直角三角形ADE中，因为AE＝2，所以AD＝DE＝

，

所以OM＝

PD＝

AD＝

，S△BCE＝S△ADE＝1，

所以V三棱锥MBCE＝

S△BCE·OM＝

.

　　　　　立体几何中的探索性问题（师生共研）

（2018·高考全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧

所在平面垂直，M是

上异于C，D的点．

（1）证明：

平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？

说明理由．

【解】　

（1）证明：

由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.

因为M为

上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.

又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.

（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.

证明如下：

如图，连接AC交BD于O.

因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.MC

平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD.

解决探索性问题的方法

（1）对命题条件探索的三种途径

途径一：

先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．

途径二：

先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．

途径三：

将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．

（2）对命题结论的探索方法

从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论．

[注意]　对探索性问题应先写出结论，再写出证明过程或理由．

　如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.

（1）求三棱锥PABC的体积；

（2）在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出

的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）由题意知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，

可得S△ABC＝

·AB·AC·sin60°＝

.

由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高．

又PA＝1，所以三棱锥PABC的体积V＝

·S△ABC·PA＝

.

（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.

由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.

由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.

又BM平面MBN，所以AC⊥BM.

在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝

，

从而NC＝AC－AN＝

.

由MN∥PA，得

＝

＝

.

[基础题组练]

1．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABC　B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC

解析：

选D.因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，

所以BD⊥CD.

又平面ABD⊥平面BCD，

且平面ABD∩平面BCD＝BD，

故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.

又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB⊥平面ADC.

又AB平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.

2．（2019·高考全国卷Ⅰ）已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为

，那么P到平面ABC的距离为．

解析：

如图，过点P分别作PE⊥BC交BC于点E，作PF⊥AC交AC于点F.由题意知PE＝PF＝

.过P作PH⊥平面ABC于点H，连接HE，HF，HC，易知HE＝HF，则点H在∠ACB的平分线上，又∠ACB＝90°，故△CEH为等腰直角三角形．在Rt△PCE中，PC＝2，PE＝

，则CE＝1，故CH＝

，在Rt△PCH中，可得PH＝

，即点P到平面ABC的距离为

.

答案：

3．（2020·陕西西安模拟）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，AD＝BD＝6，AB＝6

，E是棱PC上的一点．

（1）证明：

BC⊥平面PBD；

（2）若PA∥平面BDE，求

的值．

解：

（1）证明：

由已知条件可知AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.

因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.

又PD∩BD＝D，所以AD⊥平面PBD.

因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD，

所以BC⊥平面PBD.

（2）如图，连接AC交BD于点F，连接EF，

则EF是平面PAC与平面BDE的交线．

因为PA∥平面BDE，所以PA∥EF.

因为F是AC的中点，所以E是PC的中点，

所以

＝

.

4．（2020·内蒙古呼和浩特第一次质量普查）如图，平面四边形ABCD中，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2

，沿BD折起，使AC＝2

.

（1）证明：

△ACD为直角三角形；

（2）设B在平面ACD内的射影为P，求四面体PBCD的体积．

解：

（1）证明：

在Rt△ABD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝2

，

所以AD＝

＝

＝2

，

因为AC＝2

，CD＝2，所以AC2＋CD2＝AD2，

所以AC⊥CD，

所以△ACD是直角三角形．

（2）由

（1）知CD⊥AC，易知CD⊥BC，

因为AC∩BC＝C，所以CD⊥平面ABC，又CD平面ACD，

所以平面ABC⊥平面ACD，其交线为AC，

故过B点作AC的垂线，垂足为P，点P即为B在平面ACD内的射影，

易知P为AC的中点，

所以四面体PBCD的体积VPBCD＝

×

×2×2×1＝

.

5.（2020·宿州市质量检测）如图，四棱锥EABCD，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD为矩形，AD＝6，AB＝5，BE＝3，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（1）求证：

AE⊥BE；

（2）设M在线段DE上，且满足EM＝2MD，试在线段AB上确定一点N，使得MN∥平面BCE，并求MN的长．

解：

（1）证明：

因为四边形ABCD为矩形，

所以BC⊥AB.

因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，且BC平面ABCD，

所以BC⊥平面ABE.

又AE平面ABE，

所以BC⊥AE.

因为BF⊥平面ACE，AE平面ACE，

所以BF⊥AE.

又因为BC∩BF＝B，BC平面BCE，BF平面BCE，

所以AE⊥平面BCE，

因为BE平面BCE，

所以AE⊥BE.

（2）如图，在△ADE中过M点作MG∥AD交AE于G点，在△ABE中过G点作GN∥BE交AB于N点，连接MN，

因为NG∥BE，NG

平面BCE，BE平面BCE，

所以NG∥平面BCE.

同理可证，GM∥平面BCE.

因为MG∩GN＝G，

所以平面MGN∥平面BCE，

又因为MN平面MGN，

所以MN∥平面BCE，

因为M点为线段DE上靠近D点的一个三等分点，

所以N点为线段AB上靠近A点的一个三等分点，

AD＝6，AB＝5，BE＝3，

所以MG＝

AD＝4，NG＝

BE＝1，

所以MN＝

＝

＝

.

[综合题组练]

1．（2020·吉林长春质量监测

（二））四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，CD＝2AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝

，M为PC中点．

（1）求证：

平面PBC⊥平面BMD；

（2）求点B到平面PCD的距离．

解：

（1）证明：

在直角梯形ABCD中，BD＝

，cos∠BDC＝cos∠DBA＝

，

在△BCD中，由余弦定理得BC＝

，

由勾股定理得PD＝2，PB＝

，

所以△PCD，△PCB是等腰三角形，

所以PC⊥MD，PC⊥MB，

因为MD∩MB＝M，

所以PC⊥平面MDB，

因为PC平面PBC，

所以平面PBC⊥平面BDM.

（2）取PD的中点N，连接AN，MN，

所以ANMB为平行四边形，

所以BM∥AN，BM＝AN＝1，

因为PA＝AD，所以AN⊥PD，

又易知CD⊥平面PAD，AN平面PAD，

所以CD⊥AN，所以AN⊥平面PCD，

所以BM⊥平面PCD，

所以B到平面PCD的距离为1.

2．（2020·郑州市第二次质量预测）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝

，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.

（1）求证：

AD⊥PB；

（2）若E在线段BC上，且EC＝

BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？

若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由．

解：

（1）证明：

连接PF，因为△PAD是等边三角形，

所以PF⊥AD.

因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝

，所以BF⊥AD.

又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，

又PB平面BFP，所以AD⊥PB.

（2）能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.

由

（1）知AD⊥BF，因为PD⊥BF，AD∩PD＝D，

所以BF⊥平面PAD.

又BF平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，

又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，

所以PF⊥平面ABCD.

连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于点G，

所以GH⊥平面ABCD.

又GH平面DEG，所以平面DEG⊥平面ABCD.

因为AD∥BC，所以△DFH∽△ECH，

所以

＝

＝

，所以

＝

＝

，

所以GH＝

PF＝

，

所以VDCEG＝VGCDE＝

S△CDE·GH＝

×

DC·CE·sin

·GH＝

.

3．如图

（1），在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E（不同于点D），延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图

（2）所示．

（1）若M是FC的中点，求证：

直线DM∥平面A1EF；

（2）求证：

BD⊥A1F；

（3）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？

并说明理由．

解：

（1）证明：

因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF，又EF平面A1EF，DM

平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.

（2）证明：

因为A1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E，

所以BD⊥平面A1EF.

又A1F平面A1EF，所以BD⊥A1F.

（3）直线A1B与直线CD不能垂直．

理由如下：

因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.

因为A1B平面A1BD，所以A1B⊥EF，

又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM.

假设A1B⊥CD，

因为CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，

所以A1B⊥BD，

这与∠A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直．